Animacja

Polecenie 1

Zapoznaj się z animacją dotyczącą wykorzystania wartości funkcji trygonometrycznych kątów $30 °$ , $45 °$ , $60 °$ . Następnie rozwiąż zadania i porównaj z odpowiedziami.

RxxAhIp0iBQX3

Film dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/Do2Bjuz96

Film nawiązujący do treści lekcji dotyczącej wykorzystania wartości funkcji trygonometrycznych kątów 30, 60, 45 stopni w zadaniach geometrycznych.

Polecenie 2

Ramiona trapezu są nachylone do jego dłuższej podstawy pod kątem $30 °$ i $45 °$ . Krótsza podstawa ma długość $8 cm$ i jest równa wysokości $h$ trapezu. Oblicz pole i obwód tego trapezu.

R1MAIVJRUJakS

Rysunek przedstawia trapez A B C D, w którym prawe ramię B C jest nachylone do dolnej podstawy pod kątem 45 stopni, a lewe ramię A D pod kątem 30 stopni. Górna podstawa C D ma długość osiem. Z górnych wierzchołków upuszczono wysokości o długości 8 i oznaczono między nimi a podstawą dolną kąty proste. Wysokości to odcinki: lewa D E, a prawa wysokość to odcinek C F. Wysokości podzieliły dolną podstawę na trzy odcinki. Od lewej: odcinek A E opisano jako x, odcinek E F ma długość 8, odcinek F B opisano jako y.

Wyraźmy długość dolnej podstawy trapezu za pomocą $x$ , $y$ i $|E F| = 8 cm$ : $|A B| = x + 8 + y$ .

Ponieważ trójkąt $C F B$ jest prostokątny i równoramienny, to $y = 8 cm$ .

Dla prostokątnego trójkąta $A E D$ zapisujemy: $\frac{8}{x} = tg 30 °$ i podstawiając $tg 30 ° = \frac{1}{\sqrt{3}}$ , otrzymujemy

$x = \frac{8}{tg 30 °} = \frac{8}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = 8 \sqrt{3} cm$ .

Ponieważ $|A B| = x + 8 + y$ , to podstawiając wyliczone wartości otrzymujemy

$|A B| = 8 \sqrt{3} + 8 + 8 = (8 \sqrt{3} + 16) cm$ .

Mamy już wszystkie wartości niezbędne do wyliczenia pola trapezu, stosując wzór $P = \frac{|A B| + |D C|}{2} \cdot h$ , otrzymujemy

$P = \frac{8 \sqrt{3} + 16 + 8}{2} \cdot 8 = (8 \sqrt{3} + 24) \cdot 4 = 32 (\sqrt{3} + 3) {cm}^{2}$ .

Przejdźmy teraz do obliczenia obwodu trapezu: $L = |A B| + |B C| + |D C| + |A D|$ .

Z trójkąta prostokątnego $A E D$ obliczamy długość boku $A D$ :

$\frac{8}{|A D|} = \sin 30 °$ i $\sin 30 ° = \frac{1}{2}$ , więc $\frac{8}{|A D|} = \frac{1}{2}$ , $|A D| = 16 cm$ .

Z trójkąta prostokątnego $C F B$ obliczamy długość boku $B C$ :

$\frac{8}{|B C|} = \sin 45 °$ i $\sin 45 ° = \frac{\sqrt{2}}{2}$ , więc $\frac{8}{|B C|} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ , $|B C| = \frac{16}{\sqrt{2}} = 16 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 8 \sqrt{2} cm$ .

Ponieważ $L = |A B| + |B C| + |D C| + |A D|$ , to

$L = 8 \sqrt{3} + 16 + 8 + 16 + 8 \sqrt{2} = 40 + 8 (\sqrt{3} + \sqrt{2}) cm$ .

Pole trapezu wynosi $32 (\sqrt{3} + 3) {cm}^{2}$ , a jego obwód $40 + 8 \sqrt{3} + \sqrt{2} cm$ .

Polecenie 3

W trójkącie równoramiennym suma długości ramienia i wysokości wynosi $6$ , a kąt przy podstawie równy jest $30 °$ . Oblicz pole tego trójkąta.

Rozważymy dwa przypadki.

