Aplet

Polecenie 1

Uruchom aplet i przeanalizuj konstrukcję STYCZNEJ DO DANEGO OKRĘGU I RÓWNOLEGŁEJ DO DANEJ PROSTEJ. Zwróć szczególną uwagę na odległości między prostą i otrzymanymi stycznymi.

Rs5AvdsYqt6SX

Rp0DSIYf7yrhi

Uzupełnij następujące zdania podanymi wyrazami. Mając prostą

k

oraz okrąg o środku w punkcie

O

i promieniu

r

, możemy wyróżnić trzy możliwe wzajemne położenia prostej i okręgu.

Prosta i okrąg mogą być rozłączne. Wtedy 1. większa, 2. mają jeden punkt wspólny, 3. mają dwa punkty wspólne, 4. równa, 5. nie mają punktów wspólnych, 6. mniejsza, a odległość od środka okręgu do prostej jest 1. większa, 2. mają jeden punkt wspólny, 3. mają dwa punkty wspólne, 4. równa, 5. nie mają punktów wspólnych, 6. mniejsza, niż długość promienia okręgu, czyli $r$ .
Prosta i okrąg mogą się przecinać. Wtedy 1. większa, 2. mają jeden punkt wspólny, 3. mają dwa punkty wspólne, 4. równa, 5. nie mają punktów wspólnych, 6. mniejsza, a odległość od środka okręgu do prostej jest 1. większa, 2. mają jeden punkt wspólny, 3. mają dwa punkty wspólne, 4. równa, 5. nie mają punktów wspólnych, 6. mniejsza, niż długość promienia okręgu, czyli $r$ .
Prosta i okrąg mogą być styczne. Wtedy 1. większa, 2. mają jeden punkt wspólny, 3. mają dwa punkty wspólne, 4. równa, 5. nie mają punktów wspólnych, 6. mniejsza, a odległość od środka okręgu do prostej jest 1. większa, 2. mają jeden punkt wspólny, 3. mają dwa punkty wspólne, 4. równa, 5. nie mają punktów wspólnych, 6. mniejsza długości promienia okręgu, czyli $r$ .

Polecenie 2

Odległości danej prostej od dwóch stycznych do pewnego okręgu są równe $x$ , $y$ i są liczbami całkowitymi. Suma $x + y$ jest równa iloczynowi $x \cdot y$ . Oblicz promień okręgu.

Z warunku $x + y = x \cdot y$ wynika, że $y (x - 1) = x$ . Jeśli $x =1$ , to dostajemy sprzeczność: $0 = 1$

Jeśli $x \neq 1$ , to $y = \frac{x}{x - 1} = 1 + \frac{1}{x - 1}$ .

Aby ułamek $\frac{1}{x - 1}$ był dodatnią liczbą całkowitą musi być spełniony warunek: $x = 2$ . Wtedy $y = 2$ , dana prosta zawiera średnicę okręgu, a promień jest równy $2$ .

Polecenie 3

Poprowadzono styczne do pewnego okręgu, równoległe do prostej $k$ . Iloczyn odległości tych stycznych od prostej $k$ jest równy $70$ , a suma tych odległości jest równa $17$ . Oblicz promień okręgu.

Niech $r$ oznacza promień okręgu, a $d$ odległość prostej $k$ od środka okręgu.

Wtedy $(r + d) \cdot (d - r) = 70$ oraz $(d - r) + (d + r) = 17$ .

Ponieważ $2 d = 17$ , więc $(\frac{17}{2} + r) \cdot (\frac{17}{2} - r) = 70$ .

Po redukcji otrzymujemy równanie $\frac{289}{4} - r^{2} = 70$ . Jego rozwiązaniem są liczby $\frac{3}{2}$ oraz $- \frac{3}{2}$ . Oczywiście odrzucamy wartość ujemną i otrzyujemy, że $r = \frac{3}{2} .$

Przeczytaj

Sprawdź się