Animacja

Polecenie 1

Zapoznaj się z animacją prezentującą przykłady funkcji, których wykresy są sumą odcinków lub półprostych. Następnie rozwiąż zadania i porównaj z odpowiedziami.

RO7gFWUPy44p2

Film dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DeoZbTfll

Film nawiązujący do treści materiału, prezentujący przykłady funkcji, których wykresy są sumą odcinków lub półprostych.

Polecenie 2

Sporządź wykres funkcji:

$f (x) = \{\begin{matrix} x & dla & x \leq 3 \\ - x + 6 & dla & x > 3 \end{matrix}$

Sporządzamy w tym samym układzie współrzędnych wykresy funkcji.

W przedziale $(- \infty, 3⟩$ wykres funkcji $f_{1} (x) = x$ , $f_{1} (0) = 0$ , $f_{1} (3) = 3$ .
W przedziale $(3, \infty)$ rysujemy wykres funkcji $y = - x + 6$ , $f_{2} (5) = 1$ , $f_{2} (4) = 2$ .

R1eIIpuRaJmrq

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią od minus 6 do ośmiu oraz osią pionową od minus 2 do czterech. Zaznaczono prostą rosnącą w przedziale od minus nieskończoności do trzech oraz malejącą w przedziale od trzech do nieskończoności. Zbiór wartości funkcji to przedział od minus nieskończoności do trzech.

Polecenie 3

Na podstawie wykresu funkcji $f$ podaj jej wzór:

RCBvioXNlCi4P

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią od minus 7 do sześciu oraz pionową osią od minus 3 do sześciu. Zaznaczono wykres funkcji liniowej, malejący w przedziale od minus nieskończoności do minus dwóch. Przechodzi przez punkt a o współrzędnych -3;4, następnie maleje w przedziale od minus dwóch do jeden, ponownie rośnie do nieskończoności przechodząc przez punkt B o współrzędnych 3;4. Zbiór wartości to przedział od minus dwóch do nieskończoności.

Szukamy wzorów funkcji w przedziałach.

W przedziale $(- \infty, - 2⟩$ wykres funkcji przechodzi przez punkty: $(- 3, 4)$ , $(- 2, 1)$ .
Współrzędne tych punktów spełniają równanie prostej $y = a x + b$ :
$4 = a \cdot (- 3) + b$ i $1 = a \cdot (- 2) + b$ ,
$4 = - 3 a + b$ i $1 = - 2 a + b$ .
Z pierwszego równania wyznaczamy $b = 3 a + 4$ i podstawiamy do drugiego:
$1 = - 2 a + 3 a + 4$ ,
$-3=a$ i $b = 3 a + 4$ , stąd $b = - 5$ .
$f_{1} (x) = - 3 x - 5$

W przedziale $(- 2, 1⟩$ wybieramy dwa punkty $(0, - 1)$ , $(- 1, 0)$ . Wybrane punkty są punktami przecięcia z osiami układu współrzędnych: z osią $X$ : $(\frac{- b}{a}, 0)$ i osią $Y$ , więc
$- \frac{b}{a} = - 1$ i $b = - 1$ ,
$- \frac{- 1}{a} = - 1$ ,
$\frac{1}{a} = - 1$ , stąd $a = - 1$ .
$f_{2} (x) = - x - 1$

Określamy wzór funkcji w przedziale $(1, \infty)$ .
Wybieramy punkty: $(1, - 2)$ , $(3, 4)$ .
Współrzędne tych punktów spełniają równanie prostej $y = a x + b$ :
$4 = a \cdot 3 + b$ i $- 2 = a \cdot 1 + b$ ,
$4 = 3 a + b$ i $- 2 = a + b$ .
Z drugiego równania wyznaczamy $b = - 2 - a$ i podstawiamy do pierwszego:
$4 = 3 a + (- 2 - a)$ ,
$4 = 3 a - 2 - a$ ,
$4 = 2 a - 2$ ,
$6 = 2 a$ ,
$a = 3$ i $b = - 2 - a$ , stąd $b = - 2 - 3 = - 5$ .
$f_{3} (x) = 3 x - 5$

Otrzymujemy następujący wzór funkcji:

$f (x) = \{\begin{matrix} - 3 x - 5 & dla & x < - 2 \\ - x - 1 & dla & - 2 \leq x \leq 1 \\ 3 x - 5 & dla & x > 1 \end{matrix}$ .

Przeczytaj

Sprawdź się