Zastosowania równania prostej: wysokości, środkowe, symetralne boków trójkąta

Przykład 1

Dane są punkty $A = (- 1,1)$ i $B = (5, - 1)$ . Wyznacz równanie symetralnej odcinka $AB .$
Pokażemy dwa sposoby rozwiązania tego zadania.

sposób $I$

Symetralna odcinka jest prostą prostopadłą do tego odcinka i przechodzącą przez jego środek
Współrzędne $S$ środka odcinka o końcach w punktach $A = (- 1,1)$ i $B = (5, - 1)$ są równe
$x_{S} = \frac{- 1 + 5}{2} = 2$ i $y_{S} = \frac{1 - 1}{2} = 0$ , czyli $S = (2,0)$ .
Współczynnik kierunkowy prostej $AB$ jest równy

a = \frac{- 1 - 1}{5 + 1} = - \frac{1}{3} .

Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej jest więc równy $a_{1} = 3 .$ Zatem symetralną można opisać równaniem

y = 3 x + b .

Punkt $S = (2,0)$ leży na symetralnej. Po podstawieniu współrzędnych punktu $S$ do równania otrzymujemy $0 = 3 ∙ 2 + b$ , czyli $b = - 6$ .
Równanie symetralnej ma postać $y = 3 x - 6$ .

sposób $II$

Z własności symetralnej odcinka wynika, że każdy punkt $P$ leżący na symetralnej jest równo oddalony od końców odcinka.

R1PJveZV4ijFu1

Rysunek odcinka AB w układzie współrzędnych. Końce odcinka mają współrzędne A =(-1, 1) i B=(5, -1). Poprowadzona symetralna odcinka AB przechodząca przez punkt P = (x, y). — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wynika z tego, że $|AP| = |BP|$ .
Wykorzystując wzór na długość odcinka, otrzymujemy

\sqrt{{(x + 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2}} = \sqrt{{(x - 5)}^{2} + {(y + 1)}^{2}}

{(x + 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = {(x - 5)}^{2} + {(y + 1)}^{2}

Po zastosowaniu wzorów skróconego mnożenia

x^{2} + 2 x + 1 + y^{2} - 2 y + 1 = x^{2} - 10 x + 25 + y^{2} + 2 y + 1

Stąd otrzymujemy równanie ogólne

12 x - 4 y - 24 = 0 .

Zapisując to równanie w postaci kierunkowej, mamy

y = 3 x - 6 .

Przykład 2

Sprawdź, czy trójkąt o wierzchołkach w punktach: $A = (- 3,6), B = (0,2), C = (4,4)$ jest prostokątny.

sposób $I$

Trójkąt jest prostokątny, jeśli dwa jego boki są prostopadłe. Sprawdzimy, czy wśród trzech prostych zawierających boki trójkąta jest para prostych prostopadłych.
Obliczymy współczynniki kierunkowe każdej z trzech prostych.

Współczynnik kierunkowy prostej $AB$ : $a_{AB} = \frac{6 - 2}{- 3} = - \frac{4}{3}$ .
Współczynnik kierunkowy prostej $BC$ : $a_{BC} = \frac{4 - 2}{4} = \frac{1}{2}$ .
Współczynnik kierunkowy prostej $AC$ : $a_{AC} = \frac{6 - 4}{- 3 - 4} = - \frac{2}{7}$ .

Jeśli proste są prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy $- 1$ . Sprawdźmy:
$a_{AB} ∙ a_{BC} = - \frac{4}{3} ∙ \frac{1}{2} \neq - 1$ , zatem boki $AB$ i $BC$ nie leżą na prostych prostopadłych. Podobnie
$a_{BC} ∙ a_{AC} = - \frac{2}{7} ∙ \frac{1}{2} \neq - 1$ , zatem boki $BC$ i $AC$ nie leżą na prostych prostopadłych.
Zauważmy, że boki $AB$ i $AC$ również nie są prostopadłe (ich współczynniki kierunkowe są ujemne, więc ich iloczyn nie może być równy $- 1$ ).
Wynika z tego, że żadne dwa boki trójkąta nie są prostopadłe, więc ten trójkąt nie jest prostokątny.
Uwaga.
Jeśli wcześniej zaznaczymy punkty w układzie współrzędnych, to zauważymy, że tylko boki $AB$ i $AC$ mogą być prostopadłe. Wystarczy w tym przypadku pokazać, że $a_{AB} ∙ a_{AC} \neq - 1$ .

