Równość ułamków

RYAG7AUNsNwyA1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Na każdym talerzu znajduje się taka sama część pizzy. Ułamki opisujące te części pizzy są równe.

\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{4}{8}

R1OLkgNnhduIC1

\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{4}{8} = \frac{8}{16}

Rozszerzanie ułamków

Zauważ, że jeśli licznik i mianownik ułamka $\frac{1}{2}$ pomnożymy przez $2$ , to otrzymamy równy mu ułamek $\frac{2}{4}$ .

RTZwR5feQopqK1

Rozszerzanie ułamka 01

Definicja: Rozszerzanie ułamka 01

Jeśli pomnożymy licznik i mianownik ułamka przez tę samą liczbę, różną od zera, to mówimy, że rozszerzyliśmy ułamek, a wartość ułamka się nie zmieni.

Ćwiczenie 1

Podane ułamki rozszerz przez $3$ .

$\frac{1}{7} = \frac{\dots}{\dots}$
$\frac{2}{3} = \frac{\dots}{\dots}$
$\frac{7}{9} = \frac{\dots}{\dots}$
$\frac{10}{12} = \frac{\dots}{\dots}$

$\frac{3}{21}$
$\frac{6}{9}$
$\frac{21}{27}$
$\frac{30}{36}$

Ćwiczenie 2

Rozszerz podane ułamki przez $5$ .

$\frac{1}{3} = \frac{\dots}{\dots}$
$\frac{3}{4} = \frac{\dots}{\dots}$
$\frac{6}{7} = \frac{\dots}{\dots}$
$\frac{8}{10} = \frac{\dots}{\dots}$

$\frac{5}{15}$
$\frac{15}{20}$
$\frac{30}{35}$
$\frac{40}{50}$

Ćwiczenie 3

Uzupełnij.

$\frac{1}{4} = \frac{\dots}{24}$
$\frac{1}{2} = \frac{\dots}{24}$
$\frac{2}{3} = \frac{\dots}{24}$
$\frac{4}{6} = \frac{\dots}{24}$
$\frac{5}{8} = \frac{\dots}{24}$
$\frac{10}{12} = \frac{\dots}{24}$
$\frac{1}{4} = \frac{20}{\dots}$
$\frac{1}{2} = \frac{20}{\dots}$
$\frac{2}{3} = \frac{20}{\dots}$
$\frac{4}{6} = \frac{20}{\dots}$
$\frac{5}{8} = \frac{20}{\dots}$
$\frac{10}{12} = \frac{20}{\dots}$

$6$
$12$
$16$
$16$
$15$
$20$
$80$
$40$
$30$
$30$
$32$
$24$

Ćwiczenie 4

Uzupełnij.

$\frac{1}{3} = \frac{\dots}{24}$
$\frac{3}{5} = \frac{15}{\dots}$
$\frac{2}{7} = \frac{\dots}{21}$
$\frac{5}{9} = \frac{20}{\dots}$
$\frac{1}{8} = \frac{\dots}{48}$
$\frac{7}{10} = \frac{70}{\dots}$
$\frac{2}{11} = \frac{\dots}{33}$
$\frac{1}{2} = \frac{\dots}{60}$
$\frac{2}{15} = \frac{20}{\dots}$
$\frac{7}{8} = \frac{77}{\dots}$
$\frac{15}{19} = \frac{\dots}{38}$
$\frac{9}{6} = \frac{54}{\dots}$

$8$
$25$
$6$
$36$
$6$
$100$
$6$
$30$
$150$
$88$
$30$
$36$

Skracanie ułamków

R1dXRqH8Vnex31

Skracanie ułamków

Definicja: Skracanie ułamków

Jeśli licznik i mianownik ułamka podzielimy przez tę samą liczbę, różną od zera, to wartość ułamka nie zmieni się. Mówimy, że skróciliśmy ułamek.
Na przykład
Skracając ułamek $\frac{12}{18}$ przez $2$ , otrzymujemy $\frac{6}{9}$ .

Przykład 1

RURFaJ5CEU8IY

Przykład: ułamek dwanaście osiemnastych. Dzielimy licznik i mianownik tego ułamka przez 2. Po skróceniu ułamek dwanaście osiemnastych równa się sześć dziewiątych. — 55_16_rozszerzanie_i_skracanie_ulamkow_zwyklych_Szkola Podstawowa
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 5

Skróć podane ułamki.
a) przez $3$
$\frac{3}{12} = \frac{\dots}{\dots}$
$\frac{9}{18} = \frac{\dots}{\dots}$
$\frac{33}{21} = \frac{\dots}{\dots}$
$\frac{27}{36} = \frac{\dots}{\dots}$
b) przez $4$
$\frac{8}{12} = \frac{\dots}{\dots}$
$\frac{4}{20} = \frac{\dots}{\dots}$
$\frac{32}{28} = \frac{\dots}{\dots}$
$\frac{16}{36} = \frac{\dots}{\dots}$

$\frac{1}{4}, \frac{3}{6}, \frac{11}{7}, \frac{9}{12}$
$\frac{2}{3}, \frac{1}{5}, \frac{8}{7}, \frac{4}{9}$

Ćwiczenie 6

Uzupełnij brakujące liczniki i mianowniki tak, aby równości były prawdziwe.
a)
$\frac{8}{12} = \frac{\dots}{3}$
$\frac{18}{45} = \frac{2}{\dots}$
$\frac{20}{24} = \frac{\dots}{12}$
$\frac{4}{8} = \frac{1}{\dots}$
$\frac{30}{40} = \frac{\dots}{4}$
$\frac{14}{21} = \frac{2}{\dots}$
b)
$\frac{20}{36} = \frac{\dots}{9}$
$\frac{25}{50} = \frac{5}{\dots}$
$\frac{40}{60} = \frac{\dots}{3}$
$\frac{22}{55} = \frac{2}{\dots}$
$\frac{15}{35} = \frac{\dots}{7}$
$\frac{9}{6} = \frac{3}{\dots}$

$2, 5, 10, 2, 3, 3$
$5, 10, 2, 5, 3, 2$

Ułamki nieskracalne

Ćwiczenie 7

Skróć ułamek przez największą możliwą liczbę.

