W poniższej tabeli zapisane są wartości funkcji $f\left(x\right)=x^2$ dla kilku przykładowych argumentów.

Odczytujemy stąd, że $f\left(2\right)=f\left(-2\right)=4$. Uzasadnimy, że tylko dla tych dwóch argumentów funkcja $f$ przyjmuje wartość $4$.
Argument $x$, dla którego funkcja $f$ przyjmuje wartość $4$, spełnia równanie $x^2=4$, które jest równoważne równaniu

czyli

Otrzymany iloczyn $\left(x-2\right)\left(x+2\right)$ jest równy $0$ wtedy i tylko wtedy, gdy jeden z jego czynników jest równy zero.
Wobec tego $x-2=0$ lub $x+2=0$.
Stąd $f\left(x\right)=4$ wtedy i tylko wtedy, gdy $x=2$ lub $x=-2$.

Zauważamy też, że $f\left(-1\right)=f\left(1\right)=1$ i $f\left(-3\right)=f\left(3\right)=9$.
Wykażemy, że dla każdej pary argumentów, które są liczbami przeciwnymi, funkcja $f$ przyjmuje tę samą wartość.
Rozpatrzmy pewną liczbę $x$, która jest różna od zera. Wtedy $f\left(x\right)=x^2$ oraz $f\left(-x\right)={\left(-x\right)}^2=x^2$, co oznacza, że $f\left(-x\right)=f\left(x\right)$, czyli funkcja $f$ przyjmuje tę samą wartość dla takich dwóch argumentów, które są liczbami przeciwnymi.

RnxUgXqzZIFlZ1

Animacja prezentuje punkty o współrzędnych [x, f(x)] leżące w pierwszej i drugiej ćwiartce układu współrzędnych. Punkty należą do wykresu funkcji y = x kwadrat. Dla argumentów -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 podano odpowiadające im wartości funkcji 9, 4, 1, 0, 1, 4 i 9. Należy obliczyć wartości funkcji dla kilku nowych argumentów.

Animacja prezentuje punkty o współrzędnych [x, f(x)] leżące w pierwszej i drugiej ćwiartce układu współrzędnych. Punkty należą do wykresu funkcji y = x kwadrat. Dla argumentów -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 podano odpowiadające im wartości funkcji 9, 4, 1, 0, 1, 4 i 9. Należy obliczyć wartości funkcji dla kilku nowych argumentów.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DsCTtcQ6A

Z tabeli z przykładu $1$ odczytujemy, że $f\left(0\right)=0$, $f\left(1\right)=1$, $f\left(2\right)=4$, $f\left(3\right)=9$, więc $f\left(0\right)<f\left(1\right)<f\left(2\right)<f\left(3\right)$. Zauważmy też, że $f\left(1\right)-f\left(0\right)=1$, $f\left(2\right)-f\left(1\right)=3$, $f\left(3\right)-f\left(2\right)=5$.
Uzasadnimy, że:

1. dla dowolnej nieujemnej liczby całkowitej $n$ prawdziwa jest nierówność $f\left(n+1\right)>f\left(n\right)$,

2. wraz ze wzrostem $n$ różnica $f\left(n+1\right)-f\left(n\right)$ rośnie.

• Weźmy pewną liczbę całkowitą nieujemną $n$. Wówczas $f\left(n\right)=n^2$ i $f\left(n+1\right)={\left(n+1\right)}^2=n^2+2n+1$, więc $f\left(n+1\right)-f\left(n\right)=n^2+2n+1-n^2=2n+1>0$, bo liczba $n$ jest nieujemna.

• Ponieważ $f\left(n+1\right)-f\left(n\right)=2n+1$, więc wraz ze wzrostem $n$ rośnie wartość $2n+1$.

Pokażemy, że jedynym punktem wspólnym wykresu funkcji $f\left(x\right)=x^2$ z osią $\mathrm{Ox }$jest punkt $(0, 0)$, a pozostałe punkty wykresu tej funkcji leżą powyżej osi $\mathrm{Ox}$.
Funkcja $f$ przyjmuje wyłącznie wartości nieujemne, ponieważ dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$ jest $x^2\ge 0$. Ponadto $x^2=0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\mathrm{x }= 0$.
Zatem

• punkt $(0, 0)$ jest jedynym punktem wspólnym wykresu funkcji $f$ z osią $\mathrm{Ox}$,

• pozostałe punkty wykresu tej funkcji leżą powyżej osi $\mathrm{Ox}$.

