Zadania tekstowe prowadzące do równań kwadratowych – prędkość, droga, czas

W kolejnych przykładach zadań tekstowych interpretujemy średnią wartość prędkości jako długość drogi pokonanej w jednostce czasu.
Przypomnijmy na wstępie, jak należy rozumieć tego typu zależności.

Przykład 1

RniQzfckpX1za1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rozwiążemy teraz trzy przykładowe zadania dotyczące zagadnień związanych z drogą oraz prędkością i czasem.

Przykład 2

Pociąg towarowy miał przebyć pewną drogę w czasie $21$ godzin. W połowie drogi pociąg niespodziewanie zatrzymano na pół godziny. Aby uniknąć spóźnienia, pozostałą część trasy pociąg przebył ze średnią prędkością o 2 km/h większą niż planowana. Jaka była długość tej drogi i planowana prędkość pociągu?
Oznaczmy planowaną prędkość pociągu przez $x$ (w $km / h$ ). Zatem przez pierwsze $10,5$ godziny jazdy pociąg pokonał połowę drogi, czyli $(10,5 \cdot x) km$ . Po nieplanowanym postoju jechał jeszcze przez $10$ godzin z prędkością $(x + 2) km / h$ , pokonując wtedy drugą połowę drogi, czyli $10 (x + 2) km$ .
Wówczas $10,5 \cdot x = 10 (x + 2)$ , a stąd $x = 40$ . Oznacza to, że pociąg przejechał $840 km$ , a planowana średnia prędkość jazdy to $40 km / h$ .

Przykład 3

Pewien rowerzysta przebył zaplanowaną trasę o długości $200 km$ , pokonując w ciągu każdej godziny jazdy tę samą liczbę kilometrów. Gdyby rowerzysta mógł przeznaczyć na tę wyprawę o $2$ godziny więcej, to w ciągu każdej godziny mógłby przejeżdżać o $5 km$ mniej. Obliczymy, z jaką średnią prędkością jechał ten rowerzysta.
Wprowadzamy oznaczenia:
$x$ – czas (w godzinach) jazdy rowerzysty na trasie $200 km$ ,
$y$ – wartość średniej prędkości (w $km / h$ ), z jaką jechał.
Wtedy

xy = 200 .

Gdyby rowerzysta jechał przez $(x + 2)$ godziny, to jego średnia prędkość na trasie $200 km$ byłaby równa $(y - 5) km / h$ .
Zatem

(x + 2) (y - 5) = 200 .

Uwzględniamy w tym równaniu zależność $xy = 200$ i przekształcamy je do postaci

y = \frac{5 x + 10}{2} .

Stąd

\frac{5 x + 10}{2} \cdot x = 200

5 x^{2} + 10 x = 400

x^{2} + 2 x - 80 = 0 .

Obliczamy wyróżnik $Δ = 2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 80) = 324 = 1 8^{2}$ . Równanie ma więc dwa rozwiązania, którymi są $x_{1} = \frac{- 2 + 18}{2} = 8, x_{2} = \frac{- 2 - 18}{2} = - 10 .$
Drugie z rozwiązań odrzucamy, gdyż czas nie może być ujemny.
Zatem rowerzysta przejechał trasę $200 km$ w czasie $8$ godzin, co oznacza, że jechał ze średnią prędkością $25 km / h$ .
Odpowiedź: $25 km / h$

Przykład 4

Miasta $A$ i $B$ są oddalone o $400 km$ . Pan Stanisław pokonał tę trasę samochodem w czasie o $75$ minut krótszym niż pan Zenon. Wartość średniej prędkości, z jaką jechał pan Stanisław na całej trasie była o $16 km / h$ większa od wartości średniej prędkości, z jaką jechał pan Zenon.
Oblicz średnie wartości:

prędkości, z jaką pan Stanisław jechał z $A$ do $B$ ,
prędkości, z jaką pan Zenon jechał z $A$ do $B$ .

Wprowadzamy oznaczenia:
$x$ – czas jazdy pana Zenona,
$y$ – wartość średniej prędkości (w $km / h$ ), z jaką jechał pan Zenon.
Wtedy

xy = 400 .

