Wycinek koła

R1UlkgHfopHfz1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Film dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DaCAcOnS

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

E-podręczniki z matematyki

Wycinek koła

Definicja: Wycinek koła

Wycinkiem koła (wycinkiem kołowym) nazywamy część tego koła ograniczoną łukiem i ramionami kąta środkowego.

RSmTQpp1mkorZ1

Rysunek koła podzielonego ramionami kąta środkowego alfa na dwa wycinki kołowe (na rysunku lekko od siebie odsunięte). — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ważne!

Kąt środkowy $α$ wyznacza w kole dwa wycinki kołowe.

Przykład 1

W kole o promieniu $10$ wyznaczony jest wycinek koła przez kąt środkowy o mierze $60 °$ . Obliczymy pole tego wycinka.
Kąt o mierze $60 °$ stanowi $\frac{6 0^{0}}{36 0^{0}} = \frac{1}{6}$ kąta pełnego. Pole wycinka koła wyznaczonego przez ten kąt jest taką samą częścią pola całego koła. Stanowi więc $\frac{1}{6}$ pola całego koła.

P = \frac{1}{6} π r^{2}

P = \frac{1}{6} \cdot π \cdot 1 0^{2}

P = 16 \frac{2}{3} π

Pole wycinka koła jest równe $16 \frac{2}{3} π$ .

Przykład 2

Kąt środkowy w okręgu o promieniu $6$ ma miarę $72 °$ . Oblicz długość łuku wyznaczonego przez ten kąt.

RTOrj01vN9pag1

Rysunek okręgu o promieniu 6 i kącie środkowym o mierze 72 stopnie opartym na łuku L z indeksem dolnym w. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Obliczamy, że kąt $72 °$ stanowi $\frac{7 2^{0}}{36 0^{0}} = \frac{1}{5}$ część kąta pełnego. Szukana długość łuku $L_{W}$ jest więc równa $\frac{1}{5}$ długości okręgu.

L_{W} = \frac{1}{5} \cdot 2 π r

L_{W} = 2,4 π

Długość łuku wyznaczonego przez wycinek koła jest równa $2,4 π$ .
Zauważmy, że wycinek koła stanowi taką samą cześć koła, jaką częścią kąta pełnego jest kąt środkowy wyznaczający ten wycinek. Podobnie – długość łuku wyznaczonego przez ten wycinek jest taką samą częścią długości okręgu, jaką częścią kąta pełnego jest kąt środkowy wyznaczający ten wycinek.

Ważne!

Pole $P_{W}$ wycinka koła wyznaczonego w kole o promieniu r przez kąt środkowy o mierze $α$ jest równe

P_{W} = \frac{α}{36 0^{0}} \cdot π r^{2}

Ważne!

Długość łuku $L_{W}$ wyznaczonego na okręgu o promieniu $r$ przez kąt środkowy o mierze $α$ jest równa

L_{W} = \frac{α}{36 0^{0}} \cdot 2 πr

Przykład 3

Kąt środkowy w kole o promieniu $18 cm$ ma miarę $240 °$ . Oblicz długość łuku wyznaczonego przez ten kąt. Wynik zaokrąglij do części dziesiątych.
Korzystamy ze wzoru na długość łuku wyznaczonego przez wycinek kola. Do wzoru podstawiamy

α = 240 °

r = 18 cm

L_{W} = \frac{α}{36 0^{0}} \cdot 2 πr

L_{W} = \frac{24 0^{0}}{36 0^{0}} \cdot 2 π \cdot 18

L_{W} = 24 π

L_{W} \approx 75,4 cm

Długość łuku wyznaczonego przez ten wycinek wynosi około $75,4 cm$ .

Przykład 4

W kole o promieniu $27 dm$ kąt środkowy ma miarę $160 °$ . Oblicz pole wycinka koła wyznaczonego przez ten kąt.
Korzystamy ze wzoru na pole wycinka koła. Do wzoru podstawiamy $α = 160 °$ i $r = 27 dm$ .

