Przeczytaj

Kąt między dwiema prostymi

Zaczniemy rozważania od wyznaczenia procedury obliczania miary kąta między dwiema prostymikąt między prostymikąta między dwiema prostymi. Załóżmy, że mamy dane dwie proste o równaniach $l_{1}$ : $y = a_{1} x + b_{1}$ i $l_{2}$ : $y = a_{2} x + b_{2}$ , przecinające się w punkcie $(x_{0}, y_{0})$ . Pamiętamy, że ich współczynniki kierunkowe, $a_{1}$ i $a_{2}$ , są jednocześnie wartościami tangensów kątów pomiędzy prostymi $l_{1}$ i $l_{2}$ a osią $X$ . Łatwo zobaczyć, że miara kąta pomiędzy prostymi jest równa różnicy miar kątów między tymi prostymi a osią $X$ .

Oznaczmy: $α = ∢ (l_{1}, X)$ i $β = ∢ (l_{2,} X)$ .

Ze wzoru na tangens różnicy kątów możemy wywnioskować, że tangens kąta między prostymi wynosi:

tg (∢ (l_{1}, l_{2})) = tg (α - β) = \frac{tg α - tg β}{1 + tg α \cdot tg β} = \frac{a_{1} - a_{2}}{1 + a_{1} a_{2}}

Na zakończenie zauważmy, że czasami możemy otrzymać ujemną wartość miary kąta, co oznaczałoby, że znaleźliśmy kąt rozwarty pomiędzy naszymi prostymi, zatem wygodniej jest w powyższych wzorach używać wartości bezwzględnej, to znaczy przyjąć

tg (∢ (l_{1}, l_{2})) = |\frac{a_{1} - a_{2}}{1 + a_{1} a_{2}}|

Przykład 1

Rozważmy proste $l_{1} : y = 2 x - 1$ i $l_{2} : y = - x + 5$ , przecinające się w punkcie $(2, 3)$ . Wyznaczymy miarę kąta ich przecięcia.

Rozwiązanie

Tangens kąta pomiędzy prostymi $l_{1}$ i $l_{2}$ jest równy:

$tg (∢ (l_{1}, l_{2})) = |\frac{a_{1} - a_{2}}{1 + a_{1} a_{2}}| = |\frac{2 - (- 1)}{1 + 2 \cdot (- 1)}| = |\frac{3}{- 1}| = |- 3| = 3$ ,

czyli miara kąta między tymi prostymi wynosi około $71, 57 °$ .

R9a6OKCBqEVTU

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z osią pionową od minus 2 do sześciu oraz osią poziomą od minus 2 do siedmiu. Zaznaczono na nim dwie proste. Prosta o równaniu y=-x+5 przecina oś X w punkcie 5 i tworzy z osią X kąt β. Prosta o równaniu y=2x-1 przecina oś X w punkcie około zero przecinek pięć i tworzy z osią X kąt α. Proste przecinają się w punkcie 2;3 i tworzą kąt γ.

Kąt między wykresami dwóch funkcji

W matematyce, w wielu przypadkach definiujemy nowe, trudne pojęcia, używając prostszych, dobrze znanych – za przykład może posłużyć chociażby pojęcie granicy funkcji, które opiera się na granicy ciągu liczbowego. Miarę kąta między wykresami funkcji definiujemy jako miarę kąta pomiędzy stycznymi do tych krzywych.

Przypomnijmy, że styczna do krzywejstyczna do krzywejstyczna do krzywej w danym punkcie to prosta, która w małym otoczeniu tego punktu ma przebieg podobny do przebiegu krzywej oraz ma w tym otoczeniu dokładnie jeden punkt wspólny z krzywą. Jeżeli zatem mamy funkcję różniczkowalną $f$ i punkt $(x_{0}, y_{0})$ , należący do jej wykresu, to równanie stycznej jest postaci:

y = f' (x_{0}) \cdot (x - x_{0}) + y_{0}

Dla naszych celów potrzebować będziemy jedynie współczynników kierunkowych prostych stycznych, czyli wartości pochodnych danych funkcji w zadanym punkcie.

