Animacja

Polecenie 1

Zapoznaj się z animacją prezentującą zastosowanie przybliżonych wartości funkcji trygonometrycznych. Następnie rozwiąż zadania i porównaj z odpowiedziami.

Rbf9FrjVb3Ei5

Film dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/Dhh8mzMlG

Film nawiązujący do treści lekcji dotyczącej zastosowania przybliżonych wartości funkcji trygonometrycznych.

Polecenie 2

W równoramiennym trójkącie prostokątnym przyprostokątna ma długość $a = 8$ . Oblicz długości odcinków, na jakie dzieli tę przyprostokątną dwusieczna przeciwległego kąta. Wynik podaj z dokładnością do $0, 01 cm$ .

R1CwtY3ip8eoa

Zdjęcie przedstawia trójkąt A, B, C. Z punktu A poprowadzoną prostą do boku CB w punkcie D. Odcinek AD dzieli kąt BAC na kąt dwa równe kąty, oba o mierze alfa.

Trójkąt $A B C$ jest równoramienny i prostokątny więc:

$| A C | = | C B | = a = 8 c m$ .
$| ∡ C A B | = | ∡ A B C | = 45^{\circ} = 2 α$

$A D$ jest dwusieczną kąta o mierze $45 °$ , zatem:

$| ∡ C A D | = | ∡ D A B | = \frac{45^{\circ}}{2} = α = 22, 5^{\circ} = 22^{\circ} 30^{'}$

Trójkąt $A C D$ jest prostokątny, więc korzystamy z definicji tangensa:

$\frac{| D C |}{| A C |} = tg α$ , stąd $\frac{| D C |}{8} = tg 22, 5^{\circ}$

Korzystając z kalkulatora obliczamy $tg 22, 5 °$ : $tg 22, 5 ° \approx 0, 4142$

$|DC| = 8 \cdot tg 22, 5 ° \approx 8 \cdot 0, 4142 = 3, 3136 \approx 3, 31$

$|DC| \approx 3, 31 cm$

$| C B | = | D C | + | D B |$ , stąd $| D B | = | C B | - | D C |$

$| D B | \approx 8 - 3, 31 = 4, 69$

$| D B | = 4, 69 c m$

Odpowiedź:

Dwusieczna kąta dzieli przyprostokątną na odcinki o długościach około: $4, 69 cm$ i $3, 31 cm$ .

Polecenie 3

W trójkącie równoramiennym podstawa ma długość $16 cm$ , a pole trójkąta równa się $40 {cm}^{2}$ . Oblicz miary kątów tego trójkąta. Wynik podaj z dokładnością do $1 °$ .

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku:

R1AUBT2Iw5Jrj

Zdjęcie przedstawia trójkąt równoramienny o ramionach b. Podstawa jest równa 2 x = a. Ramiona nachylone są pod kątem alfa. Z górnego wierzchołka upuszczono wysokość h.

Z treści zadania wynika, że: $a = 16 cm$ , $P = 40 {cm}^{2}$

Przekształcając wzór:

P = \frac{a \cdot h}{2}

obliczymy $h$ :

$a \cdot h = 2 \cdot P$ , stąd $h = \frac{2 \cdot P}{a}$

Podstawiamy dane z treści zadania:

$h = \frac{2 \cdot 40}{16} = 5 cm$

Wysokość dzieli trójkąt równoramienny na dwa przystające trójkąty, więc:

$x = \frac{a}{2}$ , zatem $x = \frac{16}{2} = 8 cm$

Korzystamy z definicji funkcji tangens w trójkącie prostokątnym:

$tg α = \frac{h}{x}$ , stąd: $tg α = \frac{5}{8} = 0, 625$

Mając wartość tangensa kąta $α$ , miarę kąta $α$ odczytujemy z tablic lub wykorzystując kalkulator:

$tg 32 ° \approx 0, 6249$ , więc $α \approx 32 °$

Oznaczymy przez $β$ kąt między wysokością $h$ a ramieniem $b$ . Suma miar kątów w trójkącie wynosi $180 °$ , zatem:

$α + α + β = 180 °$ stąd $β = 180 ° - 2 α$

Ostatecznie: $β \approx 180 ° - 2 \cdot 32 ° = 180 ° - 64 ° = 116 °$

Odpowiedź:

Miary kątów wynoszą około: $32 °$ , $32 °$ , $116 °$ .

Przeczytaj

Sprawdź się