P_{W} = \frac{α}{36 0^{0}} \cdot π r^{2}

P_{W} = \frac{16 0^{0}}{36 0^{0}} \cdot π \cdot 2 7^{2}

P_{W} = 324 \cdot π

P_{W} \approx 1017,36 {dm}^{2}

Pole wycinka koła jest równe około $1017,36 {dm}^{2}$ .

RcHWmcR8EgM1u1

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DaCAcOnS

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Ćwiczenie 1

Podziel koło na równe części, przypominające Yin – Yang. Korzystając z suwaka, zmieniaj liczbę tych części.
Wykaż, że w każdym przypadku otrzymane części mają równe pola.

izlRarXnZc_d5e261

Odcinek koła

RXaQH1IJZLHv91

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Film dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DaCAcOnS

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

E-podręczniki z matematyki

Odcinek koła

Definicja: Odcinek koła

Odcinkiem koła (odcinkiem kołowym) nazywamy część koła odciętą przez cięciwę wraz z tą cięciwą.

RM9VoeIic2rKV1

Rysunek dwóch kół. Pierwsze koło podzielone cięciwą na dwa odcinki kołowe (na rysunku lekko od siebie odsunięte). Drugie koło podzielone najdłuższą cięciwą (średnicą) na dwa półkola (na rysunku lekko od siebie odsunięte). — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Każda cięciwa wyznacza dwa odcinki koła. Średnica dzieli koło na dwa półkola.

Ważne!

Cięciwa ograniczająca odcinek koła wyznacza kąt środkowy $α$ . Ramiona tego kąta ograniczają łuk okręgu.

R13nmCHrpeDQN1

Rysunek koła o promieniu r i kącie środkowym alfa opartym na tej cięciwie. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ważne!

Pole odcinka koła jest różnicą pola wycinka koła wyznaczonego przez kąt $α$ i pola trójkąta, którego bokami są promienie okręgu i cięciwa.

Przykład 5

Odcinek koła wyznaczony jest przez kąt środkowy o mierze $120 °$ i cięciwę długości $8 \sqrt{3}$ . Oblicz pole odcinka.

RYGRKeftrAHNX1

Rysunek koła o promieniu r i środku w punkcie A. Poprowadzona cięciwa BC i zaznaczony jej środek w punkcie D. Punkty A, B, C i D tworzą dwa trójkąty prostokątne A D B i A D C.W trójkącie A D B zaznaczony kąt D A B ma miarę 60 stopni. Przyprostokątna BD równa się cztery pierwiastki z trzech, a przeciwprostokątna AB = r. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przyjmijmy oznaczenia takie, jak na rysunku. Wtedy trójkąt ABD jest trójkątem prostokątnym, w którym kąt $DAB$ ma miarę $60 °$ (jako połowa kąta $120 °$ ). Naprzeciw kąta o mierze $60 °$ leży przyprostokątna długości $4 \sqrt{3}$ (jako połowa cięciwy). Korzystając z własności trójkąta prostokątnego o kątach $90 °, 60 °, 30 °$ , stwierdzamy, że $|AD| = 4$ i $|AB| = 8$ .
Obliczamy pole wycinka koła o promieniu $r = |AB| = 8$ wyznaczonego przez kąt środkowy o mierze $120^{\circ}$ .

P_{W} = \frac{120^{0}}{360^{0}} \cdot π \cdot 8^{2}

P_{W} = \frac{64}{3} π

Obliczamy pole trójkąta $ABC$ .

P_{Δ} = \frac{1}{2} \cdot |BC| \cdot |AD|

P_{Δ} = \frac{1}{2} \cdot 8 \sqrt{3} \cdot 4

P_{Δ} = 16 \sqrt{3}

Pole odcinka koła jest równe różnicy pola wycinka i pola trójkąta $ABC$ .

P = P_{W} - P_{Δ}

P = \frac{64}{3} π - 16 \sqrt{3}

Pole odcinka koła jest równe $21 \frac{1}{3} π - 16 \sqrt{3}$ .

