Argumenty i wartości funkcji

Już wiesz

Przypomnijmy, że wykres funkcji, której argumentami i wartościami są liczby rzeczywiste, to zbiór tych punktów płaszczyzny, których pierwsza współrzędna jest argumentem funkcji, a druga współrzędna – wartością funkcji dla tego argumentu.

Przykład 1

Z przedstawionego wykresu funkcji $f$ odczytaj jej wartości kolejno dla argumentów: $- 4, - 3, - 1, 1, 2, 3, 4$ . Wskaż miejsca zerowe funkcji.

RA8VkxCFh63q11

Wykres funkcji w postaci łamanej złożonej z pięciu odcinków leżącej w pierwszej drugiej, trzeciej i czwartej ćwiartce układu współrzędnych. Punkty o współrzędnych (-4, -3), (-3, -2), (-1, 3), (1, 2), (2, 1), (3, 0), (4, -2 ) należą do wykresu funkcji.

Dla argumentu

$x = - 4$ wartość funkcji $f$ jest równa $- 3$ , co zapiszemy $f (- 4) = - 3$
$x = - 3$ wartość tej funkcji jest równa $- 2$ , czyli $f (- 3) = - 2$

Następnie $f (- 1) = 3, f (1) = 2, f (2) = 1, f (3) = 0$ oraz $f (4) = - 2 .$
Funkcja ma dwa miejsca zerowe.

Ważne!

Przypominamy, że nie należy mylić miejsca zerowego z punktem wspólnym wykresu funkcji i osi $Ox$ . W tym rozpatrywanym przykładzie są dwa takie punkty $(- 2, 0)$ oraz $(3, 0) .$ Miejsca zerowe to pierwsze współrzędne tych punktów, czyli $x_{1} = - 2$ oraz $x_{2} = 3$ . Są to argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartość $0$ .

Przykład 2

Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu pewnej funkcji $s$ , której dziedziną jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych.

R1B22GOPkqtAR1

Wykres funkcji leżącej w pierwszej, drugiej, trzeciej i czwartej ćwiartce układu współrzędnych.

Na podstawie tego fragmentu wykresu funkcji $s$ możemy wskazać pięć miejsc zerowych:

x = - π, x = 0, x = π, x = 2 π, x = 3 π .

W rzeczywistości funkcja ta jest określona dla każdej liczby rzeczywistej. Miejscem zerowym tej funkcji jest każda całkowita wielokrotność liczby $π$ , a więc każda liczba postaci $x = k π$ , gdzie $k$ jest liczbą całkowitą. Funkcją tą jest sinus. Jest to jedna z funkcji trygonometrycznych.

R1WOu53OH22gw1

Ważne!

Nie narysujemy w całości wykresu funkcji, której dziedziną jest zbiór nieograniczony. Z wykresu takiej funkcji nie odczytamy poprawnie wszystkich jej własności.

Przykład 3

R12mTzEm6CIrO1

Wykres funkcji pokazuje oznaczenie punktu, który należy lub nie należy do wykresu funkcji. Zamalowane kółko - punkt należy do wykresu funkcji. Niezamalowane kółko - punkt nie należy do wykresu funkcji.

Już wiesz

Aby odczytać z wykresu funkcji, jaką wartość przyjmuje ona dla danego argumentu $a$ , wystarczy dorysować prostą równoległą do osi $Oy$ , na której leżą wszystkie punkty, których pierwsza współrzędna jest równa $a$ (taką prostą opisujemy równaniem $x = a$ ). Otrzymamy wtedy dokładnie jeden punkt przecięcia tej prostej z wykresem funkcji. Druga współrzędna tego punktu jest szukaną wartością.

R1HFVvmcCJMkD1

Już wiesz

Aby odczytać z wykresu, czy i dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartość $w$ , wystarczy dorysować prostą równoległą do osi $Ox$ , na której leżą wszystkie punkty, których druga współrzędna jest równa $w$ (taką prostą opisujemy równaniem $y = w$ ).
Jeżeli taka dorysowana prosta ma punkt wspólny z wykresem danej funkcji, to odczytując pierwszą współrzędną każdego z takich punktów wspólnych, wyznaczymy argumenty, dla których funkcja przyjmuje zadaną wartość.
R11v7NSH4rpP51
Animacja pokazuje, jak z wykresu funkcji odczytać dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartość w.
Film dostępny na portalu epodreczniki.pl
Animacja pokazuje, jak z wykresu funkcji odczytać dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartość w.

Zadania generatorowe

Przykłady