Uzasadnimy, że prosta określona równaniem $x=0$ jest osią symetrii wykresu funkcji $f$.
Na wykresie funkcji $f$ możemy wskazać pary punktów symetrycznych względem osi $\mathrm{Oy}$. Np. $(1, 1)$ oraz $(–1, 1)$, a także $(–2, 4)$ i $(2, 4)$. Jak wcześniej wykazaliśmy, funkcja $f$ przyjmuje tę samą wartość dla takich dwóch argumentów, które są liczbami przeciwnymi. Zatem dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$ zachodzi równość $f\left(-x\right)=f\left(x\right)$, a to oznacza, że oś $\mathrm{Oy}$ (czyli prosta o równaniu $x=0$) jest osią symetrii wykresu funkcji $f$.

Uzasadniliśmy wcześniej, że dla dowolnej nieujemnej liczby całkowitej $n$ prawdziwa jest nierówność $f\left(n+1\right)>f\left(n\right)$. Wykażemy, że dla dowolnych liczb nieujemnych $x_1, x_2$, takich że $x_1< x_2$, prawdziwa jest nierówność $f\left(x_2\right)>f\left(x_1\right)$.
Weźmy takie dwie liczby nieujemne $x_1$, $x_2$, że $x_1< x_2$. Wtedy

W otrzymanym iloczynie oba czynniki są dodatnie: $x_2-x_1>0$, bo $x_1< x_2$, natomiast $x_2+x_1>0$, gdyż $x_2+x_1$ jest sumą liczby nieujemnej $x_1$i liczby dodatniej $x_2$. Stąd $f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)>0$, czyli $f\left(x_2\right)>f\left(x_1\right)$.
Zatem (z uwagi na symetrię wykresu funkcji $f$ względem osi $\mathrm{Oy}$)

• maksymalny przedział, w którym funkcja $f$ jest rosnąca to $⟨0, +\left.\infty \right)$,

• maksymalny przedział, w którym funkcja $f$ jest malejąca to $(–\infty , 0⟩.$

Uzasadniliśmy wcześniej, że dla każdej pary argumentów, które są liczbami przeciwnymi, funkcja $f$ przyjmuje tę samą wartość.
Wykażemy, że dla każdej dodatniej liczby k istnieją dokładnie dwa takie argumenty funkcji $f$, że $f\left(x\right)=k$.
Przekształcamy równanie

Ta równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy $x-\sqrt{k}=0$ lub $x+\sqrt{k}=0$.
Zatem $f\left(x\right)=k$ wtedy i tylko wtedy, gdy $x=\sqrt{k}$ lub $x=-\sqrt{k}$. Liczby te są różne, gdyż $-\sqrt{k}<0<\sqrt{k}$.
To oznacza, że dowolna dodatnia liczba $k$ należy do zbioru wartości funkcji $f$.
Ponieważ $f\left(0\right)=0$, to możemy stwierdzić, że zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział $⟨0, +\left.\infty \right)$.

Narysujemy wykres funkcji $g\left(x\right)=2x^2$.
Ustalimy najpierw zależność między wykresem funkcji $g$ a wykresem funkcji $f\left(x\right)=x^2$.
Wartości tych funkcji dla kilku przykładowych argumentów prezentuje poniższa tabela.

Zauważmy, że $g\left(0\right)=f\left(0\right)=0$. Dla ustalonego argumentu $x\ne 0$, $f\left(x\right)>0$ oraz równość

co oznacza, że wartość funkcji $g$ jest dwa razy większa od wartości funkcji $f$.
Wykres funkcji $g$ (krzywa o równaniu $y=2x^2$) jest parabolą, której wierzchołkiem jest punkt $\mathrm{O }= (0, 0)$, a ramiona skierowane są w górę.