Ćwiczenie 2

R10XbdDDegDmV1

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DaCAcOnS

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Nazwijmy niebieską figurę na rysunku „figurą sercową”.
Zastanów się, w jaki sposób powstała ta figura.
Sprawdź, że pole figury sercowej jest równe $π r^{2}$ .

Wskazówka $P_{serca} = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot π {(\frac{r \sqrt{2}}{2})}^{2} + \frac{1}{4} \cdot π {(r \sqrt{2})}^{2}$

Ćwiczenie 3

Długość boku kwadratu jest równa $a$ .
Na bokach kwadratu rysujemy księżyce Hipokratesa.

RXCYAlWNHuF8x1

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DaCAcOnS

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Figurę utworzoną z tych księżyców nazwiemy lunulą (Luna po łacinie to Księżyc).
Oblicz pole kwadratu.
Oblicz pole jednej z części lunuli. Oblicz pole lunuli.
Porównaj to pole z polem kwadratu. Co zauważasz?

Wskazówka
$P_{K}$ - pole kwadratu
$P_{0}$ - pole kola
$P_{KS}$ - pole jednego z księżyców
$P$ - pole półkola zbudowanego na boku kwadratu

P_{K} = a^{2}

P_{0} = π {(\frac{1}{2} a \sqrt{2})}^{2} = π \cdot \frac{1}{4} a^{2} \cdot 2 = \frac{π a^{2}}{2}

P_{O} - P_{K} = \frac{1}{2} π a^{2} - a^{2}

P = \frac{1}{8} π a^{2}

P_{KS} = \frac{1}{8} π a^{2} - \frac{1}{4} (\frac{1}{2} π a^{2} - a^{2}) = \frac{a^{2}}{4}

4 P_{KS} = a^{2}

Ćwiczenie 4

Lunula trójkątna powstaje na bazie trójkąta prostokątnego równoramiennego.

R1DdwlOeLaiWF1

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DaCAcOnS

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Przyjrzyj się, jak powstaje lunula trójkątna i wykonaj podobną konstrukcję.

Re1XHHOWikJ211

Rysunek kwadratu A B C D. Zaznaczone półkole opisane na kwadracie. Średnica koła AB jest równa przekątnej kwadratu. Poprowadzony łuk o środku w punkcie D i promieniu DA = DB. Pomiędzy przekątną kwadratu a wykreślonym łukiem powstał obszar lunuli trójkątnej. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Oblicz pole połowy kwadratu (czyli pole trójkąta prostokątnego równoramiennego).
Oblicz pole lunuli.
Porównaj te pola. Co zauważasz?

Wskazówka

R1PfSDStxXndL1

Rysunek trójkąta prostokątnego równoramiennego o ramionach równych a. Promień półkola jest równy jedna druga razy a pierwiastek z dwóch. Wskazówka do zadania. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$\frac{a^{2}}{2}$ - pole połowy kwadratu
$\frac{a \sqrt{2}}{2}$ - promień półkola
$\frac{π a^{2}}{4}$ - pole połowy koła
$\frac{π a^{2}}{4} - (\frac{π a^{2}}{4} - \frac{a^{2}}{2})$ - pole lunuli

R1JrLDuKxWDGk1

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DaCAcOnS

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

izlRarXnZc_d5e483

Ćwiczenie 5

Koło o środku w punkcie $S$ i promieniu równym $6$ podzielono na jednakowe części. Następnie zamalowano na zielono niektóre z części – jak na rysunku. Oblicz pole zaznaczonych na zielono części tego koła.

Roe0S7ZoablFf1

Rysunek czterech kół. Pierwsze koło podzielone na sześć równych części, zamalowane trzy części. Drugie koło podzielone na osiem równych części, zamalowana jedna część. Trzecie koło podzielone na szesnaście równych części, zamalowane trzy części. Czwarte koło podzielone na cztery równe części, zamalowane trzy części. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$18 π$
$4,5 π$
$6,75 π$
$27 π$

Ćwiczenie 6

Koło o środku w punkcie $S$ ma promień równy $4$ . Oblicz pole pomalowanego na zielono wycinka tego koła.

