Wielkości wprost proporcjonalne

R1CJj02jjKDLf1

Definicja: Wielkości wprost proporcjonalne

Dwie zmienne wielkości dodatnie nazywamy wprost proporcjonalnymi, jeżeli iloraz odpowiadających sobie wartości tych wielkości jest stały.

Zapamiętaj!

Iloraz odpowiadających sobie wielkości wprost proporcjonalnych jest stały.

Przykład 1

Państwo Nowakowie postanowili zapakować wszystkie prezenty gwiazdkowe w jednakowe czerwone pudełka i udekorować je złotą wstążką. Ile metrów złotej wstążki powinni przygotować Nowakowie, jeżeli ich rodzina liczy $16$ osób, a na udekorowanie dwóch pudełek z prezentami należy przeznaczyć $5$ metrów wstążki. Każda osoba otrzymuje tylko jeden prezent gwiazdkowy.

Rozwiązanie.
Liczba gwiazdkowych prezentów i długość potrzebnej wstążki do udekorowania tych prezentów są wielkościami wprost proporcjonalnymi. Długość wstążki potrzebnej do udekorowania jednego pudełka jest zawsze taka sama, bez względu na to, ile mamy prezentów. Jest ona równa ilorazowi długości potrzebnej wstążki przez liczbę udekorowanych nią gwiazdkowych prezentów.
Oznaczając przez $x$ długość wstążki potrzebnej do udekorowania $16$ prezentów, możemy ułożyć i rozwiązać odpowiednie równanie.

\frac{5}{2} = \frac{x}{16}

2 ∙ x = 16 ∙ 5

2 x = 80

x = 80 : 2

x = 40

Odpowiedź: Państwo Nowakowie powinni przygotować $40 m$ wstążki, aby udekorować $16$ prezentów gwiazdkowych.

Przykład 2

Agata kupiła $2 kg$ gruszek i zapłaciła $7,82 zł$ . Jej koleżanka Basia kupiła takie same gruszki i zapłaciła $19,55 zł$ . Wyznaczmy masę gruszek, które kupiła Basia.

Rozwiązanie.
Masa gruszek i koszt zakupu gruszek są wielkościami wprost proporcjonalnymi. Cena jednego kilograma gruszek kupionych przez Agatę i Basię jest taka sama. Jest ona równa ilorazowi kwoty zapłaconej za gruszki przez masę kupionych gruszek.
Oznaczając przez $x$ – masę gruszek kupionych przez Basię, możemy ułożyć i rozwiązać równanie.

\frac{7,82}{2} = \frac{19,55}{x}

7,82 ∙ x = 2 ∙ 19,55

7,82 x = 39,1

x = 39,1 : 7,82

x = 5

Odpowiedź: Basia kupiła $5 kg$ gruszek.

iWsLpb4qFX_d5e304

classicmobile

Ćwiczenie 1

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.
Wielkościami wprost proporcjonalnymi są

R1QLvVXyzXRTV

odległość na mapie i odpowiadająca jej odległość w terenie.
wiek człowieka i jego waga.
długość boku rombu i jego obwód.
cena soku i ilość soku, który możemy kupić za daną kwotę.
liczba psów i liczba nóg tych psów.
długość boku sześcianu i wartość jego pola powierzchni całkowitej.

static

classicmobile

Ćwiczenie 2

Zaznacz wielkości wprost proporcjonalne.

Rm4yXa6dkCS3a

static

classicmobile

Ćwiczenie 3

Oceń, czy wielkości przedstawione w tabeli są wprost proporcjonalne.

Rz29M9jud9FoI

Tabela. Dane. □
x	3	2	9
y	15	10	45
Tabela. Dane. □
x	2	4	8
y	4	16	64
Tabela. Dane. □
x	49	63	98
y	7	9	14
Tabela. Dane. □
x	1,4	5,3	6,68
y	0,7	2,55	3,34
Tabela. Dane. □
x	1	2	3
y	100	200	300
Tabela. Dane. □
x	5	8	12
y	6	9	13

static

Ćwiczenie 3

Oceń, czy wielkości przedstawione w tabeli są wprost proporcjonalne.

RK12RHEYpDpfj

Tabela. Dane. □
x	3	2	9
y	15	10	45
Tabela. Dane. □
x	2	4	8
y	4	16	64
Tabela. Dane. □
x	49	63	98
y	7	9	14
Tabela. Dane. □
x	1,4	5,3	6,68
y	0,7	2,55	3,34
Tabela. Dane. □
x	1	2	3
y	100	200	300
Tabela. Dane. □
x	5	8	12
y	6	9	13

Ćwiczenie 4

Jakie liczby należy wpisać w miejsce kropek, aby podane wielkości były wprost proporcjonalne?

Ćwiczenie 5

Z podanych składników można sporządzić około $60$ sztuk faworków.
Składniki ciasta:

$250 g$ mąki
$150 ml$ gęstej śmietany
$4$ żółtka
$10 g$ masła
$\frac{1}{2}$ łyżeczki cukru
$\frac{1}{4}$ łyżeczki soli
$1$ łyżka octu jabłkowego

Ile powinniśmy użyć poszczególnych składników, aby otrzymać $90$ sztuk faworków?

$375 g$ mąki
$225 ml$ gęstej śmietany
$6$ żółtek
$15 g$ masła
$\frac{3}{4}$ łyżeczki cukru
$\frac{3}{8}$ łyżeczki soli
$1,5$ łyżki octu jabłkowego

iWsLpb4qFX_d5e676

Ćwiczenie 6

Z $4 kg$ świeżego masła otrzymamy, w wyniku przeróbki, około $2,8 kg$ klarowanego masła oraz około $70 dag$ pianki białkowej.

Ile dekagramów masła klarowanego otrzymamy z $1$ kilograma świeżego masła, a ile z $250$ gramów?
Ile kilogramów świeżego masła należy przerobić, aby otrzymać $10 kg$ masła klarowanego? Ile otrzymamy wówczas pianki białkowej?

$70 dag$ , $17,5 dag$
około $14,3 kg$ , $357, 1 dag$

Ćwiczenie 7

W ciągu jednej minuty wskazówka sekundowa zegara obróci się o kąt $360 ° .$

O ile stopni obróci się wskazówka sekundowa w ciągu $15$ sekund, a o ile w ciągu $200$ sekund?
W jakim czasie wskazówka sekundowa obróci się o kąt $225 ° ?$

$90 °$ , $1200 °$
$37,5$ sekundy

Ćwiczenie 8

Najdłuższą rzeką w Polsce jest Wisła. Jej długość jest równa $1047 km$ . Jaka jest długość tej rzeki na mapie sporządzonej w skali $1 : 250 000 ?$

$418,8 cm$

Ćwiczenie 9

Basen pływacki to sztuczny zbiornik wody w kształcie prostokąta. Ma on długość $25$ metrów lub $50$ metrów (basen olimpijski) oraz szerokość $12,5$ metra. Ile wynosi powierzchnia basenu pływackiego o długości $25$ metrów, a ile o długości $50$ metrów na mapie sporządzonej w skali $1 : 20$ ?

długość $25$ metrów: $7812,5 {cm}^{2}$ , długość $50$ metrów: $15 625 c m^{2} .$

Równania w postaci proporcji

Wielkości odwrotnie proporcjonalne