Sportowiec podczas rzutu młotem wyrzuca młot z prędkością początkową v zero. Obliczymy pod jakim kątem do podłoża powinien cisnąć młot, by ten poleciał jak najdalej. Przypomnijmy wpierw znany z fizyki wzór na zasięg rzutu ukośnego. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z pionową osią Y i poziomą osią X. Zaznaczono strzałkę wychodzącą z początku układu współrzędnych pod kątem alfa oraz trajektorie lotu. Zapisano równanie. $\frac{2v{0}^2\sin \left(\alpha \right)\cos \left(\alpha \right)}{g}$. Zasięg rzutu ukośnego jest równy dwukrotności ilorazu iloczynu kwadratu prędkości początkowej, sinusa kąta nachylenia i cosinusa kąta nachylenia przez siłę grawitacji. Możliwy zakres kąta nachylenia to oczywiście przedział od zera stopni do dziewięćdziesięciu stopni. Zauważmy ponadto, że prędkość początkowa oraz siła grawitacji są niezależne od wybranego przez nas kąta. Wystarczy więc, że znajdziemy największą wartość funkcji $f\left(\alpha \right)=2\sin \left(\alpha \right)\cos \left(\alpha \right)$ na przedziale od zera stopni do dziewięćdziesięciu stopni. Pod wykresem pojawia się równanie. $f\left(\alpha \right)=2\sin \left(\alpha \right)\cos \left(\alpha \right)$. Korzystając ze wzoru na funkcje podwojonego kąta otrzymujemy $f\left(\alpha \right)=\sin \left(2\alpha \right)$. Narysujmy wzór funkcji f na przedziale od zera stopni do dziewięćdziesięciu stopni. Bez trudu zauważamy, że największa wartość funkcji f jest przyjmowana dla 45 stopni. Jest to jednocześnie rozwiązanie naszego problemu. Otrzymaliśmy zatem, że sportowiec chcąc rzucić młotem jak najdalej powinien cisnąć go pod kątem 45 stopni do podłoża. Pojawia się ilustracja z układem współrzędnych z pionową osią Y od zera do jednego oraz poziomą osią X od zera do połowy. Zaznaczono parabolę z ramionami skierowanymi w dół. Mamy do dyspozycji dwa kilogramy plasteliny. Chcemy ulepić z niej dwie kule tak, by oddalone od siebie o jeden metr przyciągały się z możliwie największą siłą grawitacji. Jak powinniśmy to zrobić? Ilustracja dwóch okręgów, pierwszy m indeks dolny jeden koniec indeksu drugi m indeks dolny dwa koniec indeksu. Odległości między środkami wynoszą r. Przypomnijmy, że siła grawitacji pomiędzy dwoma ciałami jest równa ilorazowi iloczynu mas tych obiektów i stałej grawitacyjnej przez kwadrat odległości pomiędzy środkami. Pojawia się równanie. $F=\frac{G{m}_1{m}_2}{r^2}$. Łączna masa obu ciał ma wynosić dwa kilogramy, więc otrzymujemy równanie $m_1+m_2=2$, które po przekształceniu prowadzi do równania $m_2=2-m_1$. Wstawiając otrzymaną zależność wraz z daną w zadaniu odległością do wzoru na siłę przyciągania grawitacyjnego pomiędzy dwoma ciałami otrzymujemy: $F=\frac{G{m}_1{m}_2}{r^2}$. $F=G{m}_1\left(2-m_1\right)$. Zauważmy, że masy kul nie mają wpływu na stałą grawitacyjną. Aby dokończyć zadanie wystarczy zatem znaleźć maksimum funkcji $f\left(m\right)=m\left(2-m\right)$. Rysując wykres przekonujemy się, że maksimum funkcji f znajduje się w punkcie jeden. Oznacza to, że pierwsza z kul musi mieć masę jednego kilograma. Stąd, druga także musi mieć identyczną masę. Ostatecznie, chcąc podzielić dwa kilogramy na dwie kule, które mają się przyciągać z jak największą siłą grawitacji musimy je podzielić na dwie równe części. Ponownie pojawia się układ współrzędnych z parabolą z ramionami skierowanymi w dół. Chcemy stworzyć siatkę prostopadłościanu, którego podstawą ma być kwadrat i którego objętość ma wynosić jeden. Wyznaczymy jaka jest minimalna długość drutu, który będzie nam do tego potrzebny.. pojawia się prostopadłościan. Oznaczmy przez x krawędź podstawy prostopadłościanu, zaś przez H  wysokość tegoż prostopadłościanu. Ponieważ objętość ma wynosić jeden, więc $x^{2}H=1$. Przekształcając otrzymujemy $H=\frac{1}{x^2}$. Minimalizowanie długości drutu możemy zatem sprowadzić do poszukiwania najmniejszej wartości funkcji, która długości krawędzi podstawy przypisuje sumę długości wszystkich krawędzi prostopadłościanu. Jest jasne, że rozważamy jedynie dodatnie argumenty. $f\left(x\right)=8x+4H$. $f\left(x\right)=8x+\frac{4}{x^2}$. W celu znalezienia najmniejszej wartości funkcji f prześledzimy jej zmienność analizując znak pochodnej. Policzmy więc. $f\text{'}\left(x\right)=8-\frac{8}{x^3}$. $f\text{'}\left(x\right)=8\left(1-\frac{1}{x^3}\right)$. W celu zbadania znaku rozważmy następujące nierówności. Otrzymaliśmy zatem, że pochodna funkcji f jest dodatnia dla argumentów większych niż jeden. Oznacza to, że funkcja f jest rosnąca na przedziale obustronnie otwartym od 1 do nieskończoności. $f\text{'}\left(x\right)=8\left(1-\frac{1}{x^3}\right)>0$. $1-\frac{1}{x^3}>0$. $1>\frac{1}{x^3}$ $x^3>1$. $x>1$ Zaznaczono wykres rozpoczynający się w punkcie jeden. Podobnie możemy policzyć: Przeprowadzony rachunek oznacza, że pochodna funkcji f jest ujemna dla argumentów z przedziału od zera do jeden. Na tym więc przedziale funkcja f jest malejąca. $f\left(1\right)=12$.