Rt2AadcEcpliy1

Rysunek trójkąta A B C w układzie współrzędnych o wierzchołkach w punktach o współrzędnych A =(-3, 6), B =(0, 2), C =(4, 4). — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

sposób $II$

Krok $1$
Obliczamy długości boków trójkąta.

|AB| = \sqrt{{(- 3)}^{2} + {(2 - 6)}^{2}} = \sqrt{25} = 5

|AC| = \sqrt{{(- 3 - 4)}^{2} + {(6 - 4)}^{2}} = \sqrt{53}

|BC| = \sqrt{{(- 4)}^{2} + {(2 - 4)}^{2}} = \sqrt{20}

Krok $2$
Sprawdzamy, czy suma kwadratów długości dwóch krótszych boków jest równa kwadratowi długości trzeciego boku. Sprawdzamy, czy jest spełniony warunek wynikający z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa.

{|AB|}^{2} + {|BC|}^{2} = 25 + 20

{|AC|}^{2} = 53

53 \neq 25 + 20

Wynika z tego, że trójkąt nie jest prostokątny.

Przykład 3

Punkty: $A = (- 3,7), B = (0, - 2), C = (6,0), D = (3,9)$ są wierzchołkami czworokąta. Uzasadnij, że czworokąt $ABCD$ jest prostokątem.

sposób $I$

Krok $1$
Sprawdzimy, czy czworokąt $ABCD$ jest równoległobokiem (ma dwie pary boków równoległych).
Obliczymy współczynniki kierunkowe prostych zawierających boki czworokąta.

a_{AB} = \frac{7 + 2}{- 3} = - 3

a_{BC} = \frac{- 2}{- 6} = \frac{1}{3}

a_{CD} = \frac{9}{3 - 6} = - 3

a_{DA} = \frac{9 - 7}{3 + 3} = \frac{1}{3}

Ponieważ $a_{AB} = a_{CD} = - 3$ i $a_{BC} = a_{DA} = \frac{1}{3}$ , więc czworokąt $ABCD$ ma dwie pary boków równoległych.
Krok $2$
Sprawdzamy, czy kąty wewnętrzne równoległoboku są proste.
Ponieważ $a_{AB} ∙ a_{BC} = - 3 ∙ \frac{1}{3} = - 1$ , to proste zawierające boki $AB$ i $BC$ są prostopadłe. Wynika z tego , że jeden z kątów wewnętrznych równoległoboku jest prosty. Z własności kątów w równoległoboku (suma kątów, których wspólnym ramieniem jest bok równoległoboku jest równa $180 °$ ) wynika, że pozostałe kąty są również proste.

RlIoX0JC1bwKj1

Rysunek czworokąta A B C D w układzie współrzędnych o wierzchołkach w punktach o współrzędnych A =(-3, 7), B =(0, -2), C =(6, 0), C =(3, 9). — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Uzasadniliśmy, że czworokąt $ABCD$ jest równoległobokiem, którego kąty wewnętrzne są proste, a więc ten czworokąt jest prostokątem.

sposób $II$
Krok $1$

Sprawdzamy, czy przekątne czworokąta są równe.
Długość przekątnej $AC$ : $|AC| = \sqrt{{(- 3 - 6)}^{2} + {(7)}^{2}} = \sqrt{130}$ .
Długość przekątnej $BD$ : $|BD| = \sqrt{{(3)}^{2} + {(9 + 2)}^{2}} = \sqrt{130}$ .
Wynika z tego, że przekątne czworokąta $ABCD$ są równe.

Krok $2$

Sprawdzamy, czy środek przekątnej $AC$ jest jednocześnie środkiem przekątnej $BD$ .
Środek przekątnej $AC$ : $S_{1} = (\frac{- 3 + 6}{2}, \frac{7}{2}) = (\frac{3}{2}, \frac{7}{2})$ .
Środek przekątnej $BD$ : $S_{2} = (\frac{3}{2}, \frac{- 2 + 9}{2}) = (\frac{3}{2}, \frac{7}{2})$ .
Wynika z tego, że $S_{1} = S_{2}$ . Jest to zatem punkt wspólny obu przekątnych i jednocześnie jest środkiem każdej z nich.

