Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Zapisz jako PDF Udostępnij materiał
Funkcja
Definicja: Funkcja

Funkcją f ze zbioru X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie, które każdemu elementowi zbioru X przyporządkowuje dokładnie jeden element zbioru Y.
Symbolicznie piszemy f:XY. Czytamy „funkcja f odwzorowuje zbiór X w zbiór Y”.

  • Zbiór X nazywamy dziedziną funkcji, a jego elementy – argumentami funkcji f.

  • Zbiór Y nazywamy przeciwdziedziną funkcji. Każdy element y zbioru Y, który został przyporządkowany co najmniej jednemu argumentowi x nazywamy wartością funkcji f dla argumentu x, co zapisujemy symbolicznie y=f(x). Zbiór Z tych elementów y nazywamy zbiorem wartości funkcji.

Przykład 1

Dane są zbiory X = {1, 2, 3, 4} oraz Y = {3, 2, 0, 1}.
Rozważmy różne sposoby opisu funkcji.

  • Funkcja f opisana jest za pomocą tabeli.

    Funkcja f
    x

    1

    2

    3

    4

    f(x)

    1

    2

    2

    2

  • Funkcja k przedstawiona jest za pomocą grafu.

    R1b1GUSqQZ6eq1

  • Funkcja g opisana jest słownie. Funkcja g każdej liczbie nieparzystej ze zbioru X przyporządkowuje wartość 1. Każdemu z pozostałych argumentów przyporządkowuje liczbę o 4 mniejszą.

Zatem: g1=g3=1, g2=2-4=-2g4=4-4=0.

  • Funkcja w opisana jest za pomocą wykresu.

    RSNNZHQsHbSZZ1

  • Funkcja z opisana jest za pomocą wzoru.

fx=-3-2dladlax=1x=201dladlax=3x=4

Rvuj0KKv9X5hQ1

Przedstawiliśmy różne przykłady funkcji określonych na zbiorze X={1, 2, 3, 4} o wartościach ze zbioru Y={3, 2, 0, 1}.

A
Ćwiczenie 1

Podaj przykład funkcji określonej na zbiorze X={1, 4, 5, 7} o wartościach ze zbioru
Y={4, 1, 0, 1}.

C
Ćwiczenie 2

Ile jest wszystkich funkcji określonych na zbiorze X={1, 2, 3, 4} o wartościach ze zbioru Y={3, 2, 0, 1}?

Przykład 2
RroqPJDJS0HJt1
Przykład 3

Pole kwadratu o boku długości x określamy wzorem P=x2 . Wobec tego dla dowolnego x>0 funkcja Px=x2 opisuje pole kwadratu o boku x.

Rm6mFUcGjmBYg1
Animacja pokazuje jak zwiększając długość boku kwadratu a zwiększamy pole tego kwadratu P(a) i odwrotnie zmniejszając bok kwadratu a zmniejszamy pole tego kwadratu P(a).
Przykład 4

Długość d przekątnej kwadratu jest funkcją długości x jego boku.
W szczególności d3=32 , a ogólnie dx=x2, dla x>0.

Przykład 5

Wysokość h trójkąta równobocznego i pole P tego trójkąta są funkcjami długości a boku trójkąta.
W szczególności h6=33 , P4=43, a ogólnie ha=a32 oraz Pa=a234, dla a>0.

A
Ćwiczenie 3

W zależności od długości promienia r, podaj wzór funkcji opisującej

  1. pole koła

  2. obwód koła

Przykład 6

Rzucamy cztery razy sześcienną kostką. Rozpatrzmy funkcję f, która numerowi rzutu przyporządkowuje liczbę wyrzuconych oczek uzyskanych na kostce w tym rzucie. Wówczas dziedziną funkcji f jest zbiór {1, 2, 3, 4}, a jej przeciwdziedziną zbiór {1, 2, 3, 4, 5, 6}, przy czym zbiór wartości funkcji jest co najwyżej czteroelementowy.

R1Q16arGuObIE1
Animacja pokazuje, że podczas czterokrotnego rzutu kostką otrzymuje się co najwyżej czteroelementowy zbiór wartości.
Przykład 7

Dla danej funkcji określ dziedzinę i zbiór wartości.

RAjbhcKn54RlO1
Animacja pokazuje jak na różnych wykresach funkcji określić dziedzinę i zbiór wartości funkcji.
A
Ćwiczenie 4

Funkcja g, ze zbioru X w zbiór Y, określona jest za pomocą tabeli.

Funkcja g
x
1
2
3
4
5
g(x)
2
-3
12
2,7
2

Uzupełnij graf tej funkcji.

R1FnP6M65NnIz1
B
Ćwiczenie 5

Dane są zbiory X = {2, 1, 0, 1, 2, 3}, Y = {1, 0, 1, 2, 5} oraz funkcja f: XY taka, że

fx=5dlax<0x-3dlax>1x+1dlax=0 lub x=1

Uzupełnij tabelkę.

Funkcja f
x
2
1
0
1
2
3
f(x)
A
Ćwiczenie 6

Uczniom klasy Ia przyporządkowane są w dzienniku kolejne numery od 1 do 33. Które z poniższych przyporządkowań jest funkcją?

  1. Każdemu numerowi ucznia przyporządkowujemy dzień tygodnia, w którym się uczeń urodził.

  2. Każdemu z 7 dni tygodnia przyporządkowujemy numer z dziennika tego ucznia, który się w tym dniu urodził.

B
Ćwiczenie 7

Funkcja s każdej liczbie dwucyfrowej przypisuje sumę cyfry dziesiątek i podwojonej cyfry jedności.

  1. Oblicz s(37).

  2. Zapisz w tabelce wartości funkcji s dla argumentów większych od 94.

classicmobile
Ćwiczenie 8

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f, określonej na zbiorze  {2, 1, 0, 1, 2, 3}.

R1JuMsRdrfr6s1

Oceń, które równości są prawdziwe.

R1980lfaUXe5g
static
classicmobile
Ćwiczenie 9

Czy dla funkcji określonej wzorem fx=2x2-x+3 podane równości są prawdziwe?

R1OqGKsqJ07sr
static
C
Ćwiczenie 10

W klasie jest 31 uczniów. Każdemu z nich na zakończenie roku szkolnego została wystawiona pozytywna ocena z matematyki. Uzasadnij, że wśród uczniów jest co najmniej siedmiu takich, którzy na zakończenie roku szkolnego uzyskali taką samą ocenę z matematyki.

C
Ćwiczenie 11

Graniastosłup prawidłowy ma w podstawie wielokąt o n wierzchołkach (n3 ).
Oznaczmy

  • przez w(n) liczbę wszystkich wierzchołków tego graniastosłupa

  • przez k(n) liczbę wszystkich krawędzi tego graniastosłupa

  • przez s(n) liczbę wszystkich ścian tego graniastosłupa

  1. Wyznacz: w(3), k(4), s(5).

  2. Wyznacz: w(31), k(28), s(17).

  3. Dla ustalonej liczby naturalnej  n3 podaj wzory funkcji: w(n), k(n), s(n).

  4. Wykaż, że dla dowolnej liczby naturalnej n3 prawdziwa jest równość wn+sn-kn=2.