Pan Stanisław przebył drogę z $A$ do $B$ w czasie $(x - \frac{75}{60})$ godziny, a średnia wartość jego prędkości była równa $(y + 16) km / h$ .
Zatem

(x - \frac{75}{60}) (y + 16) = 400 .

Uwzględniamy w tym równaniu zależność $xy = 400$ i przekształcamy je do postaci $- \frac{5}{4} y + 16 x - 20 = 0$ .
Stąd

y = \frac{64}{5} x - 16

co oznacza, że

(\frac{64}{5} x - 16) \cdot x = 400

\frac{64}{5} x^{2} - 16 x - 400 = 0

4 x^{2} - 5 x - 125 = 0

Obliczamy wyróżnik $Δ = {(- 5)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 125) = 2025 = 4 5^{2}$ .
Równanie ma więc dwa rozwiązania $x_{1} = \frac{5 + 45}{8} = \frac{25}{4}$ , $x_{2} = \frac{5 - 45}{8} = - 5$ .
Drugie z rozwiązań odrzucamy, gdyż czas nie może być ujemny.
Zatem pan Zenon przejechał trasę $400 km$ w czasie $6$ godzin $15$ minut, co oznacza, że jechał ze średnią prędkością $64 km / h$ . Wtedy średnia wartość prędkości, z jaką jechał pan Stanisław była równa $80 km / h$ .
Odpowiedź: Średnia wartość prędkości, z jaką pan Stanisław jechał z $A$ do $B$ : $80 km / h$ , średnia wartość prędkości, z jaką pan Zenon jechał z $A$ do $B$ : $64 km / h .$

iMiy9p13AX_d5e275

Ćwiczenie 1

Suma kwadratów dwóch kolejnych liczb całkowitych jest równa $685$ . Co to za liczby?

$18$ i $19$ oraz $- 19$ i $- 18$
Szkic rozwiązania. Oznaczamy mniejszą z tych liczb przez $x$ , stąd druga to $x + 1$ . Otrzymujemy równanie $x^{2} + {(x + 1)}^{2} = 685$ , które ma dwa rozwiązania $x_{1} = 18$ i $x_{2} = - 19$ .

Ćwiczenie 2

Liczba wszystkich odcinków, łączących każde dwa wierzchołki pewnego wielokąta foremnego jest równa $210$ . Ile boków ma ten wielokąt?

$21$ boków
Szkic rozwiązania. Oznaczamy liczbę boków wielokąta przez $n$ . Wtedy liczba jego przekątnych to $\frac{n (n - 3)}{2}$ .
Otrzymujemy równanie $n + \frac{n (n - 3)}{2} = 210$ , które ma dwa rozwiązania $n_{1} = 21$ i $n_{2} = - 20$ . Drugie z tych rozwiązań odrzucamy.

Ćwiczenie 3

Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu o podstawie kwadratowej jest równe $272$ . Krawędź boczna jest o $1$ krótsza od obwodu podstawy. Oblicz pole $P$ powierzchni bocznej tego prostopadłościanu.

$P = 240$
Szkic rozwiązania. Oznaczamy długość krawędzi podstawy prostopadłościanu przez $x$ . Wtedy krawędź boczna ma długość $4 x - 1$ .
Otrzymujemy równanie $2 x^{2} + 4 x (4 x - 1) = 272$ , które ma dwa rozwiązania $x_{1} = 4$ oraz $x_{2} = - \frac{34}{9}$ . Drugie z tych rozwiązań odrzucamy.

Ćwiczenie 4

Za pewną liczbę takich samych teczek na dokumenty sekretarka zapłaciła w hurtowni $435 zł$ . Gdyby cena jednej teczki była o $5$ groszy niższa, to za tę samą kwotę można byłoby kupić o $10$ teczek więcej. Oblicz cenę jednej teczki.

