Definicja funkcji. Sposoby przedstawiania funkcji

Funkcja

Definicja: Funkcja

Funkcją $f$ ze zbioru $X$ w zbiór $Y$ nazywamy przyporządkowanie, które każdemu elementowi zbioru $X$ przyporządkowuje dokładnie jeden element zbioru $Y$ .
Symbolicznie piszemy $f : X \to Y$ . Czytamy „funkcja $f$ odwzorowuje zbiór $X$ w zbiór $Y$ ”.

Zbiór $X$ nazywamy dziedziną funkcji, a jego elementy – argumentami funkcji $f$ .
Zbiór $Y$ nazywamy przeciwdziedziną funkcji. Każdy element $y$ zbioru $Y$ , który został przyporządkowany co najmniej jednemu argumentowi $x$ nazywamy wartością funkcji $f$ dla argumentu $x$ , co zapisujemy symbolicznie $y = f (x)$ . Zbiór $Z$ tych elementów $y$ nazywamy zbiorem wartości funkcji.

Przykład 1

Dane są zbiory $X = {1, 2, 3, 4}$ oraz $Y = {- 3, - 2, 0, 1}$ .
Rozważmy różne sposoby opisu funkcji.

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą tabeli.
Funkcja f
$x$
$1$
$2$
$3$
$4$
$f (x)$
$1$
$- 2$
$- 2$
$- 2$
Funkcja $k$ przedstawiona jest za pomocą grafu.
R1b1GUSqQZ6eq1
Funkcja $g$ opisana jest słownie. Funkcja $g$ każdej liczbie nieparzystej ze zbioru $X$ przyporządkowuje wartość $1$ . Każdemu z pozostałych argumentów przyporządkowuje liczbę o $4$ mniejszą.

Funkcja f
$x$	$1$	$2$	$3$	$4$
$f (x)$	$1$	$- 2$	$- 2$	$- 2$

Zatem: $g (1) = g (3) = 1$ , $g (2) = 2 - 4 = - 2$ i $g (4) = 4 - 4 = 0$ .

Funkcja $w$ opisana jest za pomocą wykresu.
RSNNZHQsHbSZZ1
Funkcja $z$ opisana jest za pomocą wzoru.

$f (x) = \{\begin{matrix} \begin{matrix} - 3 \\ - 2 \end{matrix} & \begin{matrix} dla \\ dla \end{matrix} & \begin{matrix} x = 1 \\ x = 2 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} & \begin{matrix} dla \\ dla \end{matrix} & \begin{matrix} x = 3 \\ x = 4 \end{matrix} \end{matrix}$

Rvuj0KKv9X5hQ1

Przedstawiliśmy różne przykłady funkcji określonych na zbiorze $X = {1, 2, 3, 4}$ o wartościach ze zbioru $Y = {- 3, - 2, 0, 1}$ .

Ćwiczenie 1

Podaj przykład funkcji określonej na zbiorze $X = {1, 4, 5, 7}$ o wartościach ze zbioru
$Y = {- 4, - 1, 0, 1}$ .

Ćwiczenie 2

Ile jest wszystkich funkcji określonych na zbiorze $X = {1, 2, 3, 4}$ o wartościach ze zbioru $Y = {- 3, - 2, 0, 1}$ ?

Liczba wszystkich funkcji, których dziedziną jest zbiór $X$ i przeciwdziedziną zbiór $Y$ równa się $256$ .

Przykład 2

RroqPJDJS0HJt1

Przykład 3

Pole kwadratu o boku długości $x$ określamy wzorem $P = x^{2}$ . Wobec tego dla dowolnego $x > 0$ funkcja $P (x) = x^{2}$ opisuje pole kwadratu o boku $x$ .

Rm6mFUcGjmBYg1

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DJFP4MOjs

Przykład 4

Długość $d$ przekątnej kwadratu jest funkcją długości $x$ jego boku.
W szczególności $d (3) = 3 \sqrt{2}$ , a ogólnie $d (x) = x \sqrt{2}$ , dla $x > 0$ .