R1OMYrXSVCM5K1

Rysunek prostokąta A B C D w układzie współrzędnych o wierzchołkach w punktach o współrzędnych A =(-3, 7), B =(0, -2), C =(6, 0), C =(3, 9). Poprowadzone przekątne prostokąta. Punkty S z indeksem dolnym jeden i S z indeksem dwa to punkty wspólne dla obu przekątnych i jednocześnie środki każdej z nich. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zatem czworokąt $ABCD$ ma równe przekątne, które przecinają się w punkcie dzielącym każdą z nich na połowę. Z tego wynika, że czworokąt $ABCD$ jest prostokątem.

iDpzUxWz9D_d5e314

Przykład 4

Oblicz pole trapezu prostokątnego, którego wierzchołkami są punkty: $A = (- 2, - 1), B = (6,3), C = (- 1,7), D = (- 5,5)$ .
Aby obliczyć pole trapezu, potrzebne są długości obu podstaw trapezu i jego wysokość.

R1UgytCX0cA5R1

Rysunek trapezu prostokątnego A B C D w układzie współrzędnych, gdzie A =(-2, -1), B =(6, 3), C =(-1, 7), D =(-5, 5). Boki AB = b, CD = a, AD = h. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Długości podstaw trapezu:

a = |DC| = \sqrt{{(- 1 + 5)}^{2} + {(7 - 5)}^{2}} = \sqrt{20} = 2 \sqrt{5}

b = |BA| = \sqrt{{(- 2 - 6)}^{2} + {(- 1 - 3)}^{2}} = \sqrt{80} = 4 \sqrt{5}

Wysokość trapezu:

h = |DA| = \sqrt{{(- 2 + 5)}^{2} + {(- 1 - 5)}^{2}} = \sqrt{45} = 3 \sqrt{5}

Pole trapezu:

P = \frac{a + b}{2} ∙ h = \frac{6 \sqrt{5}}{2} ∙ 3 \sqrt{5} = 9 ∙ 5 = 45

Przykład 5

Punkty: $S_{1} = (4,5), S_{2} = (\frac{13}{2}, 1), S_{3} = (\frac{3}{2}, 0)$ są środkami boków trójkąta $ABC$ . Wyznacz współrzędne wierzchołków tego trójkąta.
Współrzędne wierzchołków oznaczamy odpowiednio: $A = (x_{A}, y_{A})$ , $B = (x_{B}, y_{B})$ , $C = (x_{C}, y_{C})$ . Korzystając ze wzoru na współrzędne środka odcinka, możemy zapisać

S_{1} = (4,5) = (\frac{x_{A} + x_{B}}{2}, \frac{y_{A} + y_{B}}{2})

S_{2} = (\frac{13}{2}, 1) = (\frac{x_{B} + x_{C}}{2}, \frac{y_{B} + y_{C}}{2})

S_{3} = (\frac{3}{2}, 0) = (\frac{x_{A} + x_{C}}{2}, \frac{y_{A} + y_{C}}{2})

Stąd otrzymujemy następujące układy równań:

\{\begin{matrix} 4 = \frac{x_{A} + x_{B}}{2} \\ \frac{13}{2} = \frac{x_{B} + x_{C}}{2} \\ \frac{3}{2} = \frac{x_{A} + x_{C}}{2} \end{matrix} \{\begin{matrix} 5 = \frac{y_{A} + y_{B}}{2} \\ 1 = \frac{y_{B} + y_{C}}{2} \\ 0 = \frac{y_{A} + y_{C}}{2} \end{matrix}

czyli

\{\begin{matrix} 8 = x_{A} + x_{B} \\ 13 = x_{B} + x_{C} \\ 3 = x_{A} + x_{C} \end{matrix} \{\begin{matrix} 10 = y_{A} + y_{B} \\ 2 = y_{B} + y_{C} \\ 0 = y_{A} + y_{C} \end{matrix}

\{\begin{matrix} x_{A} = - 1 \\ x_{B} = 9 \\ x_{C} = 4 \end{matrix} \{\begin{matrix} y_{A} = 4 \\ y_{B} = 6 \\ y_{C} = - 4 \end{matrix}

Wierzchołki trójkąta mają współrzędne: $A = (- 1, 4)$ , $B = (9, 6)$ , $C = (4, - 4)$ .

