Uruchom symulacjaę interaktywną. Ustal położenie wierzchołków czworokąta tak, aby otrzymany wielokąt był wypukły, a następie wybierz polecenie „Czworokąt wpisany w okrąg”. Odczytaj miary kątów wewnętrznych czworokąta. Sformułuj hipotezę dotyczącą zależności między tymi miarami. Zmieniaj położenie wybranych wierzchołków i sprawdź, czy postawiona hipoteza zachodzi dla różnych miar kątów wewnętrznych czworokąta.
Następnie wybierz polecenie „Twierdzenie Ptolemeusza”. Ustal położenie wierzchołków czworokąta wypukłego. Odczytaj długości boków i przekątnych tego czworokąta. Wyznacz iloczyn długości przekątnych i sumę iloczynów długości przeciwległych boków. Sformułuj hipotezę dotyczącą zależności między tymi wielkościami. Zmieniaj położenie wybranych wierzchołków i sprawdź, czy postawiona hipoteza zachodzi dla różnych położeń wierzchołków czworokąta.
Zapoznaj się z poniższym opisem apletu.
R1b7vnYFcse2u
Aplet przedstawia czworokąt A B C D wpisany w okrąg. Aplet daje możliwość poruszania wierzchołkami czworokąta. Ustawiając czworokąt, wyglądający niemal jak prostokąt możemy odczytać następujące kąty: alfa, równa się, osiemdziesiąt dziewięć przecinek dziewięć stopni, BETA, równa się, dziewięćdziesiąt przecinek dwa stopnie, GAMMA, równa się, dziewięćdziesiąt przecinek jeden stopień oraz DELTA, równa się, osiemdziesiąt dziewięć przecinek osiem stopni. Klikając w przycisk twierdzenie Ptolemeusza, w naszym czworokącie boki zostają podpisane w następujący sposób: bok AB to a, bok BC to b, bok CD to c oraz bok DA to d. W czworokącie pojawiają się również jego przekątne, przy czym przekątna AC jest podpisana literą p, a przekątna BD jest podpisana literą q. Pod spodem znajdują się miary naszych odcinków, są one następujące: a, równa się, cztery przecinek pięć, b, równa się, trzy przecinek dziewięć, c, równa się, cztery przecinek pięć, d, równa się, trzy przecinek dziewięć, p, równa się, sześć oraz q, równa się, sześć. Ustawiając czworokąt, aby wyglądał jak trapez możemy odczytać następujące kąty: alfa, równa się, sto dwa przecinek cztery stopnie, BETA, równa się, sto dziesięć przecinek trzy stopnie, GAMMA, równa się, siedemdziesiąt siedem przecinek sześć stopni oraz DELTA, równa się, sześćdziesiąt dziewięć przecinek siedem stopni. Klikając w przycisk twierdzenie Ptolemeusza, w naszym czworokącie boki zostają podpisane w następujący sposób: bok AB to a, bok BC to b, bok CD to c oraz bok DA to d. W czworokącie pojawiają się również jego przekątne, przy czym przekątna AC jest podpisana literą p, a przekątna BD jest podpisana literą q. Pod spodem znajdują się miary naszych odcinków, są one następujące: a, równa się, jeden przecinek siedem, b, równa się, cztery przecinek osiem, c, równa się, cztery przecinek pięć, d, równa się, pięć przecinek trzy, p, równa się, pięć przecinek sześć oraz q, równa się, pięć przecinek dziewięć.
Aplet przedstawia czworokąt A B C D wpisany w okrąg. Aplet daje możliwość poruszania wierzchołkami czworokąta. Ustawiając czworokąt, wyglądający niemal jak prostokąt możemy odczytać następujące kąty: alfa, równa się, osiemdziesiąt dziewięć przecinek dziewięć stopni, BETA, równa się, dziewięćdziesiąt przecinek dwa stopnie, GAMMA, równa się, dziewięćdziesiąt przecinek jeden stopień oraz DELTA, równa się, osiemdziesiąt dziewięć przecinek osiem stopni. Klikając w przycisk twierdzenie Ptolemeusza, w naszym czworokącie boki zostają podpisane w następujący sposób: bok AB to a, bok BC to b, bok CD to c oraz bok DA to d. W czworokącie pojawiają się również jego przekątne, przy czym przekątna AC jest podpisana literą p, a przekątna BD jest podpisana literą q. Pod spodem znajdują się miary naszych odcinków, są one następujące: a, równa się, cztery przecinek pięć, b, równa się, trzy przecinek dziewięć, c, równa się, cztery przecinek pięć, d, równa się, trzy przecinek dziewięć, p, równa się, sześć oraz q, równa się, sześć. Ustawiając czworokąt, aby wyglądał jak trapez możemy odczytać następujące kąty: alfa, równa się, sto dwa przecinek cztery stopnie, BETA, równa się, sto dziesięć przecinek trzy stopnie, GAMMA, równa się, siedemdziesiąt siedem przecinek sześć stopni oraz DELTA, równa się, sześćdziesiąt dziewięć przecinek siedem stopni. Klikając w przycisk twierdzenie Ptolemeusza, w naszym czworokącie boki zostają podpisane w następujący sposób: bok AB to a, bok BC to b, bok CD to c oraz bok DA to d. W czworokącie pojawiają się również jego przekątne, przy czym przekątna AC jest podpisana literą p, a przekątna BD jest podpisana literą q. Pod spodem znajdują się miary naszych odcinków, są one następujące: a, równa się, jeden przecinek siedem, b, równa się, cztery przecinek osiem, c, równa się, cztery przecinek pięć, d, równa się, pięć przecinek trzy, p, równa się, pięć przecinek sześć oraz q, równa się, pięć przecinek dziewięć.
Miary trzech kolejnych kątów wewnętrznych czworokąta wpisanego w okrąg mają się do siebie tak, jak . Oblicz miary kątów tego czworokąta.
Oznaczmy kolejne kąty czworokąta przez , , , . Możemy przyjąć, że , , .
Wtedy, ponieważ sumy miar przeciwległych kątów muszą być sobie równe, otrzymujemy: .
Stąd . Ale .
Zatem oraz , , .
Polecenie 3
W deltoidzie o bokach długości i dokładnie dwa spośród jego kątów wewnętrznych są proste. Oblicz iloczyn długości przekątnych tego deltoidu.
Z warunków zadania wynika, że na tym deltoidzie można opisać okrąg. Zatem, korzystając z twierdzenia Ptolemeusza, możemy zapisać, że iloczyn długości jego przekątnych jest równy
