Film samouczek

Polecenie 1

Zapoznaj się uważnie z poniższym filmem samouczkiem, a następnie wykonaj polecenie.

RJ93d5sbsqKli

Film dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DtCB6nc2L

Film nawiązujący do treści lekcji zatytułowany Optymalizacja pola figury zastosowanie pochodnej.

Polecenie 2

RdAWcFPdKugJv

Podstawa trójkąta równoramiennego zawiera bok prostokąta wpisanego w ten trójkąt. Prostokąt ma długość $15 cm$ i szerokość $8 cm$ . Najmniejsze możliwe pole trójkąta to:

$240 {cm}^{2}$
$175 {cm}^{2}$
$375 {cm}^{2}$
$250 {cm}^{2}$

Polecenie 3

Podstawa trójkąta równoramiennego zawiera dłuższy bok prostokąta o wymiarach $6 \times 10$ . Pozostałe dwa wierzchołki leżą na ramionach trójkąta. Wyznacz możliwie najmniejsze pole tego trójkąta.

Zacznijmy od rysunku pomocniczego.

R2xaa6Bn7aVfg

Ilustracja przedstawia trójkąt równoramienny, w którym narysowano prostokąt o wymiarach 6 na 10; dolna podstawa prostokąta osadzona jest na podstawie trójkąta, a górne wierzchołki prostokąta leżą na ramionach trójkąta. Prostokąt oddzielił w trójkącie trzy małe trójkąty: trójkąty przystające osadzone na podstawie, na podstawie wyjściowego trójkąta mają poziome przyprostokątne o długości x każda, pionowych przyprostokątnych będących bokami prostokąta oraz o przeciwprostokątnych biegnących wzdłuż ramion wyjściowego trójkąta. Trzeci oddzielony trójkąt znajduje się nad prostokątem. Jest to trójkąt równoramienny o podstawie o długości 10, przy czym podstawa ta jest jednocześnie górnym bokiem prostokąta. Poprowadzono z górnego wierzchołka wysokość h podzielił podstawę pół, czyli po dwa odcinki o długości 5 każdy.

Mamy, że $\frac{h}{5} = \frac{6}{x}$ , więc $h = \frac{30}{x}$ . Pole trójkąta możemy zapisać jako funkcję zmiennej $x$ :

$P (x) = \frac{1}{2} (10 + 2 x) (\frac{30}{x} + 6) = \frac{150}{x} + 6 x + 60$ , gdzie $x > 0$ .

Pochodna funkcji pola wyraża się wzorem:

$P' (x) = - \frac{150}{x^{2}} + 6$ .

Mamy, że $P' (x) > 0$ dla $x > 5$ , $P' (5) = 0$ i $P' (x) < 0$ dla $x \in (0, 5)$ . Stąd funkcja przyjmuje wartość najmniejszą dla $x = 5$ oraz $P (5) = \frac{150}{5} + 6 \cdot 5 + 60 = 120$ .

$120$

Przeczytaj

Sprawdź się