R1Gd3ReuOO2BH1

Rysunek trójkąta A B C w układzie współrzędnych, gdzie A =(-1, 4), B =(9, 6), C =(4, -4). Zaznaczone środki boków trójkąta: S z indeksem dolnym jeden boku AB, S z indeksem dwa boku BC, S z indeksem dolnym trzy boku AB. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

iDpzUxWz9D_d5e394

Przykład 6

Oblicz pole trójkąta, którego wierzchołkami są punkty: $A = (- 2,6), B = (6, - 2), C = (9,5) .$

sposób $I$

Obliczymy pole tego trójkąta, wykorzystując wzór $P_{ABC} = \frac{1}{2} |AB| ∙ h$ . Potrzebna więc będzie długość jednego z boków i długość wysokości opuszczonej na ten bok.

R12owQiDaIfS21

Rysunek trójkąta A B C w układzie współrzędnych , gdzie A =(-2, 6), B =(6, -2), C =(9, 5). Z wierzchołka C poprowadzona wysokość h. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Krok $1$

Obliczamy długość boku $AB$ .

|AB| = \sqrt{{(- 2 - 6)}^{2} + {(6 + 2)}^{2}} = 8 \sqrt{2}

Krok $2$

Obliczamy wysokość trójkąta poprowadzoną z wierzchołka $C$ do boku $AB$ .

RDsmQvBr7sxw71

Rysunek trójkąta A B C w układzie współrzędnych, gdzie A =(-2, 6), B =(6, -2), C =(9, 5). Z wierzchołka C poprowadzona wysokość h = CD. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wysokość jest równa długości odcinka $CD$ , gdzie $D$ jest spodkiem tej wysokości na bok $AB$ . Punkt $D$ jest punktem wspólnym prostej zawierającej bok $AB$ i prostej do niej prostopadłej, przechodzącej przez wierzchołek $C$ .
Krok $2.1$
Wyznaczymy równanie prostej zawierającej bok $AB$ .
Współczynnik kierunkowy $a = \frac{6 + 2}{- 2 - 6} = - 1$ . Do tej prostej należy punkt $A = (- 2,6)$ , zatem jej równanie można zapisać

y = - 1 (x - (- 2)) + 6

y = - x + 4 .

Krok $2$
Wyznaczymy równanie prostej zawierającej wysokość $CD$ .
Prosta $CD$ jest prostopadła do $AB$ , więc jej współczynnik kierunkowy jest równy $1$ .
Jej równanie możemy zapisać w postaci $y = x + b .$
Podstawiamy współrzędne punktu $C = (9,5)$ leżącego na tej prostej i obliczamy współczynnik $b$ .

5 = 9 + b

czyli $b = - 4$ . Równanie prostej $AB$ ma postać

y = x - 4

Krok $3$
Obliczamy współrzędne punktu wspólnego obu wyznaczonych prostych.
Współrzędne punktu $D$ są rozwiązaniem układu równań złożonych z równań obu prostych:

\{\begin{matrix} y = - x + 4 \\ y = x - 4 \end{matrix}

Rozwiązaniem jest $\{\begin{matrix} x = 4 \\ y = 0 \end{matrix}$ . Stąd $D = (4,0)$ .
Krok $4$
Obliczamy wysokość $h$ .

h = |CD| = \sqrt{{(9 - 4)}^{2} + {(5)}^{2}} = 5 \sqrt{2}

Krok $5$
Obliczymy pole trójkąta $ABC$ .

P = \frac{1}{2} |AB| h = \frac{1}{2} ∙ 8 \sqrt{2} ∙ 5 \sqrt{2} = 40

Uwaga.
Potrzebna do obliczenia pola wysokość trójkąta $h$ jest równa odległości punktu $C$ od prostej zawierającej bok $AB$ .

R1XV8qFqfPePl1

Rysunek prostej o równaniu A razy x +B razy y +C =0 w układzie współrzędnych. Zaznaczony punkt P =(x z indeksem dolnym zero, y z indeksem dolnym zero). Odległość punktu P od prostej równa d. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Odległość punktu $P = (x_{0}, y_{0})$ od prostej o równaniu
$Ax + By + C = 0$ jest równa

d = \frac{|A x_{0} + B y_{0} + C|}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}}

Równanie prostej $AB$ ma postać kierunkową $y = - x + 4$ i ogólną $x + y - 4 = 0$ .
Wysokość $h$ jest odległością punktu $C = (9,5)$ od prostej o równaniu $x + y - 4 = 0$ .
Zatem, wstawiając do wzoru odpowiednie liczby, otrzymujemy

h = \frac{|x_{0} + y_{0} - 4|}{\sqrt{1^{2} + 1^{2}}} = \frac{|9 + 5 - 4|}{\sqrt{2}} = \frac{|10|}{\sqrt{2}} = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5 \sqrt{2}

sposób $II$

Trójkąt $ABC$ możemy wpisać w taki prostokąt, którego boki są równoległe do osi układu współrzędnych. Wtedy pole trójkąta można obliczyć jako różnicę pól prostokąta i trzech trójkątów prostokątnych.

