Trójmianem kwadratowym zmiennej nazywamy wyrażenie postaci , gdzie , , są dowolnymi danymi liczbami rzeczywistymi i . Liczby , , nazywamy współczynnikami trójmianu kwadratowegotrójmian kwadratowy zmiennej xtrójmianu kwadratowego, zaś zmienna może przyjmować dowolne wartości rzeczywiste.
funkcja kwadratowa
Definicja: funkcja kwadratowa
Jeżeli , to funkcję określoną wzorem w zbiorze liczb rzeczywistych nazywamy funkcją kwadratową.
, , - współczynniki liczbowe funkcji kwadratowej,
- wyraz wolny.
Wzór nazywamy postacią ogólną funkcji kwadratowej, gdzie , , , .
Wyrażenie nazywamy wyróżnikiem trójmianu kwadratowego (-delta- wielka litera greckiego alfabetu).
Przykłady wzorów funkcji kwadratowych:
,
.
Poniższe funkcje nie są funkcjami kwadratowymi.
,
.
Przykład 1
Mając dany wzór funkcji kwadratowej, podamy współczynniki liczbowe i obliczymy wyróżnik trójmianu kwadratowego : .
Rozwiązanie
, ,
Przykład 2
Możemy spotkać się z funkcją, której wzór wyrażony jest za pomocą wyrażenia kwadratowego, rozważając rzut ukośny - tor lotu piłki. Wysokość w zależności od czasu można wyrazić wzorem
.
Obliczymy, na jakiej wysokości znajdzie się piłka w drugiej sekundzie lotu.
RXduouuJnazfA
Przykład 3
Obliczymy wartości funkcji , , dla argumentu i uporządkujemy je w kolejności rosnącej.
Rozwiązanie
Obliczamy wartości dla kolejnych funkcji.
,
,
.
Odp. Wartości funkcji w kolejności rosnącej to:
równość funkcji kwadratowych
Twierdzenie: równość funkcji kwadratowych
Dwie funkcje kwadratowe są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają równe współczynniki liczbowe przy odpowiednich potęgach zmiennej.
Przykład 4
Wyznaczymy wartości parametrów i funkcji kwadratowych i określonych wzorami i , dla których są one równe.
Rozwiązanie
Wypiszmy współczynniki dla obu funkcji.
Funkcja , , ,
Funkcja , , ,
Zauważmy, współczynniki liczbowe przy są dla obu funkcji równe .
Wystarczy więc porównać współczynniki liczbowe przy i wyrazy wolne.
Zatem czyli więc
oraz czyli .
Odp. Funkcje i są równe, gdy i .
Przykład 5
Wzory funkcji kwadratowych i zapiszemy w postaci ogólnej i sprawdźmy, czy funkcje te są równe.
Rozwiązanie
Przekształcamy wzory funkcji do postaci ogólnej.
, , ,
, , ,
Odp. Funkcje i nie są równe, bo ich wyrazy wolne są różne.
Słownik
trójmian kwadratowy zmiennej x
trójmian kwadratowy zmiennej x
wyrażenie postaci , gdzie , , dowolnymi danymi liczbami rzeczywistymi, w tym