Zapisywanie treści zadań z użyciem liter

Rozwiązując różne zadania często zapisujemy wyrażenia arytmetyczne i obliczamy ich wartości.
W wyrażeniach arytmetycznych występują: liczby, znaki działań i nawiasy, np.

8 \cdot (12 + 5),

32 - 4 .

W zadaniach poniżej niektóre dane zapisane są za pomocą liter. Będziemy budować wyrażenia, w których, oprócz liczb, znaków działań i nawiasów, wystąpią litery.

Przykład 1

Kasia jest $3$ razy młodsza od swojej mamy, a mama jest o $4$ lata młodsza od taty Kasi.
Oznaczmy literą $m$ wiek mamy.
Wówczas wiek Kasi to $m : 3$ , a wiek taty to $m + 4$ .
Przesuwaj suwak i zmieniaj wiek mamy. Sprawdź, ile lat w każdym przypadku będzie miała Kasia, a ile jej tata.

R4RN00KzKVeci1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 1

REqkEh3cYu8pO1

Robert jest $2$ razy młodszy od swojej mamy, a mama jest o $5$ lat młodsza od taty Roberta. Oznaczmy literą $t$ wiek taty.

Przeciągnij i upuść.

$t + 5$ , $\frac{t}{2}$ , $\frac{t}{5}$ , $\frac{t - 5}{2}$ , $t - 5$

............ $-$ wiek mamy Roberta
............ $-$ wiek Roberta

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 2

RogONAOuJpP191

Robert jest $2$ razy młodszy od swojej mamy, a mama jest o $5$ lat młodsza od taty Roberta. Oznaczmy literą $r$ wiek Roberta.

Przeciągnij i upuść.

$r + 5$ , $r + 2$ , $2 r$ , $2 r + 5$ , $2 (r + 5)$

............ $-$ wiek mamy Roberta
............ $-$ wiek taty Roberta

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

classicmobile

Ćwiczenie 3

Olek jest $5$ razy starszy od swojego brata Rafała. Wiek Rafała oznaczono literą a. Ile wynosi łączny wiek obu chłopców?

Ra12LR1CODlTG

$a : 5 + a$
$a \cdot 5 + a$
$a + 5 + a$
$a - 5 + a$

static

Ćwiczenie 3

Olek jest $5$ razy starszy od swojego brata Rafała. Wiek Rafała oznaczono literą a. Ile wynosi łączny wiek obu chłopców?

RapqertWZlVz9

$a : 5 + a$
$a \cdot 5 + a$
$a + 5 + a$
$a - 5 + a$

classicmobile

Ćwiczenie 4

Kanapka kosztuje $a$ złotych, a jabłko $b$ złotych. Ile złotych trzeba zapłacić za $2$ kanapki i $3$ jabłka?

RNdeiOIFUmQql

$2 \cdot (a + b) + a$
$(2 + 3) \cdot (a + b)$
$3 \cdot a + 2 \cdot b$
$2 \cdot a + 3 \cdot b$

static

Ćwiczenie 4

Kanapka kosztuje $a$ złotych, a jabłko $b$ złotych. Ile złotych trzeba zapłacić za $2$ kanapki i $3$ jabłka?

R19mSjHQjbKSB

$2 \cdot (a + b) + a$
$(2 + 3) \cdot (a + b)$
$3 \cdot a + 2 \cdot b$
$2 \cdot a + 3 \cdot b$

classicmobile

Ćwiczenie 5

Oliwia ma w skarbonce p monet pięciozłotowych i $d$ monet dwuzłotowych. Ile łącznie pieniędzy w monetach o tych nominałach znajduje się w skarbonce Oliwii?

R11Jc9LZtMiJc

$5 \cdot p + 2 \cdot d$
$p + d$
$2 \cdot p + 5 \cdot d$
$(5 + 2) \cdot (p + d)$

static

Ćwiczenie 5

Oliwia ma w skarbonce p monet pięciozłotowych i $d$ monet dwuzłotowych. Ile łącznie pieniędzy w monetach o tych nominałach znajduje się w skarbonce Oliwii?

R17wDuGuUYw0t

$5 \cdot p + 2 \cdot d$
$p + d$
$2 \cdot p + 5 \cdot d$
$(5 + 2) \cdot (p + d)$

iCh7OWHhmQ_d5e319

Jak zbudowane jest wyrażenie algebraiczne

Ważne!

Wyrażenia, w których występują: liczby, litery, znaki działań i nawiasy nazywamy wyrażeniami algebraicznymi, np.

