Wiesz już, że przekrój prostopadłościanuprzekrój prostopadłościanu daną płaszczyznąprzekrój prostopadłościanu może być trójkątem, prostokątem, równoległobokiem, trapezem, pięciokątem, a nawet sześciokątem. Nie może być natomiast –kątem dla . Potrafisz też wyznaczyć przekroje prostopadłościanu w zależności od zadanych punktów leżących w płaszczyźnie przekroju oraz miarę kąta dwuściennegokąt dwuściennykąta dwuściennego pomiędzy płaszczyzną przekroju a ścianą prostopadłościanu. Umiejętności te będą bardzo przydatne w tym materiale.
Dobrze znasz wzory na obliczanie pól figur płaskich. Aby je zastosować zazwyczaj potrzebujemy takich danych jak długości boków, wysokości czy miar kątów wewnętrznych. Przeczytaj poniższe przykłady aby dowiedzieć się, w jaki sposób obliczyć pola figur przekrojów powstałych w prostopadłościanie poprzez przecięcie go wybranymi płaszczyznami.
Prostokąt
Jeżeli przetniemy prostopadłościan płaszczyzną prostopadłą do dowolnej ze ścian, w przekroju otrzymamy prostokąt.
W załączonym aplecie widzisz przekrój prostopadły do przedniej i tylnej ściany prostopadłościanu oraz kąt dwuścienny pomiędzy przekrojem a płaszczyzną podstawy. Możesz zmieniać położenie punktów , i oraz obracać przestrzeń, aby lepiej przyjrzeć się temu zagadnieniu.
Zapoznaj się z apletem zawierającym przekrój prostopadły do przedniej i tylnej ściany prostopadłościanu oraz kąt dwuścienny pomiędzy przekrojem a płaszczyzną podstawy. Aplet umożliwia zmianę położenia punktów N ,J i oraz obrót przestrzeni, aby lepiej przyjrzeć się temu zagadnieniu.
RfOLrecv0gTp1
Obliczenie pola powierzchni takiego przekroju nie jest trudne. Pole prostokąta to iloczyn długości jego dwóch sąsiednich boków. Zauważ, że jeden z wymiarów prostokąta zawsze będzie równy jednemu z wymiarów prostopadłościanu.
Przykład 1
Prostopadłościan przecięto płaszczyzną prostopadłą do ściany (rysunek poniżej). Wiedząc, że , oraz i , a pole podstawy graniastosłupa wynosi , oblicz pole przekroju .
R1u9kjfJTBC8Z
Rozwiązanie:
Pole przekroju jest równe .
oraz , zatem
Przyjrzyjmy się trapezowi .
, ale , zatem , czyli
Analogicznie, i dalej oraz .
R103x9uRsRVcz
Z twierdzenia Pitagorasatwierdzenie Pitagorasatwierdzenia Pitagorasa w trójkącie , stąd .
Odpowiedź: Pole przekroju jest równe .
Trójkąt
Jeżeli przetniemy prostopadłościan płaszczyzną przecinającą trzy krawędzie wychodzące z jednego wierzchołka, w przekroju otrzymamy trójkąt.
W załączonym aplecie widzisz opisany wyżej przekrój. Możesz zmieniać położenie punktów , i oraz obracać przestrzeń, aby lepiej przyjrzeć się temu zagadnieniu.
Zapoznaj się z apletem, w którym przedstawiono opisany wyżej przekrój. Istnieje możliwość zmiany położenia punktów I, J i K oraz obrotu przestrzeni, aby lepiej przyjrzeć się temu zagadnieniu.
ReIJGiUEwHJTz
Przypomnijmy wzory na pole trójkąta w zależności od długości boków , , , wysokości , , padających na te boki lub miar kątów , , leżących na przeciwko boków odpowiednio , , :
R1QZGlV3Zst3G
, gdzie (wzrór Herona).
Przykład 2
Oblicz pole przekroju prostopadłościanu o wymiarach przeciętego płaszczyzną przechodzącą przez środki trzech krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka.
Rozwiązanie:
Punkty , , są środkami krawędzi, oznaczmy , , . Wtedy , , .
R1AzdgvBYDObu
Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długości boków trójkąta .
, stąd
, stąd
, stąd
Znając długości wszystkich boków w trójkącie możemy skorzystać ze wzoru Herona. Pojawiają się jednak problemy natury obliczeniowej, ponieważ połowa obwodu dana jest wyrażeniem , natomiast cały wzór to wyrażenie
Aby obliczyć jego wartość, musielibyśmy bezbłędnie wykonać mnóstwo działań arytmetycznych – jest to wykonalne, natomiast bardzo praco- i czasochłonne.
Czy da się obliczyć pole w łatwiejszy sposób? Tak. Wystarczy skorzystać z pierwszego wzoru na pole trójkąta .
Z twierdzenia Pitagorasa wiemy już, że . Odcinek jest wysokością padającą na przeciwprostokątną w trójkącie , zatem przyrównując wzory na pole tego trójkąta otrzymujemy , stąd otrzymujemy .
Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie otrzymujemy , a więc .
Odpowiedź: Pole przekroju jest równe .
Uwaga:
W ramach ćwiczenia z arytmetyki dla wytrwałych warto obliczyć pole korzystając ze wzoru Herona i upewnić się, że wynik będzie taki sam.