RWtfuCkm2UPxP1

Grafika statyczna

W odniesieniu do wykresu funkcji $f\left(x\right)=x^2$ rozpatrzmy wykres funkcji $h$ danej wzorem $h\left(x\right)=a{x}^2$, gdzie $a$ jest ustaloną liczbą dodatnią. Niezależnie od wartości $a$ jest $h\left(0\right)=f\left(0\right)=0$. Dla ustalonego niezerowego $x\ne 0$ zachodzi równość $h\left(x\right)=a\cdot f\left(x\right)>0$.
Wykresem każdej takiej funkcji $h$ jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt $\mathrm{O }= (0, 0)$ i ramiona skierowane są w górę.

RYb2bZkepvnSg1

Animacja prezentuje wykres funkcji f(x) = x kwadrat leżącej w pierwszej i drugiej ćwiartce układu współrzędnych. W siedmiu krokach wykreślono kolejne wykresy g(x) = a razy x kwadrat (a>0). Wszystkie parabole mają wspólny wierzchołek w punkcie o współrzędnych (0, 0), ramiona skierowane do góry.

Animacja prezentuje wykres funkcji f(x) = x kwadrat leżącej w pierwszej i drugiej ćwiartce układu współrzędnych. W siedmiu krokach wykreślono kolejne wykresy g(x) = a razy x kwadrat (a>0). Wszystkie parabole mają wspólny wierzchołek w punkcie o współrzędnych (0, 0), ramiona skierowane do góry.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DsCTtcQ6A

Wykażemy, że krzywa o równaniu $y=x^2$ to parabola, której kierownicą jest prosta $k$ o równaniu $y=-\frac{1}{4}$, a ogniskiem punkt $F=\left(0,\frac{1}{4}\right)$.
Spośród punktów danej krzywej, najbliżej prostej $k$ leży punkt $W=\left(0,0\right)$, jedyny punkt tej krzywej, który leży na osi $\mathrm{Ox}$. Jego odległość zarówno od punktu $F$, jak i od prostej $k$ jest równa $\frac{1}{4}$.
Na krzywej o równaniu $y=x^2$ leżą też np. punkty $A=\left(1,1\right)$ i $B=\left(-2,4\right)$. Pokażemy, że każdy z nich jest równo odległy od kierownicy $k$ i ogniska $F$.
Dla punktu $A$ odległość od kierownicy $k$ jest równa $1\frac{1}{4}$, a odległość od ogniska jest równa

czyli również $1\frac{1}{4}$.
Dla punktu $B$ odległość od kierownicy $k$ jest równa $4\frac{1}{4}$, a odległość od ogniska jest równa

zatem i te dwie odległości są równe.
Pokażemy, że każdy punkt krzywej o równaniu $y=x^2$ leży w tej samej odległości od prostej $k$ i punktu $F$.
Zauważmy, że dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$ punkt $P=\left(x,x^2\right)$ leży na tej krzywej. Odległość punktu $P$ od prostej $k$ to $x^2+\frac{1}{4}$, a odległość punktu $P$ od ogniska $F$ jest równa

Zatem dla każdego $x$ odległości te są równe, więc krzywa o równaniu $y=x^2$ to parabola, której wierzchołkiem jest punkt $W=\left(0,0\right)$, a jej osią symetrii jest prosta o równaniu $x=0$.

Narysujemy wykresy funkcji $f_1\left(x\right)=x^2-3$ oraz $f_2\left(x\right)={\left(x-2\right)}^2$.

R1VNKwewybYTA1

Animacja prezentuje parabolę y = x kwadrat w układzie współrzędnych. Należy tak przesunąć parabolę wzdłuż osi układu współrzędnych, aby jej wierzchołek miał podane współrzędne. Współrzędne wierzchołka zmieniają się.

Animacja prezentuje parabolę y = x kwadrat w układzie współrzędnych. Należy tak przesunąć parabolę wzdłuż osi układu współrzędnych, aby jej wierzchołek miał podane współrzędne. Współrzędne wierzchołka zmieniają się.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DsCTtcQ6A

Rozpatrzmy parabolę o równaniu $y=x^2$.
Zauważmy, że:

• po jej przesunięciu o $3$ jednostki w dół wzdłuż osi $\mathrm{Oy}$ otrzymamy parabolę o równaniu $y=x^2-3$. Wykresem funkcji $f_1$ jest więc parabola, której wierzchołek to $W_1 = (0, –3)$, a jej ramiona skierowane są w górę. Prosta $x=0$ jest osią symetrii tej paraboli. Zatem maksymalny przedział, w którym funkcja $f_1$ jest rosnąca, to $⟨0, +\infty )$, a maksymalny przedział, w którym funkcja $f_1$ jest malejąca, to $(–\infty ,0⟩$. Zbiór wartości funkcji $f_1$ to $⟨-3, +\infty )$.