2 \cdot a + 6, (x + 3) \cdot (x - 1), p - 8, \frac{4 + y + z}{3}

Każda z liter w wyrażeniu algebraicznym oznacza pewną liczbę.
Przy zapisywaniu wyrażeń algebraicznych wprowadzono pewne umowy, np.:
Nie zapisujemy znaku mnożenia między liczbą i literą lub między literami
$3 \cdot p$ lub $p \cdot 3$ to $3 p$
$a \cdot c$ to $ac$
Nie piszemy liczb $1$ i $- 1$ przed literą.
$1 \cdot x$ lub $1 x$ to $x$
$- 1 \cdot x$ lub $- 1 x$ to $- x$
Znak dzielenia zastępujemy kreską ułamkową.
$a : b$ to $\frac{a}{b}$

Ćwiczenie 6

Zapisz wyrażenie algebraiczne, stosując podane wyżej uproszczenia.

iloraz liczb $x$ i $y$
iloczyn liczb $5$ i $c$
liczba dwa razy mniejsza od sumy liczb $a$ i $b$
liczba o $6$ większa od połowy liczby $m$
suma kwadratu liczby $a$ i liczby $c$

$\frac{x}{y}$
$5 c$
$\frac{a + b}{2}$
$\frac{m}{2} + 6$
$a^{2} + c$

Ćwiczenie 7

Zeszyt kosztuje $a$ złotych, długopis $b$ złotych, a ołówek $c$ złotych. Zapisz za pomocą wyrażenia algebraicznego,

ile złotych trzeba zapłacić za zeszyt, długopis i $3$ ołówki
ile złotych trzeba zapłacić za $4$ zeszyty i $2$ ołówki
o ile złotych więcej kosztuje $10$ długopisów niż $5$ ołówków
ile razy więcej kosztuje zeszyt z długopisem niż zeszyt z ołówkiem

$a + b + 3 c$
$4 a + 2 c$
$10 b - 5 c$
$\frac{a + b}{a + c}$

Wyrażenia algebraiczne w geometrii

Ćwiczenie 8

R1PjCGwWC54ng1

Połącz w pary obwód figury z odpowiednim wyrażeniem algebraicznym.

Obwód trójkąta równobocznego o boku $a$ .
Obwód równoległoboku o bokach $a$ i $b$ .
Obwód trójkąta równoramiennego o podstawie $a$ i ramionach $b$ .
Obwód kwadratu o boku $a$ .
Obwód trójkąta równoramiennego o podstawie $b$ i ramionach $a$ .

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 9

Zapisz za pomocą wyrażenia algebraicznego pole narysowanej figury.

R1EtLbMMb2EKJ1

Rysunek trzech sześciokątów i trapezu. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykładowe wyrażenia:

$a^{2} + 3 a \cdot a$ lub $4 a^{2}$
$\frac{(b + 2 b) ∙ b}{2}$ lub $b^{2} + \frac{b^{2}}{2}$
$4 \cdot \frac{c^{2}}{2}$ lub $2 c^{2}$
$2 \cdot d^{2} \cdot \frac{1}{2} d$ lub $d^{2}$

Ćwiczenie 10

RCAKw6vDimcDH1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

iCh7OWHhmQ_d5e519

Wartość liczbowa wyrażenia algebraicznego

Przykład 2

W pewnej klasie $6 b$ jest $d$ dziewcząt, a chłopców jest o $3$ więcej niż dziewcząt.
Liczbę wszystkich uczniów tej klasy możemy zapisać za pomocą wyrażenia: $d + d + 3$ .
Obliczmy, ilu uczniów jest w tej klasie, jeżeli jest w niej

$10$ dziewcząt
$12$ dziewcząt
$d = 10$ zatem $d + d + 3 = 10 + 10 + 3 = 23$
$d = 12$ zatem $d + d + 3 = 12 + 12 + 3 = 27$

Wartość wyrażenia algebraicznego za każdym razem jest inna. Zależy ona od tego, jaką liczbę wstawimy zamiast litery w tym wyrażeniu.

Ćwiczenie 11

Oblicz wartość wyrażenia $2 a + 1$ dla

$a = 5$
$a = 1,3$
$a = 2 \frac{1}{2}$
$a = - 4$

$11$
$3,6$
$6$
$- 7$

Ćwiczenie 12

Zmieniając za pomocą suwaków liczby $m$ i $n$ możesz sprawdzić, jaka jest wartość wyrażenia
$- 2 m + 0,5 n$ dla wybranych liczb $m$ i $n$ .

- 2 m + 0,5 n = - 2 ∙ 11 + 0,5 ∙ 16 = - 14

Podaj wartość wyrażenia $- 2 m + 0,5 n dla$

$m = 6, n = - 10$
$m = - 8, n = 4$
$m = - 17, n = - 12$
$m = 11, n = 16$
RUrnga17uxaq11
Animacja ilustruje obliczanie wartości wyrażenia -2m +0,5n dla danych liczb m, n.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DpRcpSJV

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

$- 17$
$18$
$28$
$- 14$

Ćwiczenie 13

Oblicz wartość wyrażenia $4 x^{2} - y$ dla

$x = 2, y = 3$
$x = - 5, y = - 10$
$x = 1,2, y = 5,76$
$x = \frac{5}{6}, y = \frac{7}{9}$

$13$
$110$
$0$
$2$

Trening mistrza – ćwiczenia przed sprawdzianem

Zapisywanie treści prostych zadań za pomocą równań

Wyrażenia algebraiczne

Zapisywanie treści zadań z użyciem liter

Jak zbudowane jest wyrażenie algebraiczne

Wyrażenia algebraiczne w geometrii

Wartość liczbowa wyrażenia algebraicznego