Iloraz jest najmniejszy, gdy trójkąt jest równoramienny i jest on w przybliżeniu równy $\frac{R}{r}\approx 2,41$. Jednocześnie wartość tego ilorazu może dążyć do nieskończoności.

Promień $r$ okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny ma długość równą $\frac{a+b-c}{2}$.

Ponieważ $r=\frac{a+b-c}{2}$ oraz $c=2R=2\cdot \left(4r\right)=8r$, więc $a+b=10r$. Korzystając z wyniku uzyskanego w Przykładzie 1. możemy zapisać, że $\frac{1}{2}ab=r^2+2·\left(4r\right)r$. Stąd $ab=18r^2$.

Możemy teraz zapisać układ równań z niewiadomymi $a$, $b$: $\left\{\begin{array}{l}ab=18r^2\\ a+b=10r\end{array}\right.$.

Z drugiego z równań wynika, że $b=10r-a$, stąd $a·\left(10r-a\right)=18r^2$.

Rozwiążemy teraz równanie kwadratowe z niewiadomą $a$ i parametrem $r$ postaci $a^2-10r·a+18r^2=0$.

Jego wyróżnik jest równy $∆=100r^2-4·18r^2=28r^2$.

Stąd $a_1=\frac{10r+2\sqrt{7}r}{2}=\left(5+\sqrt{7}\right)r$, $a_2=\frac{10r-2\sqrt{7}r}{2}=\left(5-\sqrt{7}\right)r$.

Zatem $\frac{a}{r}=\frac{\left(5-\sqrt{7}\right)r}{r}=5-\sqrt{7}$.