Pole powierzchni ostrosłupa

Przykład 1

Jeżeli chcemy zbudować pudełko, takie jak na rysunku, najpierw należy przygotować jego siatkę.
Łatwo wtedy obliczyć, ile $c m^{2}$ kartonu potrzeba, aby wykonać pudełko.

Przykład 2

Rozcinając kartonowy model ostrosłupa prawidłowego czworokątnego i rozprostowując go na płaszczyźnie, tworzymy jego siatkę.

RChenylJSV70m1

R1ackjraRwZqe1

Przykład 3

Zaproponuj, jak na podstawie siatki ostrosłupa określić, czy jest to ostrosłup prawidłowy.

Przykład 4

W kształcie jakich trójkątów są ściany boczne ostrosłupa?
Jak położone są względem podstawy ściany boczne?

Przykład 5

Objaśnij na podstawie rysunku, jak narysować siatkę ostrosłupa prawidłowego czworokątnego.
Z jakich figur składa się ta siatka?

RPmVnK2ThlGrY1

Rysunek kolejnych kroków rysowania siatki ostrosłupa prawidłowego o podstawie kwadratu. Na pierwszym rysunku kwadrat z poprowadzonymi przekątnymi. Na drugim rysunku okrąg o środku w punkcie przecięcia przekątnych kwadratu. Na trzecim rysunku poprowadzone średnice okręgu, które przechodzą prze środki boków kwadratu, wyznaczają one cztery punkty na okręgu. Na czwartym rysunku punkty na okręgu połączone z wierzchołkami kwadratu. Otrzymane odcinki i boki kwadratu tworzą cztery trójkąty równoboczne. Na piątym rysunku zamalowane trójkąty i kwadrat ilustrują siatkę ostrosłupa prawidłowego czworokątnego. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 6

Objaśnij na podstawie rysunku, jak narysować siatkę czworościanu foremnego.
Z ilu elementów składa się ta siatka? Jakie mają one wymiary? Co zauważasz?

R1KlVgurVPez81

Rysunek kolejnych kroków tworzenia siatki czworościanu foremnego. Na pierwszym rysunku trójkąt równoboczny. Na drugim rysunku dwa połączone trójkąty równoboczne. Na trzecim rysunku trzy połączone trójkąty równoboczne. Na czwartym rysunku pod drugim trójkątem czwarty trójkąt równoboczny. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Siatka ostrosłupa składa się z wielokąta będącego podstawą ostrosłupa i trójkątów – ścian bocznych.

iSu3FVul0x_d5e202

Przykład 7

Rysunek przedstawia siatkę, z której można skleić model ostrosłupa prawidłowego.
Wykonaj odpowiednie pomiary i określ długość boku podstawy i wysokość ściany bocznej.
Oblicz pole podstawy i pole ściany bocznej.
Czy potrafisz obliczyć pole powierzchni całkowitej ostrosłupa? Jeśli tak – oblicz je.

Rxm5emiZ8A6JR1

Rysunek siatki ostrosłupa prawidłowego trójkątnego. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Mając siatkę ostrosłupa, można obliczyć jego pole powierzchni.

Ważne!

Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa jest sumą pola podstawy i sumą pół trójkątów, będących ścianami bocznymi.

Pc = Pp + Pb

$Pc$ – pole powierzchni całkowitej
$Pp$ – pole podstawy
$Pb$ - pole powierzchni bocznej

RmN97PcTg9jnh1

Rysunek siatki ostrosłupa o podstawie kwadratu. Ściany boczne są trójkątami równobocznymi. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 8

Oblicz pole powierzchni ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego, którego krawędź podstawy ma długość $6 cm$ , a wysokość ściany bocznej jest równa $10 cm$ .

RYXJNzUjN7Hh81

Rysunek ostrosłupa i siatki ostrosłupa o podstawie sześciokąta foremnego o krawędziach równych 6 cm. Krawędź ściany bocznej równa 10 cm. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Podstawą ostrosłupa jest sześciokąt foremny. Obliczamy jego pole – jako sumę pól sześciu przystających trójkątów równobocznych o boku długości $6 cm$ .