  R1Ubri27clf1K1

  Wykres dwóch funkcji f(x) = x kwadrat oraz f z indeksem dolnym jeden (x) = x kwadrat -3.

  

• po jej przesunięciu o $2$ jednostki w prawo wzdłuż osi $\mathrm{Ox}$ otrzymamy parabolę o równaniu $y={\left(x-2\right)}^2$. Stąd wykresem funkcji $f_2$ jest parabola o wierzchołku w punkcie $W_2 = (2, 0)$, której ramiona skierowane są w górę. Prosta $x=2$ jest osią symetrii tej paraboli. Wobec tego przedział $⟨2, +\infty )$ to maksymalny przedział, w którym funkcja $f_2$ jest rosnąca, a przedział $(–\infty , 2⟩$ to maksymalny przedział, w którym funkcja $f$ jest malejąca. Zbiór wartości funkcji $f_1$ to $⟨0, +\infty )$.

  RS8nJthQ1xShW1

  Wykres dwóch funkcji f(x) = x kwadrat oraz f z indeksem dolnym dwa =(x -2) do kwadratu.

  

Narysujemy wykresy funkcji.

1. $g_1\left(x\right)=\frac{1}{2}{\left(x+1\right)}^2$

2. $g_2\left(x\right)=-x^2-1$

3. $g_3\left(x\right)=-\frac{1}{3}{x}^2+3$

4. $g_4\left(x\right)=-2{\left(x+1\right)}^2$

Rozpatrzmy funkcję $f$ daną wzorem $f\left(x\right)=a{x}^2$, gdzie $a$ jest ustaloną liczbą różną od zera.
Obrazem wykresu funkcji $f$ w przesunięciu o $q$ jednostek wzdłuż osi $\mathrm{Oy}$ jest wykres takiej funkcji $g$, że $g\left(x\right)=a{x}^2+q$. Jest to więc parabola przystająca do paraboli o równaniu $y=a{x}^2$, której wierzchołkiem jest punkt ($0,\mathrm{ q})$. Osią symetrii tej paraboli jest prosta o równaniu $x=0$.
Obrazem wykresu funkcji $f$ w przesunięciu o $p$ jednostek wzdłuż osi $\mathrm{Ox}$ jest wykres takiej funkcji $h$, że $h\left(x\right)=a{\left(x-p\right)}^2$. Jest to więc parabola przystająca do paraboli o równaniu $y=a{x}^2$, której wierzchołkiem jest punkt $(p, 0)$. Osią symetrii tej paraboli jest prosta o równaniu $x=p$.
Wobec powyższego:

1. Wykresem funkcji $g_1\left(x\right)=\frac{1}{2}{\left(x+3\right)}^2$ jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt $\left(-3,0\right)$, a jej ramiona są skierowane w górę. Osią symetrii tej paraboli jest prosta o równaniu $x=-3$. Maksymalny przedział, w którym funkcja $g_1$ jest rosnąca, to $⟨–3, +\infty )$, a maksymalny przedział, w którym funkcja $g_1$ jest malejąca, to $(–\infty , –3⟩$. Zbiór wartości funkcji $g_1$ to $⟨0, +\infty )$.

   RZbu3iXrbhQRZ1

   Wykres dwóch funkcji f(x) = jedna druga razy x kwadrat oraz g z indeksem dolnym jeden = jedna druga razy (x +3) do kwadratu.

   

2. Wykresem funkcji $g_2\left(x\right)=2x^2+1$ jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt $\left(0,1\right)$, a jej ramiona skierowane są w górę. Osią symetrii tej paraboli jest prosta o równaniu $x=0$. Maksymalny przedział, w którym funkcja $g_2$ jest rosnąca, to $⟨0, +\infty )$, a maksymalny przedział, w którym jest ona malejąca, to $(–\infty , 0⟩$. Zbiór wartości funkcji $g_2$ to $⟨1, +\infty )$.