$\frac{6}{12} = \frac{\dots}{\dots}$
$\frac{8}{24} = \frac{\dots}{\dots}$
$\frac{9}{18} = \frac{\dots}{\dots}$
$\frac{27}{36} = \frac{\dots}{\dots}$
$\frac{8}{12} = \frac{\dots}{\dots}$
$\frac{20}{25} = \frac{\dots}{\dots}$
$\frac{18}{24} = \frac{\dots}{\dots}$
$\frac{18}{36} = \frac{\dots}{\dots}$

$\frac{1}{2}$
$\frac{1}{3}$
$\frac{1}{2}$
$\frac{3}{4}$
$\frac{2}{3}$
$\frac{4}{5}$
$\frac{3}{4}$
$\frac{1}{2}$

Przykład 2

Nieraz trudno jest znaleźć największą liczbę, przez którą można skrócić dany ułamek. Na przykład, aby skrócić ułamek $\frac{36}{48}$ możemy postąpić tak:

RsD9jDADe3XFs

Przykład: ułamek trzydzieści sześć czterdziestych ósmych. Dzielimy licznik i mianownik tego ułamka przez 2. Otrzymujemy ułamek osiemnaście dwudziestych czwartych. Dzielimy licznik i mianownik tego ułamka przez 2. Otrzymujemy ułamek dziewięć dwunastych. Dzielimy licznik i mianownik tego ułamka przez 3. Otrzymujemy ułamek trzy czwarte. Po skróceniu ułamek trzydzieści sześć czterdziestych ósmych równa się trzy czwarte. — 55_26_rozszerzanie_i_skracanie_ulamkow_zwyklych_Szkola Podstawowa
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ułamka $\frac{3}{4}$ nie można już skrócić.

Ułamek nieskracalny

Definicja: Ułamek nieskracalny

Ułamek, którego nie można skrócić nazywamy ułamkiem nieskracalnym.

Ćwiczenie 8

Podane ułamki zapisz w postaci ułamka nieskracalnego.

$\frac{24}{36} = \frac{\dots}{\dots}$
$\frac{15}{45} = \frac{\dots}{\dots}$
$\frac{16}{32} = \frac{\dots}{\dots}$
$\frac{24}{72} = \frac{\dots}{\dots}$
$\frac{60}{90} = \frac{\dots}{\dots}$
$\frac{21}{63} = \frac{\dots}{\dots}$

$\frac{2}{3}$
$\frac{1}{3}$
$\frac{1}{2}$
$\frac{1}{3}$
$\frac{2}{3}$
$\frac{1}{3}$

Ćwiczenie 9

Podane ułamki zapisz w postaci ułamka nieskracalnego.

$\frac{48}{72} = \frac{\dots}{\dots}$
$\frac{15}{60} = \frac{\dots}{\dots}$
$\frac{40}{48} = \frac{\dots}{\dots}$
$\frac{30}{60} = \frac{\dots}{\dots}$
$\frac{80}{120} = \frac{\dots}{\dots}$
$\frac{60}{180} = \frac{\dots}{\dots}$

$\frac{2}{3}$
$\frac{1}{4}$
$\frac{5}{6}$
$\frac{1}{2}$
$\frac{2}{3}$
$\frac{1}{3}$

Ćwiczenie 10

RVFdD2GhPSgpC1

Przeciągnij i upuść.

$\frac{50}{100}$ , $\frac{2}{7}$ , $\frac{9}{10}$ , $\frac{10}{16}$

$\frac{5}{8} =$ ............

$\frac{12}{42} =$ ............

$\frac{18}{20} =$ ............

$\frac{1}{2} =$ ............

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 11

RYXBnMlCua4nR1

Połącz w pary tak, aby brakującym elementom ułamka przyporządkować odpowiednią liczbę.

10
15
30
96
160

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 12

Jeśli ułamek $\frac{4}{7}$ rozszerzymy przez $3$ lub przez $6$ , to otrzymamy ułamek, którego licznik i mianownik mają ciekawą własność. Jeżeli licznik przeczytamy od prawej do lewej strony, otrzymamy mianownik. Oczywiście ten sam efekt otrzymamy, gdy postąpimy podobnie z mianownikiem.
$\frac{4}{7} = \frac{12}{21}$ i $\frac{4}{7} = \frac{24}{42}$
Znajdź inne ułamki, które mają tę samą własność.

$\frac{2}{9} = \frac{18}{81}$ , $\frac{5}{6} = \frac{45}{54}$

Porównywanie ułamków o jednakowych licznikach lub mianownikach

Zamiana liczb mieszanych na ułamki

Rozszerzanie i skracanie ułamków zwykłych

Równość ułamków

Rozszerzanie ułamków

Skracanie ułamków

Ułamki nieskracalne