P_{p} = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 6^{2}

P_{p} = 54 \sqrt{3} c m^{2}

Każda ze ścian bocznych ostrosłupa jest trójkątem o podstawie długości $6 cm$ i wysokości $10 cm$ . Obliczamy pole powierzchni bocznej, czyli sumę pól sześciu przystających trójkątów.

P_{b} = 6 \cdot \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 10

P_{b} = 180 c m^{2}

Obliczamy pole powierzchni całkowitej – sumę pola podstawy i pola powierzchni bocznej.

P_{c} = P_{p} + P_{b}

P_{c} = 54 \sqrt{3} + 180

P_{c} = 18 (3 \sqrt{3} + 10) c m^{2}

Odpowiedź:
Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa jest równe $18 (3 \sqrt{3} + 10) c m^{2}$ .

iSu3FVul0x_d5e306

A

Ćwiczenie 1

Narysuj siatkę ostrosłupa prawidłowego, wiedząc, że wysokość jego ściany bocznej jest równa $5 cm$ , a krawędź podstawy ma długość $4 cm$ i jest

trójkątem
czworokątem
pięciokątem
sześciokątem

classicmobile

Ćwiczenie 2

Rysunek przedstawia siatkę, z której sklejono pudełko.

RzCCaWkvH3WWk1

Rysunek siatki ostrosłupa w kształcie gwiazdy pięcioramiennej. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pudełko ma kształt ostrosłupa o podstawie

R1OE3oOuwgOuW

OBIEKT MULTIMEDIALNY KLIKNIJ, ABY OTWORZYĆ NA PEŁNYM EKRANIE

Kliknij, aby rozpocząć

Wystąpił błąd

Spróbuj ponownie później

sześciokąta
pięciokąta
trapezu
trójkąta

static

classicmobile

Ćwiczenie 3

Podstawą ostrosłupa jest kwadrat. Wysokością ostrosłupa jest jedna z krawędzi bocznych. Każda ściana boczna tego ostrosłupa jest zatem trójkątem

R14KURGAaH6eM

OBIEKT MULTIMEDIALNY KLIKNIJ, ABY OTWORZYĆ NA PEŁNYM EKRANIE

Kliknij, aby rozpocząć

Wystąpił błąd

Spróbuj ponownie później

rozwartokątnym
równobocznym
prostokątnym
równoramiennym

static

classicmobile

Ćwiczenie 4

Pole powierzchni czworościanu foremnego jest równe $4 \sqrt{3}$ . Suma długości krawędzi tego czworościanu jest równa

R1eqpSXXwZ452

OBIEKT MULTIMEDIALNY KLIKNIJ, ABY OTWORZYĆ NA PEŁNYM EKRANIE

Kliknij, aby rozpocząć

Wystąpił błąd

Spróbuj ponownie później

48
$6 \sqrt{3}$
12
24

static

Ćwiczenie 4

Pole powierzchni czworościanu foremnego jest równe $4 \sqrt{3}$ . Suma długości krawędzi tego czworościanu jest równa

Rw4mgfy7n8J1j

OBIEKT MULTIMEDIALNY KLIKNIJ, ABY OTWORZYĆ NA PEŁNYM EKRANIE

Kliknij, aby rozpocząć

Wystąpił błąd

Spróbuj ponownie później

$6 \sqrt{3}$
48
24
12

A

Ćwiczenie 5

Oblicz wysokość ostrosłupa prawidłowego, którego siatkę przedstawia rysunek.

R1I61usRRk4rZ1

Rysunek siatki ostrosłupa o podstawie kwadratu o krawędziach równych 10 cm. Wysokość ściany bocznej ostrosłupa ma długość 12 cm. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Z trójkąta prostokątnego mamy $h^{2} + 5^{2} = 1 2^{2}$ , skąd $h =$ $\sqrt{119} cm$ .

