Animacja

Polecenie 1

Zapoznaj się z przedstawioną poniżej animacją. Przeanalizuj zaprezentowane w niej rozwiązanie zadania, w którym pokazane jest, jak wyznaczyć liczbę wszystkich kwadratów, których boki zawierają się w liniach siatki prostokąta o wymiarach $7 \times 12$ .

R1OadYgZT0tCb2

Film dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DjaKrMdRr

Film nawiązujący do treści materiału dotyczącej reguły mnożenia i tego jak wyznaczyć ilość obiektów spełniających określone warunki.

Polecenie 2

Korzystając z omówionego przykładu, rozwiąż samodzielnie następujące zadanie.

Rozpatrujemy wszystkie prostokąty, których boki zawierają się w liniach siatki dzielącej na kwadraty jednostkowe prostokąt $A B C D$ , w którym $|A B| = 10$ , $|B C| = n$ , gdzie $n$ jest liczbą naturalną większą od $10$ .

Wykaż, że wśród tak otrzymanych prostokątów jest dokładnie $55 n - 165$ kwadratów.

Postępujemy podobnie, jak w rozwiązaniu omówionym w powyższej animacji.

Zauważamy, że:

kwadratów o boku 1 jest $10 \cdot n$ ,
kwadratów o boku 2 jest $9 \cdot (n - 1)$ ,
kwadratów o boku 3 jest $8 \cdot (n - 2)$ ,
kwadratów o boku 4 jest $7 \cdot (n - 3)$ ,
kwadratów o boku 5 jest $6 \cdot (n - 4)$ ,
kwadratów o boku 6 jest $5 \cdot (n - 5)$ ,
kwadratów o boku 7 jest $4 \cdot (n - 6)$ ,
kwadratów o boku 8 jest $3 \cdot (n - 7)$ ,
kwadratów o boku 9 jest $2 \cdot (n - 8)$ ,
kwadratów o boku 10 jest $1 \cdot (n - 9)$ .

Kwadratów o dłuższym boku nie da się otrzymać z podziału prostokąta $A B C D$ .

Obliczamy więc, korzystając z reguły dodawania, łączną liczbę kwadratów spełniających warunki zadania.

$10 n + 9 (n - 1) + 8 (n - 2) + 7 (n - 3) + 6 (n - 4) + 5 (n - 5) +$

$4 (n - 6) + 3 (n - 7) + 2 (n - 8) + (n - 9) =$

$= (10 + 9 + \dots + 1) n - 2 \cdot (9 + 16 + 21 + 24) - 25 = 55 n - 165$

W ten sposób dowód został zakończony.

Przeczytaj

Sprawdź się