$1,50 zł$
Szkic rozwiązania. Oznaczamy liczbę zakupionych teczek przez $x$ , a cenę jednej teczki przez $y$ (w złotych).
Otrzymujemy równania $xy = 435$ oraz $(x + 10) (y - 0,05) = 435$ , stąd $xy + 10 y - \frac{1}{20} x - \frac{1}{2} = 435$ . Uwzględniając $xy = 435$ , otrzymujemy $y = \frac{1}{200} x + \frac{1}{20}$ , stąd $x \cdot (\frac{1}{200} x + \frac{1}{20}) = 435$ , a więc $x^{2} + 10 x - 87 000 = 0$ . To równanie ma dwa rozwiązania $x_{1} = 290$ i $x_{2} = - 300$ . Drugie z tych rozwiązań odrzucamy.

Ćwiczenie 5

Automat pracujący ze stałą wydajnością wyprodukował $7200$ kopert. Gdyby ten automat produkował o $8$ kopert na minutę więcej, to na wykonanie tej liczby kopert potrzebowałby o pół godziny mniej. Oblicz, w ciągu jakiego czasu automat wyprodukował koperty.

$3$ godziny
Szkic rozwiązania. Oznaczamy przez $x$ – liczbę kopert produkowanych w ciągu minuty przez ten automat, a przez $y$ – czas pracy (w minutach). Otrzymujemy równania $xy = 7200$ oraz $(x + 8) (y - 30) = 7200$ , stąd $xy - 30 x + 8 y - 240 = 7200$ . Uwzględniając $xy = 7200$ , otrzymujemy $y = \frac{15}{4} x + 30$ , stąd $x \cdot (\frac{15}{4} x + 30) = 7200$ . Zatem $x^{2} + 8 x - 1920 = 0$ . To równanie ma dwa rozwiązania $x_{1} = 40$ i $x_{2} = - 48$ . Drugie z tych rozwiązań odrzucamy.

Ćwiczenie 6

Pan Jan przebył w pewnym czasie drogę długości $240 km$ . Gdyby jechał ze średnią prędkością o $12 km / h$ większą, to czas przejazdu skróciłby się o $1$ godzinę. Z jaką prędkością jechał pan Jan?

$48 km / h$
Szkic rozwiązania. Oznaczamy przez $x$ – średnią prędkość samochodu, przez $y$ – czas, w którym samochód pokonał $240 km$ . Otrzymujemy równania $xy = 240$ oraz $(x + 12) (y - 1) = 240$ , stąd $xy + 12 y - x - 12 = 240$ . Uwzględniając $xy = 240$ , otrzymujemy $x = 12 y - 12$ . Zatem $(12 y - 12) \cdot y = 240$ , co oznacza, że $y^{2} - y - 20 = 0$ . To równanie ma dwa rozwiązania $y_{1} = 5$ i $y_{2} = - 4$ . Drugie z tych rozwiązań odrzucamy.

Ćwiczenie 7

Pan Jan przebył w pewnym czasie drogę długości $210 km$ . Gdyby jechał ze średnią prędkością o $10 km / h$ większą, to czas przejazdu skróciłby się o $42$ minuty. Z jaką średnią prędkością jechał pan Jan?

$50 km / h$
Szkic rozwiązania. Oznaczamy przez $x$ – średnią prędkość samochodu, przez $y$ – czas, w którym samochód pokonał $210 km$ . Otrzymujemy równania $xy = 210$ oraz $(x + 10) (y - \frac{42}{60}) = 210$ , stąd $xy + 10 y - \frac{7}{10} x - 7 = 210$ . Uwzględniając $xy = 210$ , otrzymujemy $y = \frac{7}{100} x + \frac{7}{10}$ . Zatem $(\frac{7}{100} x - \frac{7}{10}) \cdot x = 210$ , co oznacza, że $x^{2} - 10 x - 3000 = 0$ . To równanie ma dwa rozwiązania $x_{1} = - 60$ i $x_{2} = 50$ . Pierwsze z tych rozwiązań odrzucamy.

