W zadaniach z funkcją kwadratową często pojawiał się parametr. Podobnie może być przy wielomianach stopnia innego niż .
Przeanalizuj, jak zmieniają się współczynniki podanego wielomianu w zależności od parametru . Zobacz, jakie wartości może przyjmować stopień wielomianu.
R1DFnPHcgTdGT
W symulacji przedstawiony jest układ współrzędnych z poziomą osią m od minus jedenastu do jedenastu oraz pionową osią deg nawias, W, zamknięcie nawiasu od minus jeden do czterech. Pod układem współrzędnych zapisany jest wielomian W nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, nawias, m indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, trzy m, minus, dziesięć, zamknięcie nawiasu, razy, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, nawias, m indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, m, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, razy, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, m indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, pięć m, zamknięcie nawiasu, razy, x, plus, cztery m, minus, osiem. Pod wielomianem umieszczony jest suwak, czyli poziomy odcinek z naniesionym punktem, którym można przesuwać po całej długości odcinka, zmieniając wartość parametru m od najmniejszej równej minus 10 (z lewej strony), do największej równej 10 (z prawej strony), przy czym parametr zmienia się co 1. Pod suwakiem znajduje się poprzednio opisany wielomian, do którego wstawiona jest wartość parametru m. Dla wartości od minus 10 płaszczyzna jest pusta. Od wartości od minus 9 do minus 6 na płaszczyźnie rysuje się poziomy odcinek na wysokości równej 3 od punktu początkowego minus 10 3. Dla minus dziewięciu odcinek ma długość jeden i dla każdej kolejnej liczby: minus 8, minus 7, minus 6, długość odcinka rośnie o 1 w prawą stronę. Dla m równego minus 5 wykres składa się z opisanego już odcinka, przy czy jest to odcinek prawostronnie otwarty oraz z punktu o współrzędnych minus 5 2. Oznacza to, że trzeci i pierwszy stopień wielomianu dla wartości minus 5 zerują się, a wielomian przyjmuje postać W nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, dwadzieścia osiem x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwadzieścia osiem. Dalej aż do wartości m równej 1 wszystkie potęgi są niezerowe, więc odcinek dalej rysuje się na poziomie równym 3 aż m przyjmie wartość 2. Tu znowu koniec odcinka wypada, przy czym tym razem do punktu o współrzędnych 2 1. Dla wartości m równe 2 , wielomian przyjmuje postać w od x równa się 14 x. Dla większych m nie zerują się już stopnie wielomianu.
W symulacji przedstawiony jest układ współrzędnych z poziomą osią m od minus jedenastu do jedenastu oraz pionową osią deg nawias, W, zamknięcie nawiasu od minus jeden do czterech. Pod układem współrzędnych zapisany jest wielomian W nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, nawias, m indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, trzy m, minus, dziesięć, zamknięcie nawiasu, razy, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, nawias, m indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, m, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, razy, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, m indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, pięć m, zamknięcie nawiasu, razy, x, plus, cztery m, minus, osiem. Pod wielomianem umieszczony jest suwak, czyli poziomy odcinek z naniesionym punktem, którym można przesuwać po całej długości odcinka, zmieniając wartość parametru m od najmniejszej równej minus 10 (z lewej strony), do największej równej 10 (z prawej strony), przy czym parametr zmienia się co 1. Pod suwakiem znajduje się poprzednio opisany wielomian, do którego wstawiona jest wartość parametru m. Dla wartości od minus 10 płaszczyzna jest pusta. Od wartości od minus 9 do minus 6 na płaszczyźnie rysuje się poziomy odcinek na wysokości równej 3 od punktu początkowego minus 10 3. Dla minus dziewięciu odcinek ma długość jeden i dla każdej kolejnej liczby: minus 8, minus 7, minus 6, długość odcinka rośnie o 1 w prawą stronę. Dla m równego minus 5 wykres składa się z opisanego już odcinka, przy czy jest to odcinek prawostronnie otwarty oraz z punktu o współrzędnych minus 5 2. Oznacza to, że trzeci i pierwszy stopień wielomianu dla wartości minus 5 zerują się, a wielomian przyjmuje postać W nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, dwadzieścia osiem x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwadzieścia osiem. Dalej aż do wartości m równej 1 wszystkie potęgi są niezerowe, więc odcinek dalej rysuje się na poziomie równym 3 aż m przyjmie wartość 2. Tu znowu koniec odcinka wypada, przy czym tym razem do punktu o współrzędnych 2 1. Dla wartości m równe 2 , wielomian przyjmuje postać w od x równa się 14 x. Dla większych m nie zerują się już stopnie wielomianu.
Możliwe odpowiedzi: 1. Wielomian W nawias x zamknięcie nawiasu może być co najwyżej stopnia trzeciego., 2. Dla parametru m, równa się, minus, cztery wielomian W nawias x zamknięcie nawiasu jest stopnia trzeciego., 3. Dla parametru m, równa się, zero wielomian W nawias x zamknięcie nawiasu jest stopnia drugiego., 4. Nie ma takiego parametru m, dla którego wielomian W nawias x zamknięcie nawiasu jest stopnia pierwszego., 5. Dla parametru m, równa się, dwa wielomian W nawias x zamknięcie nawiasu jest wielomianem zerowym.
Polecenie 3
Ustal stopień wielomianu w zależności od parametru .
Rozważany wielomian może być co najwyżej stopnia trzeciego.
Wielomian będzie wielomianem stopnia trzeciego wtedy i tylko wtedy, gdy współczynnik przy , czyli wyrażenie przyjmie wartość różną od .
Przekształcamy wyrażenie i sprowadzamy do postaci iloczynowej.
Wyrażenie to przyjmuje wartość wyłącznie dla lub .
Zatem dla wielomian jest wielomianem stopnia trzeciego.
Przeanalizujmy jak zmienia się współczynnik przy . Możemy wyrażenie sprowadzić do postaci iloczynowej. Prościej jednak będzie po prostu sprawdzić, jakie wartości przyjmuje dla .
dla otrzymujemy , czyli jest wielomianem stopnia drugiego,
dla otrzymujemy , zatem wielomian na pewno nie jest stopnia trzeciego, ani nie jest stopnia drugiego.
Musimy jeszcze przeanalizować wartości współczynników przy niższych potęgach. Sprawdźmy wartość współczynnika przy dla . Współczynnik przy to , czyli jest wtedy wielomianem stopnia pierwszego.
Wartość wyrazu wolnego nie ma wpływu na stopień wielomianu , dlatego dalsza analiza parametru nie jest potrzebna.
Polecenie 4
Ustal, jaki jest stopień wielomianu w zależności od parametru .