A

Ćwiczenie 6

Oblicz pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego. Wysokość ściany bocznej jest równa $8 cm$ , długość krawędzi podstawy jest równa $4 cm$ . Podstawą jest

trójkąt
czworokąt
sześciokąt

$P = 3 \cdot \frac{1}{2} ∙ 4 \cdot 8 + \frac{4^{2} \sqrt{3}}{4} = (48 + 4 \sqrt{3}) (c m^{2})$
$P = 4 \cdot \frac{1}{2} ∙ 4 \cdot 8 + 4^{2} = 80 (c m^{2})$
$P = 6 \cdot \frac{1}{2} ∙ 4 \cdot 8 + 6 \cdot \frac{16 \sqrt{3}}{4} = (96 + 24 \sqrt{3}) (c m^{2})$

classicmobile

Ćwiczenie 7

Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe $39 d m^{2}$ . Podstawą jest kwadrat o boku $3 dm$ . Pole powierzchni jednej ściany bocznej jest równe

R1CBDDQQc0f10

OBIEKT MULTIMEDIALNY KLIKNIJ, ABY OTWORZYĆ NA PEŁNYM EKRANIE

Kliknij, aby rozpocząć

Wystąpił błąd

Spróbuj ponownie później

$5 d m^{2}$
$12,5 d m^{2}$
$7, 5 d m^{2}$
$6 d m^{2}$

static

Ćwiczenie 7

Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe $39 d m^{2}$ . Podstawą jest kwadrat o boku $3 dm$ . Pole powierzchni jednej ściany bocznej jest równe

R5cSnvD4duaLf

OBIEKT MULTIMEDIALNY KLIKNIJ, ABY OTWORZYĆ NA PEŁNYM EKRANIE

Kliknij, aby rozpocząć

Wystąpił błąd

Spróbuj ponownie później

$5 d m^{2}$
$6 d m^{2}$
$12,5 d m^{2}$
$7, 5 d m^{2}$

A

Ćwiczenie 8

Pole powierzchni bocznej ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest równe $3$ . Krawędź podstawy ma długość $0,5$ . Oblicz wysokość ściany bocznej.

Pole jednej ściany wynosi $1$ . Otrzymujemy więc równanie: $1 = \frac{0,5 \cdot h}{2}$ , skąd $h = 4$ .

A

Ćwiczenie 9

Oblicz pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, w którym wysokość ściany bocznej jest równa $10 cm$ , a pole powierzchni bocznej jest równe $160 c m^{2}$ .

Z warunków zadania wynika, że $\frac{1}{4} \cdot 160 = \frac{a \cdot 10}{2}$ , stąd krawędź podstawy $a = 8 cm$ .
Pole podstawy to $64 c m^{2}$ , a pole powierzchni całkowitej $160 + 64 = 224 (c m^{2})$ .

iSu3FVul0x_d5e639

A

Ćwiczenie 10

Oblicz pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, w którym krawędź podstawy jest równa $14 cm$ , a krawędź boczna ma długość $10 cm$ .

Wysokość ściany bocznej wyznaczymy z trójkąta prostokątnego: $h^{2} + 7^{2} = 1 0^{2}$ , skąd $h = \sqrt{51}$ cm.
Pole podstawy to $14^{2} = 196 (c m^{2})$ , zaś pole powierzchni bocznej to $4 \cdot \frac{1}{2} ∙ 14 \cdot \sqrt{51} = 28 \sqrt{51} (c m^{2})$
Pole powierzchni całkowitej - ( $196 + 28 \sqrt{51}) c m^{2}$ .

A

Ćwiczenie 11

Oblicz pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, w którym pole podstawy jest równe $36 {cm}^{2}$ , a krawędź boczna ma długość $10 cm$ .

