Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Pobierz materiał do PDF Pobierz materiał do EPUB Pobierz materiał do MOBI Zaloguj się aby dodać do ulubionych Zaloguj się, aby udostępnić materiał Dodaj całą stronę do teczki
Funkcja
Definicja: Funkcja

Funkcją f ze zbioru X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie, które każdemu elementowi zbioru X przyporządkowuje dokładnie jeden element zbioru Y.
Symbolicznie piszemy f:XY. Czytamy „funkcja f odwzorowuje zbiór X w zbiór Y”.

  • Zbiór X nazywamy dziedziną funkcji, a jego elementy – argumentami funkcji f.

  • Zbiór Y nazywamy przeciwdziedziną funkcji. Każdy element y zbioru Y, który został przyporządkowany co najmniej jednemu argumentowi x nazywamy wartością funkcji f dla argumentu x, co zapisujemy symbolicznie y=f(x). Zbiór Z tych elementów y nazywamy zbiorem wartości funkcji.

Przykład 1

Dane są zbiory X = {1, 2, 3, 4} oraz Y = {3, 2, 0, 1}.
Rozważmy różne sposoby opisu funkcji.

  • Funkcja f opisana jest za pomocą tabeli.

    Funkcja f
    x

    1

    2

    3

    4

    f(x)

    1

    2

    2

    2

  • Funkcja k przedstawiona jest za pomocą grafu.

    R1b1GUSqQZ6eq1

  • Funkcja g opisana jest słownie. Funkcja g każdej liczbie nieparzystej ze zbioru X przyporządkowuje wartość 1. Każdemu z pozostałych argumentów przyporządkowuje liczbę o 4 mniejszą.

Zatem: g1=g3=1, g2=2-4=-2g4=4-4=0.

  • Funkcja w opisana jest za pomocą wykresu.

    RSNNZHQsHbSZZ1

  • Funkcja z opisana jest za pomocą wzoru.

fx=-3-2dladlax=1x=201dladlax=3x=4

Rvuj0KKv9X5hQ1

Przedstawiliśmy różne przykłady funkcji określonych na zbiorze X={1, 2, 3, 4} o wartościach ze zbioru Y={3, 2, 0, 1}.

A
Ćwiczenie 1

Podaj przykład funkcji określonej na zbiorze X={1, 4, 5, 7} o wartościach ze zbioru
Y={4, 1, 0, 1}.

C
Ćwiczenie 2

Ile jest wszystkich funkcji określonych na zbiorze X={1, 2, 3, 4} o wartościach ze zbioru Y={3, 2, 0, 1}?

Przykład 2
RroqPJDJS0HJt1
Przykład 3

Pole kwadratu o boku długości x określamy wzorem P=x2 . Wobec tego dla dowolnego x>0 funkcja Px=x2 opisuje pole kwadratu o boku x.

Rm6mFUcGjmBYg1
Animacja pokazuje jak zwiększając długość boku kwadratu a zwiększamy pole tego kwadratu P(a) i odwrotnie zmniejszając bok kwadratu a zmniejszamy pole tego kwadratu P(a).
Przykład 4

Długość d przekątnej kwadratu jest funkcją długości x jego boku.
W szczególności d3=32 , a ogólnie dx=x2, dla x>0.

Przykład 5

Wysokość h trójkąta równobocznego i pole P tego trójkąta są funkcjami długości a boku trójkąta.
W szczególności h6=33 , P4=43, a ogólnie ha=a32 oraz Pa=a234, dla a>0.

A
Ćwiczenie 3

W zależności od długości promienia r, podaj wzór funkcji opisującej

  1. pole koła

  2. obwód koła

Przykład 6

Rzucamy cztery razy sześcienną kostką. Rozpatrzmy funkcję f, która numerowi rzutu przyporządkowuje liczbę wyrzuconych oczek uzyskanych na kostce w tym rzucie. Wówczas dziedziną funkcji f jest zbiór {1, 2, 3, 4}, a jej przeciwdziedziną zbiór {1, 2, 3, 4, 5, 6}, przy czym zbiór wartości funkcji jest co najwyżej czteroelementowy.

R1Q16arGuObIE1
Animacja pokazuje, że podczas czterokrotnego rzutu kostką otrzymuje się co najwyżej czteroelementowy zbiór wartości.
Przykład 7

Dla danej funkcji określ dziedzinę i zbiór wartości.

RAjbhcKn54RlO1
Animacja pokazuje jak na różnych wykresach funkcji określić dziedzinę i zbiór wartości funkcji.
A
Ćwiczenie 4

Funkcja g, ze zbioru X w zbiór Y, określona jest za pomocą tabeli.

Funkcja g
x
1
2
3
4
5
g(x)
2
-3
12
2,7
2

Uzupełnij graf tej funkcji.

R1FnP6M65NnIz1
B
Ćwiczenie 5

Dane są zbiory X = {2, 1, 0, 1, 2, 3}, Y = {1, 0, 1, 2, 5} oraz funkcja f: XY taka, że

fx=5dlax<0x-3dlax>1x+1dlax=0 lub x=1

Uzupełnij tabelkę.

Funkcja f
x
2
1
0
1
2
3
f(x)
A
Ćwiczenie 6

Uczniom klasy Ia przyporządkowane są w dzienniku kolejne numery od 1 do 33. Które z poniższych przyporządkowań jest funkcją?

  1. Każdemu numerowi ucznia przyporządkowujemy dzień tygodnia, w którym się uczeń urodził.

  2. Każdemu z 7 dni tygodnia przyporządkowujemy numer z dziennika tego ucznia, który się w tym dniu urodził.

B
Ćwiczenie 7

Funkcja s każdej liczbie dwucyfrowej przypisuje sumę cyfry dziesiątek i podwojonej cyfry jedności.

  1. Oblicz s(37).

  2. Zapisz w tabelce wartości funkcji s dla argumentów większych od 94.

classicmobile
Ćwiczenie 8

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f, określonej na zbiorze  {2, 1, 0, 1, 2, 3}.

R1JuMsRdrfr6s1

Oceń, które równości są prawdziwe.

R1980lfaUXe5g
static
classicmobile
Ćwiczenie 9

Czy dla funkcji określonej wzorem fx=2x2-x+3 podane równości są prawdziwe?

R1OqGKsqJ07sr
static
C
Ćwiczenie 10

W klasie jest 31 uczniów. Każdemu z nich na zakończenie roku szkolnego została wystawiona pozytywna ocena z matematyki. Uzasadnij, że wśród uczniów jest co najmniej siedmiu takich, którzy na zakończenie roku szkolnego uzyskali taką samą ocenę z matematyki.

C
Ćwiczenie 11

Graniastosłup prawidłowy ma w podstawie wielokąt o n wierzchołkach (n3 ).
Oznaczmy

  • przez w(n) liczbę wszystkich wierzchołków tego graniastosłupa

  • przez k(n) liczbę wszystkich krawędzi tego graniastosłupa

  • przez s(n) liczbę wszystkich ścian tego graniastosłupa

  1. Wyznacz: w(3), k(4), s(5).

  2. Wyznacz: w(31), k(28), s(17).

  3. Dla ustalonej liczby naturalnej  n3 podaj wzory funkcji: w(n), k(n), s(n).

  4. Wykaż, że dla dowolnej liczby naturalnej n3 prawdziwa jest równość wn+sn-kn=2.

Aplikacje dostępne w
Pobierz aplikację ZPE - Zintegrowana Platforma Edukacyjna na androida