Przykład 2

Wyznaczymy miarę kąta pomiędzy wykresem funkcji $f (x) = x^{3} + x$ a osią $X$ w punkcie $(0, 0)$ .

Rozwiązanie

Pochodna funkcji $f$ ma postać: $f' (x) = 3 x^{2} + 1$ , więc współczynnik kierunkowy stycznej jest równy $a_{1} = f' (x_{0}) = f (0) = 3 \cdot {(0)}^{2} + 1 = 1$ .

Oś $X$ opisujemy równaniem: $y = 0$ , czyli jej współczynnik kierunkowy: $a_{2} = 0$ .

Tangens kąta pomiędzy funkcją $f$ a osią $X$ w punkcie $(0, 0)$ jest równy:

$tg (∢ (f, X)) = |\frac{a_{1} - a_{2}}{1 + a_{1} a_{2}}| = |\frac{1 - 0}{1 + 1 \cdot 0}| = 1$ ,

czyli miara kąta między tymi prostymi wynosi $45 °$ .

RR75fKB1XCPjp

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z osią pionowa od minus 2 do trzech oraz z osią poziomą od minus 2 do trzech. Przez środek pierwszej oraz trzeciej ćwiartki przebiega prosta. Przez pierwsza i trzecią ćwiartkę przechodzi tangensoida.

Przykład 3

Wyznaczymy miarę kąta pomiędzy wykresami funkcjikąt między wykresami funkcjikąta pomiędzy wykresami funkcji $f (x) = x^{2}$ i $g (x) = 2 - x^{2}$ .

Rozwiązanie

Parabole te mają dwa punkty przecięcia: $(- 1, 1)$ i $(1, 1)$ .

Ponieważ obliczenia w obu punktach by się pokrywały, dla uproszczenia wybierzemy punkt $(1, 1)$ .

Pochodna funkcji $f$ jest postaci: $f' (x) = 2 x$ , a funkcji $g$ : $g' (x) = - 2 x$ .

W punkcie $(1, 1)$ współczynniki kierunkowe stycznych są równe: $a_{1} = 2 \cdot 1 = 2$ i $a_{2} = - 2 \cdot 1 = - 2$ .

Stąd możemy wyznaczyć wartość tangensa kąta pomiędzy wykresami tych funkcji w punkcie $(1, 1)$ , to znaczy:

$tg (∢ (f, g)) = |\frac{a_{1} - a_{2}}{1 + a_{1} a_{2}}| = |\frac{2 - (- 2)}{1 + 2 \cdot (- 2)}| = |\frac{4}{- 3}| = \frac{4}{3}$ ,

oraz miarę tego kąta około: $53, 13 °$ .

RqyscFwKAfXfI

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z osią pionowa od minus 3 do czterech oraz z osią poziomą od minus 4 do czterech. Zaznaczono na nim dwie parabole. Pierwszą o wzorze γ=x2 mającą wierzchołek w początku układu współrzędnych i ramiona skierowane w górę. Drugą o wzorze γ=2-x2 mającą wierzchołek w punkcie 0;2 oraz ramiona skierowane w dół. Do każdej paraboli poprowadzono styczną prostą do niej. Do paraboli pierwszej prosta o wzorze y=2x-1 oraz do drugiej o wzorze y=-2x+3. Punkt styczności obu prostych to 1;1. Kąt między prostymi wynosi 53,1°

Przykład 4

Wyznaczymy miarę kąta, pod którym przecina się wykres funkcji kwadratowej $y = x^{2}$ oraz wykres funkcji liniowej $y = 3 x - 2$ .

Rozwiązanie

Najpierw musimy wyznaczyć punkty przecięcia tych wykresów. W tym celu musimy rozwiązać równanie $x^{2} = 3 x - 2$ .

Ma ono dwa rozwiązania: $x_{1} = 1$ i $x_{2} = 2$ .

W obydwu przypadkach wyznaczymy odpowiednie kąty przecięcia.

Pochodna funkcji $y = x^{2}$ wynosi $2 x$ , więc jej wartość w punkcie $x_{1} = 1$ będzie równa $2$ , a w punkcie $x_{2} = 2$ będzie równa $4$ .

W obu przypadkach badamy przecięcie z tą samą prostą, o współczynniku kierunkowym równym $3$ .