Równoległobok
Jeżeli przetniemy prostopadłościan płaszczyzną przecinającą cztery równoległe krawędzie, w przekroju otrzymamy równoległobok. W załączonym aplecie widzisz opisany przekrój. Możesz zmieniać położenie punktów , i oraz obracać przestrzeń, aby lepiej przyjrzeć się temu zagadnieniu.
Jeżeli przetniemy prostopadłościan płaszczyzną przecinającą cztery równoległe krawędzie, w przekroju otrzymamy równoległobok. Zapoznaj się z apletem zawierającym opisany przekrój. Istnieje możliwość zmiany położenia punktów I, J i K oraz obrotu przestrzeni, aby lepiej przyjrzeć się temu zagadnieniu.
R1eP31Jnz4rcZ
Pole równoległoboku można obliczyć na dwa sposoby, w zależności od długości boków i , padających na nie wysokości, miary kąta .
R1JvUFk0rnOKZ
Szczególnym przypadkiem przekroju jest ten, kiedy punkty i są przeciwległymi wierzchołkami prostopadłościanu, a i środkami krawędzi. Wtedy dłuższa przekątna przekroju jest przekątną prostopadłościanu, a krótsza przekątna przekroju ma taką samą długość jak przekątna podstawy.
Przykład 3
Prostopadłościan o wymiarach , , przecięto płaszczyzną przechodzącą przez punkty , gdzie i są środkami krawędzi odpowiednio i . Oblicz pole tego przekroju.
RWlJsz38fy5aT
Rozwiązanie:
Do obliczenia pola równoległoboku użyjemy drugiego wzoru, wykorzystującego długości boków i miarę kąta wewnętrznego.
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie obliczamy długość boku przekroju:
Analogicznie w trójkącie obliczamy
Przekątna równoległoboku ma długość równą przekątnej podstawy a z twierdzenia Pitagorasa , czyli .
Wyznaczone długości przedstawiamy obok na płaskim rysunku przekroju. Potrzebujemy jeszcze wartości . Korzystając z twierdzenia cosinusówtwierdzenie cosinusówtwierdzenia cosinusów w trójkącie możemy obliczyć . Zapisujemy więc:
R6oL3CSy7BHGg
Korzystając z jedynki trygonometrycznejjedynka trygonometrycznajedynki trygonometrycznej wyznaczamy sinus kąta :
Odpowiedź:
Pole równoległoboku to: .
Trapez
Poniżej widzisz przekrój prostopadłościanu będący trapezem. Powstał poprzez przecięcie płaszczyzną przecinającą dwie krawędzie wychodzące z jednego wierzchołka oraz dwie krawędzie równoległe do nich. Możesz zmieniać położenie punktów , i oraz obracać przestrzeń, aby lepiej przyjrzeć się temu przekrojowi.
Poniżej znajduje się przekrój prostopadłościanu będący trapezem. Powstał poprzez przecięcie płaszczyzną przecinającą dwie krawędzie wychodzące z jednego wierzchołka oraz dwie krawędzie równoległe do nich. Istnieje możliwość zmiany położenia punktów I, J i K oraz obrotu przestrzeni, aby lepiej przyjrzeć się temu zagadnieniu.
RFmneGRsItEgf
Pole trapezu obliczymy w zależności od długości podstaw i oraz wysokości korzystają ze wzoru .
Przykład 4
Sześcian o krawędzi długości przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną ściany , oraz punkt , który jest środkiem krawędzi . Wyznacz pole tego przekroju.
RQnyQx1AKhOyY
Rozwiązanie:
Ściany i są równoległe i przecięte tą samą płaszczyzną przekroju, a więc odcinki i są równoległe, zatem przekrój jest trapezem.
Ponadto , a więc . Z podobieństwa trójkątów i wynika, że jest środkiem krawędzi . Trójkąty i są przystające (z cechy bok, kąt, bok), zatem i trapez jest równoramienny.
R1UjHJBk1Y7uN
Wyznaczamy pole trapezu:
Przekątna ściany ma długość
, zatem
Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie wynika, że , zatem
Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie otrzymujemy , a zatem , czyli .
Odpowiedź: Przekrój jest trapezem równoramiennym o polu równym .
Słownik
przekrój prostopadłościanu daną płaszczyzną
przekrój prostopadłościanu daną płaszczyzną
część wspólną tego prostopadłościanu i tej płaszczyzny
kąt dwuścienny
kąt dwuścienny
część płaszczyzny ograniczona dwoma przecinającymi się półpłaszczyznami (nazywanymi ścianami kąta), wraz z tymi półpłaszczyznami oraz prostą, wzdłuż której się przecinają (nazywaną krawędzią kąta)
twierdzenie Pitagorasa
twierdzenie Pitagorasa
jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej
twierdzenie cosinusów
twierdzenie cosinusów
w dowolnym trójkącie kwadrat długości dowolnego boku jest równy sumie kwadratów długości dwóch pozostałych boków pomniejszonej o podwojony iloczyn długości tych boków i cosinusa kąta zawartego między nimi
jedynka trygonometryczna
jedynka trygonometryczna
tożsamość trygonometryczna mówiąca, że suma kwadratów sinusa i cosinusa tego samego kąta jest zawsze równa