RTU2TPSL7rq5z1

Rysunek czterech kół. W pierwszym kole wycinek kołowy wyznaczony przez kąt środkowy 60 stopni. W drugim kole wycinek kołowy wyznaczony przez kąt środkowy 60 stopni. W trzecim kole wycinek kołowy wyznaczony przez kąt środkowy 90 stopni. W czwartym kole dwa wycinki kołowe wyznaczone przez kąt 30 stopni i kąt do niego wierzchołkowy. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$\frac{8}{3} π$
$\frac{8}{3} π$
$4 π$
$\frac{8}{3} π$

Ćwiczenie 7

Oblicz pole koła, wiedząc, że

wycinek tego koła wyznaczony przez kąt środkowy o mierze $120 °$ ma pole równe $3 π$
wycinek tego koła wyznaczony przez kąt środkowy o mierze $72 °$ ma pole równe $π$

$9 π$
$5 π$

Ćwiczenie 8

W okręgu o promieniu $12 cm$ zaznaczono łuk wyznaczony przez kąt środkowy o mierze $α$ . Wyznacz długość tego łuku, jeżeli

$α = 40 °$
$α = 20 °$
$α = 240 °$
$α = 100 °$

$2 \frac{2}{3} π cm$
$1 \frac{1}{3} π cm$
$16 π cm$
$6 \frac{2}{3} π$ cm

Ćwiczenie 9

Kwiatek składa się z czterech jednakowych płatków i środka w kształcie koła. Płatek ma kształt wycinka koła wyznaczonego przez kąt środkowy o mierze $45 °$ w kole o promieniu $9$ . Środkowe koło ma promień równy $9$ . Oblicz pole powierzchni kwiatka. Wynik podaj z dokładnością do $0,1$ .

RXnzXrfIJ6XgT1

Rysunek kwiatka o środku w kształcie koła i czterech płatków będących jednakowymi wycinkami koła. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wycinki jednakowe o kącie między ramionami $450$ .

około $381,5 {cm}^{2}$

classicmobile

Ćwiczenie 10

Które z linii mają tę samą długość?

RC7aUStxQkxMZ1

Rysunek czterech różnych figur złożonych z łuków i odcinków. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RdX4QYGLVyabY

$I$ i $III$
$II$ i $IV$
$II$ i $III$
$I$ i $IV$

static

Ćwiczenie 10

Które z linii mają tę samą długość?

R6VdeYeIYJojO1

R8O5Z3tczlNCQ

$I$ i $III$
$II$ i $IV$
$II$ i $III$
$I$ i $IV$

Ćwiczenie 11

Oblicz długość łuku w okręgu o promieniu $4 cm$ , wyznaczonego przez kąt środkowy $α$ .

R1DFlEAvj1Xn01

Rysunek okręgu. Zaznaczony kąt środkowy alfa i kąt wpisany 40 stopni oparte na tym samym łuku okręgu. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$1 \frac{7}{9} π$

Ćwiczenie 12

W kole o środku w punkcie S i promieniu $7,25$ poprowadzono cięciwy $AB$ i $CB$ . Cięciwa $AB$ ma długość $10,5$ .
Oblicz sumę pól odcinków koła wyznaczonych przez te cięciwy. Wynik podaj z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.

R1OD231pfuZ941

Rysunek koła o środku w punkcie S i średnicy AC. Poprowadzone cięciwy AB, CB oraz średnica AC tworzą trójkąt prostokątny A B C. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

P = \frac{1}{2} P_{O} - P_{Δ}

P = 0,5 \cdot 52,565 π - 52,5 \approx 30,02

izlRarXnZc_d5e752

classicmobile

Ćwiczenie 13

Kąt środkowy w kole ma miarę $144 °$ . Długość łuku wyznaczonego przez ten kąt jest równa $1,2 π$ . Zaznacz każde zdanie prawdziwe.