   R9qdHAWab7yIm1

   Wykres dwóch funkcji f(x) = 2x kwadrat oraz g z indeksem dolnym dwa =2x kwadrat +1.

   

3. Wykresem funkcji $g_3\left(x\right)=-\frac{1}{3}{x}^2+3$ jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt $\left(0,3\right)$, a jej ramiona są skierowane w dół. Osią symetrii tej paraboli jest prosta o równaniu $x=0$. Maksymalny przedział, w którym funkcja $g_3$ jest rosnąca, to $(–\infty , 0⟩,$ a maksymalny przedział, w którym jest ona malejąca, to $⟨0, +\infty )$. Zbiór wartości funkcji $g_2$ to $(–\infty , 3⟩.$

   R1EV3cdBYQArg1

   Wykres dwóch funkcji f(x) =minus jedna trzecia razy x kwadrat oraz g z indeksem dolnym trzy równa się minus jedna trzecia razy x kwadrat +3.

   

4. Wykresem funkcji $g_4\left(x\right)=-{\left(x-1\right)}^2$ jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt $\left(1,0\right)$, a jej ramiona są skierowane w dół. Osią symetrii tej paraboli jest prosta o równaniu $x=1$. Maksymalny przedział, w którym funkcja $g_4$ jest rosnąca, to $(–\infty , 1⟩$, a maksymalny przedział, w którym jest ona malejąca, to $⟨1, +\infty )$. Zbiór wartości funkcji $g_4$ to $(–\infty , 0⟩$.

   RGvc44enRNlAQ1

   Wykres dwóch funkcji f(x) =minus x kwadrat oraz g z indeksem dolnym cztery =-(x -1) do kwadratu.

   

Znajdziemy równania parabol, które są zaprezentowane na poniższych rysunkach.

1. RDukHmQQby6ij1

   Rysunek paraboli w układzie współrzędnych o wierzchołku w punkcie (0, 1). Do wykresu funkcji należy punkt o współrzędnych (1, 2).

   

2. ROg9PGKtDOUVe1

   Rysunek paraboli w układzie współrzędnych o wierzchołku w punkcie (-1, 0). Do wykresu funkcji należy punkt o współrzędnych (0, -1).

   

3. R1dPKo3ZmNm6g1

   Rysunek paraboli w układzie współrzędnych o wierzchołku w punkcie (1, 0). Do wykresu funkcji należy punkt o współrzędnych (0, 2).

   

4. R1ZRmsPA3HHDO1

   Rysunek paraboli w układzie współrzędnych o wierzchołku w punkcie (0, 3). Do wykresu funkcji należy punkt o współrzędnych (3, 0).

   

5. Wierzchołkiem paraboli jest punkt $(0, 1)$, więc ma ona równanie postaci $y=a{x}^2+1$. Na tej paraboli leży też punkt $(1, 2)$, zatem $a\cdot 1^2+1=2$, stąd $a=1$. Wobec tego równanie tej paraboli to $y=x^2+1$.

6. Wierzchołkiem paraboli jest punkt $(–1, 0)$, zatem ma ona równanie postaci $y=a{\left(x+1\right)}^2$. Na tej paraboli leży też punkt $(0, –1)$, więc $a\cdot {\left(0+1\right)}^2=-1$, stąd $a=-1$. To znaczy, że ta parabola ma równanie $y=-{\left(x+1\right)}^2$.

7. Wierzchołkiem paraboli jest punkt $(1, 0)$, więc ma ona równanie postaci $y=a{\left(x-1\right)}^2$. Na tej paraboli leży też punkt $(0, 2)$, zatem $a\cdot {\left(0-1\right)}^2=2$, stąd $a=2$. To znaczy, że ta parabola ma równanie $y=2{\left(x-1\right)}^2$.

8. Wierzchołkiem paraboli jest punkt $(0, 3)$, zatem ma ona równanie postaci $y=a{x}^2+3$. Na tej paraboli leży też punkt $(3, 0)$, więc $a\cdot 3^2+3=0$, stąd $a=-\frac{1}{3}$. Wobec tego równanie tej paraboli to $y=-\frac{1}{3}{x}^2+3$.