Jak zamienić ułamek zwykły na postać dziesiętną?

Niektóre ułamki zwykłe bardzo ławo zamienić na liczby dziesiętne, czyli zapisać je w postaci dziesiętnej – z przecinkiem.

Najłatwiej zrobić to z ułamkami dziesiętnymi, bo mają w mianowniku $10, 100, 1000 \dots$ itd.
Na przykład:

\frac{7}{10} = 0,7

\frac{43}{100} = 0,43

\frac{25}{1000} = 0,025

Jeżeli ułamek nie ma mianownika $10, 100, 1000 \dots$ itd., ale da się go rozszerzyć do takiego mianownika, to zamiana również nie jest zbyt trudna.
Na przykład:

\frac{4}{5} = \frac{8}{10} = 0,8

\frac{9}{20} = \frac{45}{100} = 0,45

\frac{103}{125} = \frac{824}{1000} = 0,824

Zamieniając liczbę mieszaną na liczbę dziesiętną, trzeba zająć się tylko zamianą ułamka. Całości po prostu przepisujemy.
Na przykład:

2 \frac{9}{100} = 2,09

16 \frac{7}{250} = 16 \frac{28}{1000} = 16,028

Już wiesz

Ułamki zwykłe można zamieniać na liczby dziesiętne, dzieląc licznik ułamka przez jego mianownik.
$\frac{7}{8} = 0,875$ bo

RTzdl1PQzcGja1

Przykład: siedem ósmych = 0,875 bo siedem dzielone przez 8 = 0,875. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$\frac{9}{2} = 4,5$ bo

RTwciVChYOEOg1

Przykład: dziewięć drugich = 4,5 bo 9 dzielone przez 2 =4,5. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 1

Zapisz ułamek w postaci dziesiętnej.

$\frac{9}{10}$
$\frac{3}{100}$
$\frac{84}{100}$
$\frac{5}{1000}$
$\frac{78}{1000}$
$\frac{149}{1000}$
$\frac{99}{10000}$
$\frac{1}{100000}$

$0,9$
$0,03$
$0,84$
$0,005$
$0,078$
$0,149$
$0,0099$
$0,00001$

Ćwiczenie 2

RjmFSpP8rCTv21

Przeciągnij i upuść ułamek dziesiętny oraz postać dziesiętną do odpowiednich ułamków zwykłych.

$\frac{3}{50}$
$\frac{11}{25}$
$\frac{7}{200}$
$\frac{9}{500}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 3

Zapisz liczbę w postaci dziesiętnej.

$1 \frac{3}{5}$
$4 \frac{1}{2}$
$8 \frac{7}{20}$
$10 \frac{12}{50}$
$15 \frac{6}{25}$
$22 \frac{11}{200}$
$83 \frac{23}{500}$
$100 \frac{3}{250}$

$1,6$
$4,5$
$8,35$
$10,24$
$15,24$
$22,055$
$83,046$
$100,012$

Ćwiczenie 4

RTZGNel6VAyXG1

Połącz w pary równe liczby.

$0, 312$
$0, 875$
$0, 325$
$0, 375$
$0, 872$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

iS2f4GgrCG_d5e292

Co to jest rozwinięcie dziesiętne liczby?

Zamieniając ułamek na postać dziesiętną możemy postępować na dwa sposoby:

rozszerzyć ułamek do mianownika 10, 100, 1000 itd. i zapisać go z użyciem przecinka
podzielić licznik przez mianownik ułamka, bo kreska ułamkowa zastępuje znak dzielenia.

Przykład 1

R1G7jTFkzvuZS1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 2

Zamieńmy ułamek $\frac{3}{40}$ na postać dziesiętną dwoma sposobami.

sposób $I$

Rozszerzamy ułamek przez $250$ .

\frac{3}{40} = \frac{75}{1000} = 0,075

sposób $II$

Dzielimy $3$ przez $40$ sposobem pisemnym.

\frac{3}{40} = 0,075

R1EOQJPod9ez11

Przykład: trzy czterdzieste = 0,075 bo 3 dzielone przez 40 =0,075. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 3

Zamieńmy na postać dziesiętną ułamek $\frac{2}{15}$ .
Tego ułamka nie rozszerzymy do mianownika $10, 100, 1000$ … itd.
Możemy posłużyć się tylko drugim sposobem i dzieląc licznik przez mianownik.