Z warunków zadania wynika, że długość krawędzi podstawy jest równa $6 cm$ . Z odpowiedniego trójkąta prostokątnego wynika, że $h^{2} + 3^{2} = 1 0^{2}$ , skąd $h = \sqrt{91} cm$ . Pole powierzchni całkowitej jest równe $(36 + 4 \cdot \frac{6 \cdot \sqrt{91}}{2}) {cm}^{2}$ .

classicmobile

Ćwiczenie 12

Krawędź czworościanu foremnego ma długość $4 cm$ . Pole powierzchni tego czworościanu jest równe

RQVoNh6itQeYv

OBIEKT MULTIMEDIALNY KLIKNIJ, ABY OTWORZYĆ NA PEŁNYM EKRANIE

Kliknij, aby rozpocząć

Wystąpił błąd

Spróbuj ponownie później

$12 \sqrt{3} {cm}^{2}$
$12 {cm}^{2}$
$16 {cm}^{2}$
$16 \sqrt{3}$ ${cm}^{2}$

Pole trójkąta równobocznego o boku długości $4 cm$ to $\frac{16 \sqrt{3}}{4} = 4 \sqrt{3} ({cm}^{2}) .$
Zatem pole powierzchni całkowitej jest równe $4 \cdot 4 \sqrt{3} = 16 \sqrt{3} ({cm}^{2}) .$

static

Ćwiczenie 12

Krawędź czworościanu foremnego ma długość $4 cm$ . Pole powierzchni tego czworościanu jest równe

RHCmdDhXYanY9

OBIEKT MULTIMEDIALNY KLIKNIJ, ABY OTWORZYĆ NA PEŁNYM EKRANIE

Kliknij, aby rozpocząć

Wystąpił błąd

Spróbuj ponownie później

$12 \sqrt{3} {cm}^{2}$
$12 {cm}^{2}$
$16 {cm}^{2}$
$16 \sqrt{3}$ ${cm}^{2}$

Pole trójkąta równobocznego o boku długości $4 cm$ to $\frac{16 \sqrt{3}}{4} = 4 \sqrt{3} ({cm}^{2}) .$
Zatem pole powierzchni całkowitej jest równe $4 \cdot 4 \sqrt{3} = 16 \sqrt{3} ({cm}^{2}) .$

C

Ćwiczenie 13

Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość $8 \sqrt{3}$ . Kąt między wysokością ostrosłupa i wysokością ściany bocznej ma miarę $60 °$ . Oblicz pole powierzchni ostrosłupa.

$a = 83$
Z warunków zadania wynika, że $h = 2 \cdot H$ .
Z trójkąta prostokątnego, w którym przeciwprostokątna jest wysokością ściany bocznej, otrzymamy równanie:
${(4 \sqrt{3})}^{2} + H^{2} = {(2 H)}^{2}$ , skąd $H = 4$ , więc
$h = 8$ .
Pole powierzchni całkowitej jest równe

a^{2} + 4 \cdot a \cdot h = {(8 \sqrt{3})}^{2} + 4 \cdot \frac{1}{2} ∙ 8 \sqrt{3} \cdot 8 =

= 192 + 128 \sqrt{3}

RjoYrq87nlznr1

Rysunek ostrosłupa o podstawie kwadratu o krawędzi a. Wysokość ostrosłupa H, wysokość ściany bocznej h i połowa długości boku kwadratu tworzą kąt prosty. Rysunek pomocniczy do rozwiązania zadania. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

B

Ćwiczenie 14

Krawędź boczna ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość $20 cm$ i jest nachylona do podstawy pod kątem $45 °$ . Oblicz pole powierzchni ostrosłupa.

Z warunków zadania: $H = \frac{a \sqrt{2}}{2}$ , zatem zachodzi równość: $2 0^{2} = {(\frac{a \sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{a \sqrt{2}}{2})}^{2}$ .
Stąd $a =$ $20$

H = 10 \sqrt{2}

h^{2} = {(10 \sqrt{2})}^{2} + 10^{2}

h = 10 \sqrt{3}

RjZn5bRv1Gk5U1

Pole powierzchni całkowitej jest równe $20^{2} + 4 \cdot \frac{1}{2} ∙ 20 ∙ 10 \sqrt{2} = (400 + 400 \sqrt{3}) (c m^{2}) .$

C

Ćwiczenie 15

Podstawą ostrosłupa jest romb. Spodek wysokości ostrosłupa leży na przecięciu przekątnych podstawy. Dłuższa krawędź boczna ma $24 cm$ i jest nachylona do podstawy pod kątem $30 °$ . Kąt nachylenia krótszej krawędzi bocznej do podstawy ma miarę $60 °$ . Oblicz pole podstawy tego ostrosłupa.

