Punkt $A=\left(\frac{1}{9},2\right)$ należy do wykresu funkcji $f\left(x\right)={\log }_{a}x$.

Oznacza to, że $2=f\left(\frac{1}{9}\right)={\log }_a\frac{1}{9}.$

Z definicji logarytmu wiemy, że ${\log }_{a}b=c$ wtedy i tylko wtedy, gdy $a^c=b$.

Otrzymujemy dalej:

$2={\log }_a\frac{1}{9}\iff a^2=\frac{1}{9}$.

Stąd $a=\frac{1}{3}$ lub $a=-\frac{1}{3}$.

Ponieważ $a\in \left(0,1\right)$, to $a=\frac{1}{3}$.

Otrzymujemy wzór funkcji: $f\left(x\right)={\log }_{\frac{1}{3}}x$.

Funkcja przyjmuje wartości z przedziału $\left(0,1\right)$, czyli $0<{\log }_{\frac{1}{3}}x<1$.

Przedstawmy $0$ i $1$ jako logarytmy o podstawie $\frac{1}{3}$:

$0={\log }_{\frac{1}{3}}1$ ponieważ ${\left(\frac{1}{3}\right)}^0=1$,
$1={\log }_{\frac{1}{3}}\frac{1}{3}$ ponieważ ${\left(\frac{1}{3}\right)}^1=\frac{1}{3}$.

Otrzymujemy:

${\log }_{\frac{1}{3}}1<{\log }_{\frac{1}{3}}x<{\log }_{\frac{1}{3}}\frac{1}{3}$,

czyli:

${\log }_{\frac{1}{3}}1<{\log }_{\frac{1}{3}}x$ i ${\log }_{\frac{1}{3}}x<{\log }_{\frac{1}{3}}\frac{1}{3}$.

Funkcja $f\left(x\right)={\log }_{\frac{1}{3}}x$ jest malejąca więc:

$x<1$ i $x>\frac{1}{3}$, a zatem $x\in (\frac{1}{3},1).$

Możemy rozwiązać ten przykład opierając się na wykresie funkcji $f\left(x\right)={\log }_{\frac{1}{3}}x$.

RURJ8hzmqdnvA

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od 0 do 6 i pionową osią y od minus 2 do cztery. W układzie zaznaczono wykres, który ma równanie $y={\log }_{\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 3}}}\left(x\right)$, pojawia się on w pierwsze ćwiartce i biegnie wzdłuż osi y, a następnie biegnie po łuku przez punkty nawias jeden średnik zero zamknięcie nawiasu, nawias trzy średnik minus jeden zamknięcie nawiasu, nawias dziewięć średnik minus dwa zamknięcie nawiasu i wychodzi poza płaszczyznę układu w czwartej ćwiartce. W układzie zaznaczono poziomy odcinek, który rozpoczyna się i kończy niezamalowanymi kropkami, pierwszy punkt leży na osi x i został zrzutowany z wykresu, z miejsca gdzie rzędna ma wartość jeden, a drugi punkt to nawias jeden średnik zero zamknięcie nawiasu. W układzie liniami przerywanymi zaznaczono dwie poziome proste o równaniach: $y=0$ oraz $y=1$.

Dla $x\in \left(\frac{1}{3},1\right)$ funkcja przyjmuje wartości z przedziału $\left(0,1\right)$.

Obliczamy wartości funkcji na krańcach przedziału:

$f\left(\frac{1}{25}\right)={\log }_{\frac{1}{5}}\frac{1}{25}=2$ bo ${\left(\frac{1}{5}\right)}^2=\frac{1}{25}$,

$f\left(5\right)={\log }_{\frac{1}{5}}5=-1$ bo ${\left(\frac{1}{5}\right)}^{-1}=5$.

Ponieważ funkcja przyjmuje wszystkie wartości w zbiorze $\mathrm{ℝ}$ i jest monotoniczna w swojej dziedzinie, to $Z{W}_f=⟨-1,2⟩$.