Skorzystamy w tym miejscu z przedstawionego na filmie wzoru na długość promienia, czyli $r=\frac{P}{p}$, gdzie $P$ oznacza pole trójkąta, zaś $p$ połowę jego obwodu.

Rozpoczniemy od wyznaczenia połowy obwodu, mamy zatem $p=\frac{4+6+8}{2}=9$.

Najprostszym sposobem na wyznaczenie pola tego trójkąta jest zastosowanie wzoru Herona $P=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}$, czyli w naszym przypadku mamy $P=\sqrt{9·5·3·1}=3\sqrt{15}$.

Możemy teraz obliczyć promień okręgu wpisanego w ten trójkąt $r=\frac{P}{p}=\frac{3\sqrt{15}}{9}=\frac{\sqrt{15}}{3}$.

Ostatecznie pole koła wynosi $P=\pi r^2=\pi {\left(\frac{\sqrt{15}}{3}\right)}^2=\frac{5}{3}\pi$.

Na początku wyznaczmy długość promienia okręgu wpisanego w nasz trójkąt korzystając ze wzoru na pole koła $P=\pi r^2$.

Mamy zatem $\frac{8}{3}\pi =\pi r^2$, stąd $r=\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{24}}{3}=\frac{2\sqrt{6}}{3}$.

Możemy teraz wyznaczyć połowę obwodu naszego trójkąta ze wzoru $p=\frac{P}{r}$, czyli $p=\frac{6\sqrt{6}}{\frac{2\sqrt{6}}{3}}=6·\frac{3}{2}=9$.

Wiemy jednak, że długości boków trójkąta są kolejnymi liczbami naturalnymi, czyli możemy je oznaczyć jako $n$, $n+1$, $n+2$.

Stąd obwód trójkąta wynosi $3n+3$, z drugiej jednak strony wiemy, że obwód wynosi $18$. Zatem rozwiązując otrzymane równanie liniowe $3n+3=18$ otrzymujemy $n=5$.

Ostatecznie stwierdzamy, że boki trójkąta mają długości $5$, $6$, $7$.