Przypadek 1.

Przyjmujemy oznaczenia jak na rysunku:

R19SznHEWH60S

Rysunek przedstawia trójkąt A B C. Kąt C A B ma miarę 30 stopni. Z górnego wierzchołka C upuszczono na podstawę A B wysokość h będącą odcinkiem C D. Między wysokością h a odcinkiem składowym podstawy, czyli odcinkiem D B zaznaczono kąt prosty.

Z treści zadania wynika, że:

$|A C| = |B C|$ , $|A C| + h = 6$ .

Trójkąt $A B C$ jest równoramienny, więc $|A D| = |D B| = \frac{1}{2} |A B|$ .

Dla trójkąta prostokątnego $A D C$ zapisujemy:

1. $\frac{h}{|A C|} = \sin 30 °$ , ponieważ $|A C| + h = 6$ , to możemy podstawić $|A C| = 6 - h$ .

$\frac{h}{6 - h} = \sin 30 °$ i $\sin 30 ° = \frac{1}{2}$ , więc $\frac{h}{6 - h} = \frac{1}{2}$ , stąd wyznaczamy $h$ : $2 h = 6 - h$ , $h = 2$ .

2. $\frac{h}{|A D|} = tg 30 °$ i $tg 30 ° = \frac{1}{\sqrt{3}}$ , więc $|A D| = \frac{h}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = h \sqrt{3}$ , podstawiając $h = 2$ mamy $|A D| = 2 \sqrt{3}$ .

Ponieważ $|A D| = \frac{1}{2} |A B|$ , więc $|A B| = 2 |A D| = 2 \cdot 2 \sqrt{3} = 4 \sqrt{3}$ .

Pole trójkąta policzymy ze wzoru: $P = \frac{1}{2} |A B| \cdot h$ , podstawiając wyliczone wartości otrzymujemy

$P = \frac{1}{2} \cdot 4 \sqrt{3} \cdot 2 = 4 \sqrt{3}$ .

Przypadek 2.

Warunki określone w zadaniu spełnia również sytuacja, gdy wysokość jest opuszczona na przedłużenie ramienia $A C$ :

RIFaXORX7nIxu

Rysunek przedstawia trójkąt A B C. Przy wierzchołku A oznaczono kąt 30 stopni. Z górnego wierzchołka B poprowadzono pionowy odcinek B D opisany jako h. Poziomą podstawę A C przedłużono w prawo linią przerywaną do punktu D i oznaczono kąt prosty między odcinkiem narysowanym linią przerywaną, czyli odcinkiem C D a odcinkiem B D. Zaznaczono też kąt B C D o mierze 60 stopni.

Z treści zadania wynika, że: $|A C| = |C B|$ , $|C B| + h = 6$ .

Z trójkąta prostokątnego $C D B$ obliczamy $h$ :

$\frac{h}{|C B|} = \sin 60 °$ i $\sin 60 ° = \frac{\sqrt{3}}{2}$ , więc $\frac{h}{|C B|} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ , stąd $h = |C B| \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Ponieważ $|C B| + h = 6$ , czyli $|C B| + |C B| \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6$ , $\frac{|C B|}{2} (2 + \sqrt{3}) = 6$ , czyli $|C B| = \frac{12}{2 + \sqrt{3}} = \frac{12 (2 - \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})} = 12 (2 - \sqrt{3})$ .

$h = |C B| \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ , po podstawieniu $|C B| = 12 (2 - \sqrt{3})$ otrzymujemy $h = 12 (2 - \sqrt{3}) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6 \sqrt{3} (2 - \sqrt{3})$ .

Pole trójkąta policzymy ze wzoru: $P = \frac{1}{2} |A C| \cdot h$ .

Podstawiając wyliczone wartości otrzymujemy

$P = \frac{1}{2} \cdot 12 (2 - \sqrt{3}) \cdot 6 \sqrt{3} (2 - \sqrt{3}) = 36 \sqrt{3} {(2 - \sqrt{3})}^{2} = 36 (7 \sqrt{3} - 12)$ .

Pole trójkąta wynosi $4 \sqrt{3}$ lub $36 (7 \sqrt{3} - 12)$ .

Przeczytaj

Sprawdź się