Graniastosłup prawidłowy trójkątny to taki graniastosłup prostygraniastosłup prostygraniastosłup prosty, który ma w podstawie trójkąt równoboczny.
RqqUeqTyR02lg
Bryła ta ma pięć ścian: dwie podstawy i trzy ściany boczne. Istnieje wiele odcinków, które możemy w takim graniastosłupie wyróżnić. Zarówno te leżące na ścianach – krawędzie, przekątne, wysokości, jak i znajdujące się wewnątrz graniastosłupa.
Krawędzie graniastosłupa prawidłowego trójkątnego
Graniastosłup prawidłowy trójkątny ma krawędzi podstawy (oznaczmy ich długość przez ) oraz krawędzie boczne, będące wysokościami (oznaczmy ich długość przez ). Suma długości wszystkich krawędzi graniastosłupa prawidłowego trójkątnego dana jest wzorem
Przykład 1
Obliczymy długości krawędzi bocznej graniastosłupa prawidłowego trójkątnego wiedząc, że suma długości wszystkich krawędzi wynosi , a krawędź boczna jest cztery razy dłuższa od krawędzi podstawy.
Rozwiązanie:
Przyjmijmy oznaczenia jak w części tekstu przed przykładem:
Zatem krawędź boczna ma długość .
Przekątne ścian w graniastosłupie prawidłowym trójkątnym
Podstawy graniastosłupa są trójkątami, a więc nie mają przekątnych.
Ściany boczne są przystającymi prostokątami. Każda z nich ma po dwie przekątne równej długości, przecinające się w połowie, ale niekoniecznie pod kątem prostym (prostopadłe są tylko wtedy, gdy ściany są kwadratami).
RMAeren40pajf
Długość przekątnej ściany bocznej obliczymy korzystając z twierdzenia Pitagorasatwierdzenie Pitagorasatwierdzenia Pitagorasa w trójkącie . Oznaczmy tę długość literą .
Przykład 2
Przekątna ściany bocznej w graniastosłupie prawidłowym trójkątnym jest o dłuższa od krawędzi podstawy i o dłuższa od krawędzi bocznej. Oblicz długość tej przekątnej.
Rozwiązanie:
Przez oznaczmy długość szukanej przekątnej. Wtedy to długość krawędzi podstawy oraz to długość krawędzi bocznej. Pamiętajmy o wyznaczeniu dziedziny. Długości wszystkich odcinków muszą być dodatnie, czyli , a z takiego układu warunków wynika, że .
Zapisujemy równanie korzystając z twierdzenia Pitagorasa:
i rozwiązujemy je:
, odrzucamy ze względu na dziedzinę.
Przekątna ściany bocznej w tym graniastosłupie ma długość .
Wysokość podstawy w graniastosłupie prawidłowym trójkątnym
Wiesz już, że w podstawie omawianej bryły jest trójkąt równoboczny. W każdym trójkącie możemy poprowadzić trzy wysokościwysokość trójkątawysokości przecinające się w jednym punkcie – zwanym ortocentrum. Dodatkowo, w trójkącie równobocznym, wszystkie wysokości są tej samej długości i połowią bok, na który padają. Przypomnijmy, że jeżeli przez oznaczymy długość boku tego trójkąta, to jego wysokość wyraża się wzorem
W trójkącie równobocznym wysokości spełniają definicję środkowychśrodkowa w trójkącieśrodkowych, a więc przyjmują też ich własność – przecinają się w stosunku licząc od wierzchołka.
R1M8CgpGwkLSR
Przykład 3
Obliczymy długość krawędzi bocznej graniastosłupa prawidłowego trójkątnego przedstawionego na rysunku, w którym , a suma długości wszystkich krawędzi to .
RRgBNwr0xl1uy
Rozwiązanie:
Wiemy, że , zatem , czyli wysokośc podstawy .
stąd
Suma długości wszystkich krawędzi wynosi , a więc
Szukana długość krawędzi bocznej to .
Odcinki leżące poza płaszczyznami ścian graniastosłupa prawidłowego trójkątnego
Graniastosłup prawidłowy trójkątny nie ma przekątnych całej bryły. Możemy natomiast wyróżnić odcinki leżące poza płaszczyznami ścian, łączące punkty na krawędziach.
W poniższym aplecie widzimy odcinek łączący wierzchołek górnej podstawy ze środkiem przeciwległej krawędzi dolnej podstawy. Długość tego odcinka możemy obliczyć korzystając z własności w trójkącie prostokątnym .
R1AsysDbHfFR5
Przykład 4
Obliczymy długość odcinka w graniastosłupie prawidłowym trójkątnym (rysunek poniżej), w którym krawędź boczna ma długość , a stosunek długości odcinków jest równy .
RceKc6hVsQJK4
Rozwiązanie:
Korzystając z informacji na temat stosunku długości odcinków zapisujemy, że oraz .
Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie otrzymujemy równość:
Jednocześnie z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie mamy:
Wstawiając za wcześniej wyznaczone wyrażenie otrzymujemy:
Długość odcinka wynosi .
Innym przykładem odcinka w graniastosłupie prawidłowym trójkątnym nie leżącego w płaszczyźnie żadnej ściany jest odcinek łączący środki nierównoległych krawędzi, z których jedna należy do podstawy górnej, a druga do podstawy dolnej. Przykładem jest odcinek w poniższym aplecie.
RGavETMbPRm8d
Przykład 5
Obliczymy długość odcinka w graniastosłupie prawidłowym trójkątnym przedstawionym na rysunku wiedząc, że punkty i są środkami krawędzi oraz , .
RxgkwJQoyM2i7
Rozwiązanie:
Odcinek łączy środki dwóch boków w trójkącie. Z podobieństwa trójkątów i w skali wynika, że oraz, że . Zatem . Jednocześnie .
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie obliczymy długość szukanego odcinka
Słownik
graniastosłup prosty
graniastosłup prosty
graniastosłup, w którym wszystkie krawędzie boczne są prostopadłe do podstaw, a więc wszystkie ściany boczne są prostokątami
twierdzenie Pitagorasa
twierdzenie Pitagorasa
jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej
wysokość trójkąta
wysokość trójkąta
każdy z trzech odcinków łączący wierzchołek tego trójkąta z punktem na przeciwległym boku, prostopadły do tego boku; wysokości w trójkącie przecinają się w punkcie nazywanym ortocentrum
środkowa w trójkącie
środkowa w trójkącie
każdy z trzech odcinków łączący wierzchołek ze środkiem przeciwległego boku; środkowe w trójkącie przecinają się w stosunku licząc od wierzchołka, w punkcie nazywanym środkiem ciężkości trójkąta (barycentrum)