W pierwszym przypadku tangens kąta przecięcia wynosi:

$|\frac{2 - 3}{1 + 2 \cdot 3}| = \frac{1}{7}$ , czyli miara kąta jest równa około $8, 13 °$ .

W drugim przypadku tangens jest równy: $|\frac{4 - 3}{1 + 4 \cdot 3}| = \frac{1}{13}$ ,

czyli miara kąta wynosi około: $4, 40 °$ .

Wyznaczanie funkcji o zadanych kątach przecięcia wykresów

Przykład 5

Rozpatrzmy dwie parabole: jedną o równaniu $f (x) = x^{2}$ , a drugą – o równaniu z parametrem $c > 0$ : $g (x) = c - x^{2}$ . Wyznaczymy wartość parametru $c$ tak, aby kąt przecięcia był prosty i by punkt przecięcia wykresów leżał w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych.

Rozwiązanie

Zauważmy, że nie znamy punktu przecięcia wykresów tych funkcji. Uzależnimy zatem wszystkie wyniki od nieznanej wartości $x_{0}$ , którą na końcu wyznaczymy tak, by kąt pomiędzy parabolami był kątem prostym.

Punkt $(x_{0}, y_{0})$ jest punktem przecięcia wykresów funkcji, gdy jego współrzędne spełniać będą równanie $f (x) = g (x)$ , czyli $x^{2} = c - x^{2}$ .

Po przekształceniu otrzymujemy $2 x^{2} = c$ , co daje $x^{2} = \frac{c}{2}$ , tym samym $x_{0} = - \sqrt{\frac{c}{2}}$ lub $x_{0} = \sqrt{\frac{c}{2}}$ .

Jeśli punkt przecięcia należy do pierwszej ćwiartki układu współrzędnych, to: $x_{0} = \sqrt{\frac{c}{2}}$ .

Pochodne funkcji $f$ i $g$ są równe odpowiednio: $f' (x) = 2 x$ i $g' (x) = - 2 x$ , zatem współczynniki kierunkowe stycznych w punkcie styczności wynoszą $a_{1} = f' (x_{0}) = 2 x_{0}$ i $a_{2} = g' (x_{0}) = - 2 x_{0}$ .

Stąd możemy wyznaczyć wartość tangensa kąta pomiędzy wykresami tych funkcji w punkcie $(x_{0}, y_{0})$ :

$tg (∢ (f, g)) = |\frac{a_{1} - a_{2}}{1 + a_{1} a_{2}}| = |\frac{2 x_{0} - (- 2 x_{0})}{1 + 2 x_{0} \cdot (- 2 x_{0})}| = \frac{4 x_{0}}{|1 - 4 x_{0}^{2}|}$ .

Szukamy takich parabol, żeby kąt pomiędzy nimi był prosty, ale niestety tangens kąta prostego nie istnieje, zatem nie możemy powtórzyć rozumowania z powyższych przykładów.

Możemy jednak skorzystać z faktu, że dwie proste są prostopadłe, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych będzie równy $(- 1)$ .

W naszym przypadku prowadzi nas to do równania $a_{1} \cdot a_{2} = - 1$ , czyli $2 x_{0} \cdot (- 2 x_{0}) = - 1$ .

Stąd otrzymujemy $x_{0} = \frac{1}{2}$ i $c = 2 x_{0}^{2} = 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$ .

Poszukiwania parametru $c$ możemy spróbować wykonać graficznie, na przykład używając apletu.

RplFsnvcYzAV2

Słownik

kąt między prostymi

wartość bezwzględna różnicy miar kątów, jakie te proste tworzą z osią $X$

kąt między wykresami funkcji

kąt pomiędzy stycznymi do danych wykresów funkcji w punkcie przecięcia

styczna do krzywej

prosta, która w małym otoczeniu tego punktu ma przebieg zbliżony do przebiegu krzywej oraz ma w tym otoczeniu dokładnie jeden punkt wspólny z krzywą

Wprowadzenie

Infografika

Kąt między dwiema prostymi

Kąt między wykresami dwóch funkcji

Wyznaczanie funkcji o zadanych kątach przecięcia wykresów

Słownik