Ćwiczenie 8

Rowerzysta przebył w pewnym czasie drogę długości $72 km$ . Gdyby jechał ze średnią prędkością o $6 km / h$ większą, to czas przejazdu skróciłby się o $36$ minut. Jaka była średnia prędkość rowerzysty?

$24 km / h$
Szkic rozwiązania. Oznaczamy przez $x$ – średnią prędkość rowerzysty, przez $y$ – czas, w którym rowerzysta pokonał $72 km$ . Otrzymujemy równania $xy = 72$ oraz $(x + 6) (y - \frac{36}{60}) = 72$ , skąd $xy + 6 y - \frac{3}{5} x - \frac{18}{5} = 72$ . Uwzględniając $xy = 72$ , otrzymujemy $y = \frac{1}{10} x + \frac{3}{5}$ . Zatem $x \cdot (\frac{1}{10} x + \frac{3}{5}) = 72$ , co oznacza, że $x^{2} + 6 x - 720 = 0$ . To równanie ma dwa rozwiązania $x_{1} = 24$ oraz $x_{2} = - 30$ . Drugie z tych rozwiązań odrzucamy.

Ćwiczenie 9

Rowerzysta miał przebyć $120 km$ , jadąc z ustaloną średnią prędkością. W połowie drogi, którą pokonał, jadąc zgodnie z planem, zatrzymał się, aby porozmawiać ze spotkanym znajomym. Po tej przerwie kontynuował jazdę, ale żeby uniknąć spóźnienia, pozostałą część trasy przebył ze średnią prędkością o $6 km / h$ większą niż zaplanowana. Okazało się, że łączny czas jazdy rowerzysty (nie licząc postoju) to $4$ godziny i $30$ minut. Z jaką średnią prędkością rowerzysta planował przejechać $120 km$ ?

$24 km / h$
Oznaczamy przez $x$ – planowaną średnią prędkość rowerzysty, przez $y$ – czas, w którym pokonał on pierwsze $60 km$ . Otrzymujemy równania $xy = 60$ oraz $(x + 6) (4,5 - y) = 60$ , stąd $4,5 x - 6 y + 27 - xy = 60$ . Uwzględniając $xy = 60$ , otrzymujemy $4,5 x - 6 y - 93 = 0$ , stąd $x = \frac{4}{3} y + \frac{62}{3}$ . Zatem $(\frac{4}{3} y + \frac{62}{3}) \cdot y = 60$ , co oznacza, że $2 y^{2} + 31 y - 90 = 0$ . To równanie ma dwa rozwiązania $y_{1} = 2,5$ i $y_{2} = - 18$ . Drugie z tych rozwiązań odrzucamy.

Ćwiczenie 10

W miasteczku są dwa place zabaw w kształcie prostokątów. Przekątna każdego z tych prostokątów jest równa $85 m$ . Pierwszy plac ma długość o $7 m$ większą niż drugi, ale szerokość o $11 m$ mniejszą. Oblicz długość i szerokość każdego z tych placów.

Pierwszy plac: $68 m, 51 m$ , drugi plac: $75 m, 40 m$ .
Szkic rozwiązania. Oznaczamy przez $x$ i $y$ odpowiednio długość i szerokość pierwszego placu zabaw.
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, otrzymujemy równania $x^{2} + y^{2} = 8 5^{2}$ oraz ${(x + 7)}^{2} + {(y - 11)}^{2} = 8 5^{2}$ , stąd $x^{2} + 14 x + 49 + y^{2} - 22 y + 121 = 8 5^{2}$ . Uwzględniając $x^{2} + y^{2} = 8 5^{2}$ , otrzymujemy $y = \frac{7}{11} x + \frac{85}{11}$ . Zatem $x^{2} + {(\frac{7}{11} x + \frac{85}{11})}^{2} = 8 5^{2}$ , co oznacza, że $x^{2} + 7 x - 5100 = 0$ . To równanie ma dwa rozwiązania $x_{1} = 68$ i $x_{2} = - 75$ . Drugie z tych rozwiązań odrzucamy.

Zadania wstępne

Pierwiastki równań

Zadania tekstowe prowadzące do równań kwadratowych – prędkość, droga, czas