Dziedziną funkcji jest zbiór $\mathrm{ℝ}$.

Zbadamy istnienie asymptoty ukośnej lewostronnej wykresu funkcji $f$

$a=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\frac{x^3}{x^2+1}}{x}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x^2}{x^2+1}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\frac{x^2}{x^2}}{\frac{x^2}{x^2}+\frac{1}{x^2}}=\frac{1}{1+0}=1$,

$b=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[\frac{x^3}{x^2+1}-x\right]=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[\frac{x^3}{x^2+1}-\frac{x\left(x^2+1\right)}{x^2+1}\right]=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-x}{x^2+1}=$

$=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\frac{x}{x^2}}{\left(\frac{x^2}{x^2}+\frac{1}{x^2}\right)}=\frac{0}{1+0}=0$.

Istnieje zatem asymptota ukośna lewostronna wykresu funkcji $f$.

Zbadamy istnienie asymptoty ukośnej prawostronnej wykresu funkcji $f$.

$a=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\frac{x^3}{x^2+1}}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2}{x^2+1}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\frac{x^2}{x^2}}{\frac{x^2}{x^2}+\frac{1}{x^2}}=\frac{1}{1+0}=1$

$b=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[\frac{x^3}{x^2+1}-x\right]=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[\frac{x^3}{x^2+1}-\frac{x\left(x^2+1\right)}{x^2+1}\right]=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-x}{x^2+1}=$

$=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\frac{x}{x^2}}{\left(\frac{x^2}{x^2}+\frac{1}{x^2}\right)}=\frac{0}{1+0}=0$

Istnieje zatem asymptota ukośna prawostronna wykresu funkcji $f$.

Prosta $y=x$ jest asymptotą ukośną obustronną wykresu funkcji $f\left(x\right)=\frac{x^3}{x^2+1}$.

Funkcja $f\left(x\right)=\frac{x^3-7x-8}{x^2-x-6}$ jest określona dla argumentów, dla których $x^2-x-6\ne 0$.

Aby określić dziedzinę tej funkcji, rozwiązujemy równanie $x^2-x-6=0$. W tym celu liczymy wyróżnik trójmianu kwadratowego: $∆=1^2-4·1·\left(-6\right)=25$. Ponieważ $∆>0$, to równanie ma dwa rozwiązania:

$x_1=\frac{1-\sqrt{25}}{2·1}=-2$ oraz $x_2=\frac{1+\sqrt{25}}{2·1}=3$.

Stąd: $D_f=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{-2, 3\right\}$.

Ponieważ licznik funkcji jest stopnia wyższego niż mianownik, dzielimy licznik przez mianownik.

$\begin{array}{l} \left(x^3+0x^2-7x-8\right):\left(x^2-x-6\right)=x+1\\ -\left(\underline{x^3-x^2-6x}\right)\\ 0+x^2-x-8\\ \underline{ -\left(x^2-x-6\right)}\\ 0+0-2 \text{reszta}\end{array}$

Funkcję $f\left(x\right)=\frac{x^3-7x-8}{x^2-x-6}$ zapisujemy w postaci $f\left(x\right)=x+1+\frac{-2}{x^2-x-6}$.

Prosta $y=x+1$ jest asymptotą ukośną obustronną wykresu funkcji $f\left(x\right)=\frac{x^3-7x-8}{x^2-x-6}$ ponieważ $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-2}{x^2-x-6}=0$ i $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-2}{x^2-x-6}=0$.