R1dkUhbwNQXps

Średnica tego koła jest równa $3$ .
Długość okręgu ograniczającego to koło jest równa $3$ .
Pole koła jest równe $9 π$ .
Pole tego wycinka jest równe $0,9 π$

static

Ćwiczenie 13

Kąt środkowy w kole ma miarę $144 °$ . Długość łuku wyznaczonego przez ten kąt jest równa $1,2 π$ . Zaznacz każde zdanie prawdziwe.

R1A7bV9Ooc1I6

Średnica tego koła jest równa $3$ .
Długość okręgu ograniczającego to koło jest równa $3$ .
Pole koła jest równe $9 π$ .
Pole tego wycinka jest równe $0,9 π$

Ćwiczenie 14

Wykaż, że pole zaznaczonej na zielono lunuli jest równe polu trójkąta $ABC$ .

R10gdQTNxsaBg1

Rysunek okręgu ośrodku w punkcie B i promieniu AB = CB. Punkty A B C tworzą trójkąt prostokątny A B C. W środku przeciwprostokątnej AC wykreślony łuk o promieniu równym połowie przeciwprostokątnej. Zaznaczony obszar pomiędzy poprowadzonym łukiem a łukiem AC okręgu tworzy lunulę trójkątną. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 15

Jaki promień ma koło, w którym wycinkowi o polu $6 π$ odpowiada kąt o mierze $60 °$ ?

$6$

Ćwiczenie 16

Jaki promień ma okrąg, w którym kąt środkowy o mierze $12 °$ jest oparty na łuku o długości $2 π$ ?

$30$

Ćwiczenie 17

Narysuj koło o promieniu $6$ . Zamaluj część tego koła o polu $30 π$ .

Wskazówka $-$ zaznacz w kole wycinek koła odpowiadający kątowi o mierze $60 °$ .

Ćwiczenie 18

Oblicz pole odcinka kołowego wyznaczonego w kole o promieniu $5$ przez cięciwę łączącą końce dwóch prostopadłych do siebie promieni.

$\frac{25}{4} π - \frac{25}{2}$

Ćwiczenie 19

Narysuj dowolny okrąg. Na okręgu zamaluj łuk stanowiący:

$\frac{3}{4}$ długości okręgu
$\frac{1}{6}$ długości okręgu
$\frac{11}{12}$ długości okręgu

Ćwiczenie 20

Uzupełnij zdania.

Średnica koła wyznacza dwa … odcinki kołowe.
Kąt środkowy $α$ wyznacza w kole … wycinki kołowe.

Ćwiczenie 21

Udowodnij, że średnica dzieli koło na dwa przystające odcinki kołowe.

classicmobile

Ćwiczenie 22

Kąt środkowy oparty na łuku stanowiącym $\frac{1}{8}$ długości okręgu ma miarę

RJX1w0ZcSp9hp

$60 °$
$45 °$
$90 °$
$120 °$

static

Ćwiczenie 22

Kąt środkowy oparty na łuku stanowiącym $\frac{1}{8}$ długości okręgu ma miarę

RLKrty1SHg46v

$60 °$
$45 °$
$90 °$
$120 °$

Ćwiczenie 23

W kole zaznaczono dwa wycinki kołowe o równych polach. Wykaż, że wycinki te wyznaczone są przez kąty środkowe o jednakowych miarach.

Wskazówka
$r$ - promień koła
$α$ - miara kąta środkowego wyznaczającego pierwszy wycinek
$β$ - miara kąta środkowego wyznaczająca drugi wycinek

\frac{π r^{2} \cdot α}{36 0^{0}} = \frac{π r^{2} \cdot β}{36 0^{0}}

α = β

Pole koła

Figury podobne

Wycinek koła. Odcinek koła

Wycinek koła

Odcinek koła