Animacja

Polecenie 1

Zapoznaj się z animacją prezentującą wykorzystanie własności funkcji kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych. Rozwiąż zadania znajdujące się pod animacją i porównaj z odpowiedziami.

R1brvYvCiXFla

Film dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DVwF0Ypal

Film nawiązujący do treści materiału dotyczący geometrycznych zagadnień optymalizacyjnych- wykorzystanie własności funkcji kwadratowej.

Polecenie 2

Dany jest prostokąt o bokach $5 cm$ i $4 cm$ . Jeden bok tego prostokąta powiększamy, a drugi pomniejszamy o $x cm$ . Dla jakiej wartości $x cm$ pole otrzymanego prostokąta będzie największe?

Sytuacja I

Sytuacja pierwsza

Boki prostokąta: $a = 5 - x, b = 4 + x$ .

Pole prostokąta: $P = a b$ .

$P (x) = (5 - x) (4 + x) = - (x - 5) (4 + x)$ , gdzie $x \in (0, 5)$ .

Otrzymaliśmy wzór funkcji w postaci iloczynowej: $P (x) = - (x - 5) (4 + x)$ .

Ponieważ $a < 0$ , to funkcja w wierzchołku wykresu przyjmuje wartość największą. Współrzędna $x_{W}$ wierzchołka jest średnią arytmetyczną miejsc zerowych odpowiedniej funkcji kwadratowej.

$x_{W} = \frac{x_{1} + x_{2}}{2} = \frac{5 + (- 4)}{2} = \frac{1}{2}$ , $x \in (0, 5)$

$P_{m a x} = P (\frac{1}{2}) = - (\frac{1}{2} - 5) (4 + \frac{1}{2}) = - (- \frac{9}{2}) (\frac{9}{2}) = \frac{81}{4}$ .

Sytuacja II

Sytuacja druga

Boki prostokąta: $a = 5 + x, b = 4 - x$ .

Pole prostokąta: $P = a b$ .

$P (x) = (5 + x) (4 - x) = - (5 + x) (x - 4)$ , gdzie $x \in (0, 4)$ .

Otrzymaliśmy wzór funkcji w postaci iloczynowej: $P (x) = - (5 + x) (x - 4)$ . Ponieważ $a < 0$ , funkcja w wierzchołku wykresu przyjmuje wartość największą. Aby wyliczyć współrzędne wierzchołka, wykorzystamy fakt, że funkcja jest przedstawiona w postaci iloczynowej. Pierwsza współrzędna wierzchołka $x_{W}$ jest średnią arytmetyczną miejsc zerowych funkcji kwadratowej.

$x_{W} = \frac{x_{1} + x_{2}}{2} = \frac{- 5 + 4}{2} = \frac{- 1}{2} = - \frac{1}{2}$ .

To rozwiązanie nie spełnia warunku, ponieważ $x \notin (0, 4)$ .

Pole otrzymanego prostokąta jest największe dla $x = \frac{1}{2} cm$ i wynosi $\frac{81}{4} {cm}^{2}$ .

Polecenie 3

Czy można określić wymiary stożka, którego obwód przekroju osiowego jest równy $20 cm$ i jego pole powierzchni bocznej jest największe?

RpRMh6lnVjTZ3

Ilustracja przedstawia stożek. Promień podstawy podpisano literą r, wysokość stożka podpisano literą h, krawędź boczną podpisano literą l.

$h$ – wysokość stożka

$r$ – promień podstawy stożka

$l$ – tworząca stożka

Pole powierzchni bocznej stożka: $P_{b} = π r l$ .

Przekrojem osiowym stożka jest trójkąt równoramienny, którego obwód wyraża wzór: $L = 2 r + 2 l$ .

Obwód przekroju osiowego walca wynosi $20 cm$ , więc $20 = 2 r + 2 l$ . Stąd wyznaczymy $l$ .

$2 l = 20 - 2 r : 2$

$l = 10 - r$ .

Długości boków są liczbami dodatnimi, więc $r > 0$ i $10 - r > 0$ .

$- r > - 10$

$r < 10$

Zatem $r \in (0, 10)$ .

$P_{b} = π r l = π r (10 - r) = - π r (r - 10)$ .

Otrzymaliśmy funkcję kwadratową $P (r) = - π r (r - 10)$ zapisaną w postaci iloczynowej. Miejscami zerowymi tej funkcji są liczby $0$ i $10$ . Współrzędna $r_{W}$ wierzchołka paraboli jest średnią arytmetyczną miejsc zerowych.

$r_{W} = \frac{0 + 10}{2} = 5 \in (0, 10)$

Jeśli promień wynosi $5 cm$ , to tworząca $l = 10 - r$ też wynosiłaby $5 cm$ – nie jest to możliwe, ponieważ $l > r$ .

Przeczytaj

Sprawdź się