Skoro krótsza krawędź boczna q jest nachylona do podstawy pod kątem $60 °$ , to trójkąt $ABC$ jest równoboczny. Skoro dłuższa krawędź boczna $p$ jest nachylona pod kątem $30 °$ do podstawy, to połowa dłuższej krawędzi jest równa wysokości trójkąta równobocznego $CDE$ .
Połowę dłuższej krawędzi bocznej $p$ obliczymy ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego $DEC$ : $\frac{p}{2} = 24 \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

R1G0f5Ozr6lZT1

Rysunek pomocniczy ostrosłupa o podstawie rombu do rozwiązania zadania 16. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zatem dłuższa krawędź boczna ma długość $p = 24 \sqrt{3} cm$ .
Odcinek $CS$ to połowa odcinka $CE$ , czyli ma długość $12 cm$ . Jest on wysokością w trójkącie równobocznym $ABC$ , skąd wyznaczymy długość $AB$ krótszej przekątnej:

12 = \frac{q \sqrt{3}}{2}

Stąd

q = \frac{24}{\sqrt{3}} = \frac{24 \sqrt{3}}{3} = 8 \sqrt{3} (cm)

Zatem pole podstawy jest równe

8 \sqrt{3} \cdot 24 \sqrt{3} = 576 c m^{2}

B

Ćwiczenie 16

Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego, czworokątnego ma długość $8 cm$ . Dwie przeciwległe krawędzie boczne ostrosłupa oraz przekątna podstawy tworzą trójkąt równoramienny. Ramię tego trójkąta ma długość $6 cm$ . Oblicz pole powierzchni całkowitej ostrosłupa.

Przekątna podstawy ostrosłupa jest równa $8 \sqrt{2} cm$ . Wysokość ściany bocznej wyznaczymy z odpowiedniego trójkąta prostokątnego:

h^{2} + 4^{2} = 6^{2}

skąd

h = 2 \sqrt{5} cm

Pole powierzchni całkowitej
$8^{2} + 4 \cdot \frac{8 \cdot 2 \sqrt{5}}{2} = 64 + 32 \sqrt{5} (c m^{2}$ )

B

Ćwiczenie 17

Ośmiościan foremny to bryła, którą otrzymujemy, sklejając podstawami dwa jednakowe ostrosłupy prawidłowe czworokątne, w których wszystkie krawędzie mają jednakową długość. Oblicz pole powierzchni ośmiościanu foremnego, którego krawędzie mają długość $8 cm$ .

Pole to jest równe sumie pól ośmiu trójkątów równobocznych o krawędzi $8 cm$ .
Pole ośmiościanu jest równe

8 \cdot \frac{64 \sqrt{3}}{4} = 128 \sqrt{3} (c m^{2})

A

Ćwiczenie 18

Piramida Cheopsa przypomina kształtem ostrosłup prawidłowy czworokątny. Krawędź jej podstawy ma długość $230 m$ , a wysokość $146 m$ . Oblicz pole powierzchni bocznej piramidy.

Wyznaczymy wysokość ściany bocznej z trójkąta prostokątnego:
$14 6^{2} + 11 5^{2} = h^{2}$ , stąd $h = \sqrt{34541} \approx 195,85 \approx 196 (m)$
Pole powierzchni bocznej: $P \approx 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 230 \cdot 196 = 90160 (m^{2}) .$

Ostrosłup – opis bryły

Objętość ostrosłupa

Siatka ostrosłupa

Pole powierzchni ostrosłupa