R1BaT79v4UZit1

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DnT3mEBYy

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Przykład 7

Oblicz pole trójkąta o wierzchołkach w punktach: $A = (- 2,6), B = (6, - 3), C = (5,3) .$
Pole trójkąta rozwartokątnego $ABC$ można obliczyć jako sumę pól dwóch trójkątów $ACF$ i $CFB$ .

R8tyU2bSz0xP61

Rysunek trójkąta A B C w układzie współrzędnych, gdzie A =(-2, 6), B =(6, -3), C =(5, 3). Narysowano dwa prostokąty A E F G oraz B L C K, których przekątne należą do boków trójkąta A B C. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

P_{ACF} = 7 ∙ 7 - (\frac{1}{2} ∙ 7 ∙ 7 + \frac{1}{2} ∙ 7 ∙ 3) = 14

P_{CFB} = 6 ∙ 2 - (\frac{1}{2} ∙ 2 ∙ 2 + \frac{1}{2} ∙ 2 ∙ 6) = 4

Pole trójkąta $ABC$ :

P_{ABC} = P_{ACF} + P_{CFB} = 14 + 4 = 18

Przykład 8

Punkt $A$ leży na prostej $k$ o równaniu $y = 2 x - 1$ , a punkt $B$ na prostej $m$ o równaniu $y = - x + 3$ . Wyznacz współrzędne punktów $A$ i $B$ tak, aby punkt $P = (0,0)$ był środkiem odcinka $AB$ .

R1RJsHomDg8k21

Rysunek prostych k : y =2x -1, m : y =-x +3 oraz punktu P w układzie współrzędnych. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Współrzędne punktu $A$ możemy zapisać, wykorzystując fakt, że $A$ leży na prostej $y = 2 x - 1$ :
$A = (x_{A}, 2 x_{A} - 1)$ . Podobnie zapisujemy współrzędne punktu $B$ leżącego na prostej $y = - x + 3$ :
$B = (x_{B}, - x_{B} + 3)$ .
Punkt $P = (0,0)$ jest środkiem odcinka $AB$ , zatem wykorzystując wzory na współrzędne środka odcinka, otrzymujemy:
$\frac{x_{A} + x_{B}}{2} = 0$ i $\frac{(2 x_{A} - 1) + (- x_{B} + 3)}{2} = 0$ .
Po uporządkowaniu otrzymujemy układ równań

\{\begin{matrix} x_{A} + x_{B} = 0 \\ 2 x_{A} - x_{B} = - 2 \end{matrix}

Rozwiązaniem układu jest $x_{A} = - \frac{2}{3}$ i $x_{B} = \frac{2}{3}$ .
Z tego wynika, że

A = (- \frac{2}{3}, 2 ∙ (- \frac{2}{3}) - 1) = (- \frac{2}{3}, - \frac{7}{3})

B = (\frac{2}{3}, - \frac{2}{3} + 3) = (\frac{2}{3}, \frac{7}{3})

iDpzUxWz9D_d5e587

Ćwiczenie 1

Wyznacz równanie symetralnej odcinka $AB$ .

$A = (- 2,4), B = (3,2)$
$A = (- 3, - 1), B = (1,1)$
$A = (1,2), B = (- 2, - 1)$
$A = (6,3), B = (- 2,5)$
$A = (0, - 2), B = (5,3)$
$A = (2 \sqrt{2}, - 8 \sqrt{2}), B = (- 2 \sqrt{2}, 8 \sqrt{2})$

$y = 2 \frac{1}{2} x + 1 \frac{3}{4}$
$y = - 2 x - 2$
$y = - x$
$y = 4 x - 4$
$y = - x + 3$
$y = \frac{1}{4} x$

Ćwiczenie 2

Wyznacz równanie prostej zawierającej środkową $AD$ trójkąta $ABC$ , którego wierzchołkami są podane punkty.