\frac{2}{15} = 0,133 \dots

RsOasyzAoKybw1

Przykład: dwie piętnaste = 0,133… bo 2 dzielone przez 15 =0,133… — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

W tym przypadku dzielenie się nie kończy. Gdybyśmy wykonywali je dalej, to cały czas powtarzałaby się cyfra $3$ .

Ważne!

Rozwinięcie dziesiętne liczby, to zapis tej liczby w postaci dziesiętnej – z przecinkiem.
Niektóre liczby mają rozwinięcie dziesiętne skończone, a niektóre nieskończone.
Przykłady liczb i ich rozwinięć dziesiętnych:
skończonych

\frac{3}{40} = 0,075

5 \frac{3}{40} = 5,075

Ćwiczenie 5

Znajdź rozwinięcie dziesiętne ułamka, dzieląc pisemnie jego licznik przez mianownik.

$\frac{19}{20}$
$\frac{37}{50}$
$\frac{13}{25}$
$\frac{29}{125}$
$\frac{2}{3}$
$\frac{5}{6}$
$\frac{2}{11}$
$\frac{4}{9}$

$0,95$
$0,74$
$0,52$
$0,232$
$0,66 \dots$
$0,833 \dots$
$0,1818 \dots$
$0,44 \dots$

iS2f4GgrCG_d5e445

Jakie ułamki mają rozwinięcie skończone?

Ćwiczenie 6

RDmwc5J5rkY0W1

Uzupełnij rozwinięcia dziesiętne podanych ułamków zwykłych, dzieląc licznik przez mianownik. Do obliczeń możesz wykorzystać kalkulator.

a) $\frac{13}{16} =$ ............
b) $\frac{57}{80} =$ ............
c) $\frac{35}{64} =$ ................
d) $\frac{39}{40} =$ ............
e) $\frac{122}{125} =$ ............
f) $\frac{61}{250} =$ ............

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

W powyższym zadaniu wszystkie ułamki miały rozwinięcie dziesiętne skończone. O tym, że dzielenie licznika przez mianownik się skończy, decyduje mianownik ułamka.

Jeżeli rozłożymy mianowniki tych ułamków na czynniki pierwsze, to zauważymy pewną prawidłowość. Spróbuj ją odkryć rozwiązując kolejne zadanie.

Ćwiczenie 7

Rozłóż mianowniki podanych ułamków na czynniki pierwsze. Wykorzystaj metodę „z pionową kreską”.

$\frac{13}{16}$
$\frac{57}{80}$
$\frac{35}{64}$
$\frac{39}{40}$
$\frac{122}{125}$
$\frac{61}{250}$

classicmobile

Ćwiczenie 8

Wskaż wszystkie ułamki, które mają rozwinięcie dziesiętne skończone.

R1ALDlHABjS5V

$\frac{6}{15}$
$\frac{5}{32}$
$\frac{7}{15}$
$\frac{35}{56}$
$\frac{9}{28}$
$\frac{13}{16}$

static

Ćwiczenie 8

Wskaż wszystkie ułamki, które mają rozwinięcie dziesiętne skończone.

RIOBtp3Xa2zN8

$\frac{6}{15}$
$\frac{5}{32}$
$\frac{7}{15}$
$\frac{35}{56}$
$\frac{9}{28}$
$\frac{13}{16}$

Zapisywanie liczb w różnej postaci

Ćwiczenie 9

R7QWNL60doczM1

Uporządkuj ułamki od najmniejszego do największego.

$\frac{50}{99}$
$\frac{65}{128}$
$\frac{53}{105}$
$\frac{377}{750}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 10

R1bIFoaD5BTGx1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Działania na liczbach dziesiętnych

Zaokrąglanie liczb dziesiętnych

Mnożenie liczb dziesiętnych przez liczby naturalne

Jak zamienić ułamek zwykły na postać dziesiętną?

Co to jest rozwinięcie dziesiętne liczby?

Jakie ułamki mają rozwinięcie skończone?

Zapisywanie liczb w różnej postaci