Aplet
Uruchom Aplet.
Naciśnij przycisk: „TWIERDZENIE O STYCZNYCH”. Ustal suwakiem wielkość promienia okręgu, a następnie ustaw położenie punktu na zewnątrz okręgu. Gdy dokonasz ustaleń, to naciśnij przycisk „KONSTRUKCJA”. Obserwuj kolejne etapy konstrukcji stycznych i zależności między długościami powstałych odcinków. Naciśnij przycisk: „ZASTOSOWANIE”. Zmieniaj położenie wyróżnionych punktów i obserwuj zależności między długościami odpowiednich odcinków stycznych i długościami boków sześciokąta.
Aplet ilustruje twierdzenie o stycznych oraz jego zastosowanie, które tu opiszemy.
1. Twierdzenie o stycznych.
Po lewej stronie umieszczono okrąg o śroku w punkcie i promieniu . Po prawej stronie umieszczono punkt . Przez punkt poprowadzono linią przerywaną dwie styczne do okręgu. Styczne te przecinają się w punkcie . Górna styczna ma z okręgiem punkt styczności opisany jako , natomiast dolna styczna w ma punkt styczności z okręgiem w punkcie opisanym jako . Pogrubioną linią zaznaczono tak powstałe odcinki o równej długości: oraz . Następnie trzy punkty: połączono ze środkiem okręgu, dzięki czemu powstały odcinki: . Dzięki wykreśleniu tych trzech nowych odcinków, mamy dwa trójkąty prostokątne: oraz , w których kąt prosty znajduje się przy punktach styczności odcinków z okręgiem, czyli przy wierzchołkach i . Jako, że powstałe trójkąty są trójkątami prostokątnymi, możemy zapisać: . Trójkąty oraz są więc przystające na mocy cechy bok bok bok.
2. Zastosowanie. Rysunek przedstawia wielokąt opisany na okręgu o środku w punkcie i promieniu równym początkowo . Razem figury przypominają kształtem migdałowate oko. Na jego skrajnych krańcach znajdują się punkty: po lewo jest to punkt oraz po prawo znajduje się punkt . Na górnej części okręgu znajdują się blisko siebie pukty kolejno od lewej: , , , , . Punkty te są w bliskiej odległości. Na dolnej części okręgu osadzono również w bliskiej odległości od siebie punkty kolejno od lewej: , , , , . Pewne boki powstałego wielokąta są równe. Ich relacje i długości są następujące:
.
Jeśli będziemy zwiększać promień okręgu, długości odcinków na brzegu okręgu będą rosnąć, natomiast odcinki o końcach nie leżących na okręgu, czyli oraz będą się skracać, przy czym sama relacja równości między poszczególnymi odcinkami będzie niezmienna. Dla przykładu, jeśli promień okręgu zwiększymy z liczby do , to długości odcinków będą następujące:
.
Wciśnij przycisk „TWIERDZENIE O STYCZNYCH”. Na podstawie obserwacji zależności między długościami promienia okręgu, odcinka stycznej i odległości środka okręgu od punktu , z którego poprowadzono styczne, wyznacz odcinek stycznej, który jest dwa razy krótszy niż odległość i o dłuższy od promienia.
Wciśnij przycisk „ZASTOSOWANIE”. Dla wybranego położenia wierzchołków, zapisz długości kolejnych boków sześciokąta, sumując odpowiednie odcinki stycznych. Sformułuj hipotezę ustalającą warunek, który charakteryzuje sześciokąty opisane na okręgu.