Aplet

Polecenie 1

Uzasadnij, że trójkąty $A B C$ , $A K L$ , $K N C$ i $N B M$ są podobne.

R1KdnflK7vWRd

Polecenie 2

Zmieniaj położenie punktu $K$ , obserwując jak zmienia się długość $x$ odcinka $A K$ oraz pole prostokąta $K L M N$ . Sformułuj hipotezę dotyczącą największej wartości pola prostokąta $K L M N$ .

Polecenie 3

Wyznacz pole prostokąta $K L M N$ jako funkcję zmiennej $x$ , podaj dziedzinę tej funkcji i wyznacz jej największą wartość. Porównaj swoje rozwiązanie z podanym.

RqH7nQ0YqURaJ

Aplet przedstawia trójkąt A B C. Długość przyprostokątnej A C wynosi 8 jednostek, a przyprostokątna B C ma miarę sześć. W jego środku znajduję się prostokąt K L M N. Krawędzie prostokąta dzielą trójkąt na trzy mniejsze. Pierwszy A K L, drugi K N C oraz trzeci N B M. Odcinek A K jest równy x.

Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta $A B C$ otrzymujemy:

$|A B| = \sqrt{{|A C|}^{2} + {|B C|}^{2}} = \sqrt{8^{2} + 6^{2}} = 10$ .

Ponieważ trójkąty $A B C$ i $A K L$ są prostokątne i mają wspólny kąt ostry przy wierzchołku $A$ , więc są podobne. Zatem $\frac{|K L|}{|A K|} = \frac{|B C|}{|A B|}$ , czyli $\frac{|K L|}{x} = \frac{6}{10}$ . Stąd $|K L| = \frac{3}{5} x$ .

Czworokąt $K L M N$ jest prostokątem, więc $K N ∥ A B$ , co oznacza, że kąty odpowiadające $C K N$ i $C A B$ są równe. Zatem trójkąty prostokątne $A B C$ i $K N C$ są podobne, gdyż mają równe kąty ostre przy wierzchołkach $K$ i $A$ . Stąd $\frac{|N K|}{|C K|} = \frac{|A B|}{|A C|}$ ,czyli $\frac{|N K|}{8 - x} = \frac{10}{8}$ . Stąd $|N K| = \frac{5}{4} (8 - x)$ .

Pole prostokąta $K L M N$ możemy zapisać w postaci:

$P_{K L M N} = |K L| \cdot |N K| = \frac{3}{5} x \cdot \frac{5}{4} (8 - x) = \frac{3}{4} (8 x - x^{2})$ .

Otrzymaliśmy w ten sposób funkcję zmiennej $x$ określoną wzorem

$P_{K L M N} (x) = \frac{3}{4} (8 x - x^{2})$ dla każdej liczby rzeczywistej $x \in (0, 8)$ .

Zapiszmy wzór funkcji w postaci kanonicznej:

$P_{K L M N} (x) = \frac{3}{4} (16 - 16 + 8 x - x^{2}) =$

$= \frac{3}{4} (16 - {(4 - x)}^{2}) = 12 - \frac{3}{4} {(4 - x)}^{2}$ .

Ponieważ $\frac{3}{4} {(4 - x)}^{2} \geq 0$ , przy czym $\frac{3}{4} {(4 - x)}^{2} = 0$ tylko dla $x = 4$ , więc $P_{K L M N} (x) \leq 12$ , przy czym $P_{K L M N} (x) = 12$ tylko wtedy, gdy $x = 4$ . Największe pole równe $12$ ma więc prostokąt, którego wierzchołek $K$ jest środkiem boku $A C$ , a wierzchołek $N$ jest środkiem boku $B C$ .

Przeczytaj

Sprawdź się