$A = (- 2,3), B = (1, - 2), C = (4,2)$
$A = (- 3,3), B = (4, - 1), C = (- 2,3)$
$A = (6,1), B = (7,0), C = (1,0)$
$A = (- 3,2), B = (3,5), C = (- 2, - 1)$

Równanie środkowej $AD$ : $y = - \frac{2}{3} x + 1 \frac{2}{3}$
Równanie środkowej $AD$ : $y = - \frac{1}{2} x + \frac{3}{2}$
Równanie środkowej $AD$ : $y = \frac{1}{2} x - 2$
Równanie środkowej $AD$ : $y = 2$

Ćwiczenie 3

Wykaż, że trójkąt o wierzchołkach w punktach: $A = (0,4), B = (5,3), C = (- 1, - 1)$ jest prostokątny. Czy ten trójkąt jest równoramienny?

Współczynnik kierunkowy prostej $AB$ : $a_{1} = - \frac{1}{5}$ , współczynnik kierunkowy prostej $AC$ : $a_{2} = 5$ . Wynika z tego, że bok $AB$ jest prostopadły do boku $AC$ . Zatem trójkąt $ABC$ jest prostokątny.
Trójkąt jest równoramienny, gdyż $|AB| = \sqrt{26}$ , $|AC| = \sqrt{26}$ , czyli $|AB| = |AC|$ .

Ćwiczenie 4

Wykaż, że czworokąt $ABCD$ , którego wierzchołkami są punkty: $A = (4, - 1), B = (8,6), C = (0,5), D = (- 4, - 2)$ , jest rombem.

Przekątna $AC$ leży na prostej $y = - \frac{3}{2} x + 5$ , a przekątna $BC$ na prostej $y = \frac{2}{3} x + \frac{2}{3}$ . Z tego, że $- \frac{3}{2} ∙ \frac{2}{3} = - 1$ wynika, że przekątne czworokąta są do siebie prostopadłe.
Punkt $S = (2,2)$ jest środkiem przekątnej $AC$ i jednocześnie środkiem przekątnej $BD$ . Wynika z tego, że punkt przecięcia się prostopadłych do siebie przekątnych dzieli każdą z nich na połowy. Zatem czworokąt $ABCD$ jest rombem.

Ćwiczenie 5

Punkty $A = (0,1), B = (6, - 1), C = (7,2)$ są wierzchołkami równoległoboku $ADBC$ . Punkt $E$ jest punktem przecięcia się przekątnych równoległoboku. Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkt $E$ i równoległej do boku $AB$

$E = (\frac{7}{2}, \frac{3}{2})$ , prosta $y = - \frac{1}{3} x + 2 \frac{2}{3}$

Ćwiczenie 6

Punkty $B = (5, - 2)$ i $D = (3,6)$ są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu $ABCD$ . Wyznacz równanie prostej $AC$ .

AC : y = \frac{1}{4} x + 1

Ćwiczenie 7

Oblicz pole trójkąta prostokątnego $ABC$ , którego wierzchołkami są podane punkty

$A = (5,4), B = (- 3,0), C = (3,6)$
$A = (5,2), B = (- 3,8), C = (6,5)$

$P_{ABC} = 12$
$P_{ABC} = 15$

Ćwiczenie 8

W trójkącie $ABC$ bok $AB$ leży na prostej $y = - x - 2$ , wierzchołek $C = (3,5)$ . Wyznacz równanie wysokości opuszczonej na bok $AB$ oraz oblicz długość tej wysokości.

Równanie wysokości $y = x + 2$ , $|CD| = 5 \sqrt{2}$

Ćwiczenie 9

Oblicz pole równoległoboku $ABCD$ o wierzchołkach w punktach: $A = (11,4), B = (5, - 3), C = (1, - 2)$ .

Długość boku $|CB| = \sqrt{17}$ , długość wysokości opuszczonej na bok jest równa $CB$ $h = 2 \sqrt{17}$ .
Pole równoległoboku jest równe $P = 34 .$

Ćwiczenie 10

Punkty: $K = (- 3,2), L = (1,4), M = (3,0)$ są środkami kolejnych boków kwadratu $ABCD$ . Wyznacz współrzędne wierzchołków kwadratu.

$A = (- 2,5), B = (- 4, - 1), C = (2, - 3), D = (4,3)$

Długość odcinka. Środek odcinka

Jednomian kwadratowy i jego własności. Przesunięcie wykresu jednomianu kwadratowego wzdłuż osi układu współrzędnych

Zastosowania równania prostej: wysokości, środkowe, symetralne boków trójkąta