Slajd pierwszy. Mówimy, że funkcja y równa się f od x jest rosnąca w pewnym zbiorze A, jeżeli wraz ze wzrostem jej argumentów należących do tego zbioru, rosną także wartości funkcji odpowiadające tym argumentom. Ilustracja przedstawia poziomą oś x od minus sześciu do czterech oraz pionową oś y od minus jedynki do sześciu. Na rysunku zaznaczono wykres rosnącej funkcji homograficznej f przechodzącej przez punkty nawias zero średnik jeden koniec nawiasu oraz nawias dwa średnik cztery koniec nawiasu. Slajd drugi. Mówimy, że funkcja y równa się f od x jest malejąca w pewnym zbiorze A, jeżeli wraz ze wzrostem jej argumentów należących do tego zbioru, maleją wartości funkcji odpowiadające tym argumentom. Ilustracja przedstawia poziomą oś x od minus czterech do sześciu oraz pionową oś y od minus jedynki do sześciu. Na rysunku zaznaczono wykres malejącej funkcji homograficznej f przechodzącej przez punkty oraz nawias minus dwa średnik cztery koniec nawiasu oraz nawias zero średnik jeden koniec nawiasu. Slajd trzeci Na podstawie definicji wykażemy, że funkcja $f\left(x\right)=\frac{x+2}{x+1}$ jest malejąca dla argumentów mniejszych od minus jeden. Wybieramy dwa argumenty x indeks dolny jeden koniec indeksu i x indeks dolny dwa koniec indeksu funkcji f, które są mniejsze od minus jeden i takie, że x indeks dolny jeden koniec indeksu jest mniejszy od x indeks dolny dwa koniec indeksu. Wtedy $x_1<-1$ więc $x_1+1<0$ oraz $x_2<-1$ więc $x_2+1<0$. $x_1-x_2<0$. Badamy różnicę wartości funkcji f dla argumentów x indeks dolny jeden koniec indeksu oraz x indeks dolny dwa koniec indeksu. $f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)=\frac{x_1+2}{x_1+1}-\frac{x_2+2}{x_2+1}$. $f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)=\frac{\left(x_1+2\right)\left(x_2+1\right)-\left(x_2+2\right)\left(x_1+1\right)}{\left(x_1+1\right)\left(x_2+1\right)}=\frac{-x_1+x_2}{\left(x_1+1\right)\left(x_2+1\right)}=\frac{-\left(x_1-x_2\right)}{\left(x_1+1\right)\left(x_2+1\right)}$. Po sprowadzeniu ułamków do wspólnego mianownika, wykonaniu niezbędnych działań oraz redukcji wyrazów podobnych otrzymujemy wyrażenie $\frac{-\left(x_1-x_2\right)}{\left(x_1+1\right)\left(x_2+1\right)}$. Licznik otrzymanego ułamka przyjmuje wartości dodatnie. Mianownik także jest dodatni jako iloczyn dwóch ujemnych czynników $x_1+1$ oraz $x_2+1$. Zatem badana różnica $f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)$ jest dodatnia. Slajd czwarty. Oznacza to, że wartość funkcji odpowiadająca mniejszemu argumentowi x indeks dolny jeden koniec indeksu jest większa od wartości funkcji odpowiadającej większemu argumentowi x indeks dolny dwa koniec indeksu. Wykazaliśmy zatem, że badana funkcja jest malejąca w przedziale prawo i lewo stronnie otwartym od minus nieskończoności do minus jeden. Slajd piąty. Zilustrujmy powyższy przykład w układzie współrzędnych. Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus siedmiu do trzech oraz pionową oś y od minus czterech do sześciu. Na rysunku zaznaczono wykres malejącej funkcji homograficznej posiadającej dwie asymptoty o równaniach x równa się minus jeden oraz y równa się jeden. Wykres funkcji przechodzi przez punkty nawias minus dwa średnik zero koniec nawiasu oraz nawias zero średnik dwa koniec nawiasu.