Przykład 5

Wysokość $h$ trójkąta równobocznego i pole $P$ tego trójkąta są funkcjami długości $a$ boku trójkąta.
W szczególności $h (6) = 3 \sqrt{3}$ , $P (4) = 4 \sqrt{3}$ , a ogólnie $h (a) = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ oraz $P (a) = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}$ , dla $a > 0$ .

Ćwiczenie 3

W zależności od długości promienia $r$ , podaj wzór funkcji opisującej

pole koła
obwód koła

$P (r) = π r^{2}$ dla $r > 0$
$L (r) = 2 πr$ dla $r > 0$

Przykład 6

Rzucamy cztery razy sześcienną kostką. Rozpatrzmy funkcję $f$ , która numerowi rzutu przyporządkowuje liczbę wyrzuconych oczek uzyskanych na kostce w tym rzucie. Wówczas dziedziną funkcji $f$ jest zbiór ${1, 2, 3, 4}$ , a jej przeciwdziedziną zbiór ${1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ , $6}$ , przy czym zbiór wartości funkcji jest co najwyżej czteroelementowy.

R1Q16arGuObIE1

Przykład 7

Dla danej funkcji określ dziedzinę i zbiór wartości.

RAjbhcKn54RlO1

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DJFP4MOjs

Ćwiczenie 4

Funkcja $g$ , ze zbioru $X$ w zbiór $Y$ , określona jest za pomocą tabeli.

Funkcja g
$x$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$g (x)$	$2$	$- 3$	$\frac{1}{2}$	$2,7$	$\sqrt{2}$

Uzupełnij graf tej funkcji.

R1FnP6M65NnIz1

Graf pokazuje zbiór X ={1, 3} oraz zbiór Y ={2 i siedem dziesiątych, jedna druga, pierwiastek z dwóch}. Argumentowi 3 przyporządkowano wartość jedna druga.

Z tabelki odczytujemy, że: $g (1) = 2$ , $g (2) = - 3$ , $g (3) = \frac{1}{2}$ , $g (4) = 2,7$ , $g (5) = \sqrt{2}$ .
W grafie jest już zaznaczone przyporządkowanie $3 \to \frac{1}{2}$ .
Następnie zauważamy, że

argumentowi $1$ odpowiada wartość $2$ : $1 \to 2$ ,
wartość $2,7$ odpowiada argumentowi $4$ : $4 \to 2,7$ ,
wartość $\sqrt{2}$ odpowiada argumentowi $5$ : $5 \to \sqrt{2}$ ,
ostatnią parą jest argument $2$ i odpowiadająca mu wartość $- 3 : 2 \to - 3 .$
R1JFwg8tbiiV71

Ćwiczenie 5

Dane są zbiory $X = {- 2, - 1, 0, 1, 2, 3}$ , $Y = {- 1, 0, 1, 2, 5}$ oraz funkcja $f : X \to Y$ taka, że

f (x) = \{\begin{matrix} 5 & dla & x < 0 \\ x - 3 & dla & x > 1 \\ x + 1 & dla & x = 0 lub x = 1 \end{matrix}

Uzupełnij tabelkę.

Funkcja f
$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$f (x)$

Funkcja f
$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$f (x)$	$5$	$5$	$1$	$2$	$- 1$	$0$

Interpretujemy warunki podane we wzorze funkcji

$f (x) = 5$ dla $x < 0$ ; wynika z tego, że $f (- 2) = f (- 1) = 5$ ,
$f (x) = x - 3$ dla $x > 1$ ; wynika z tego, że $f (2) = 2 - 3 = - 1$ oraz $f (3) = 3 - 3 = 0$ ,
$f (x) = x + 1$ dla $x = 0$ lub $x = 1$ ; wynika z tego, że $f (0) = 0 + 1 = 1$ oraz $f (1) = 1 + 1 = 2$ .

Zgodnie z obliczeniami wypełniamy tabelkę.

Ćwiczenie 6

Uczniom klasy $Ia$ przyporządkowane są w dzienniku kolejne numery od $1$ do $33$ . Które z poniższych przyporządkowań jest funkcją?

Każdemu numerowi ucznia przyporządkowujemy dzień tygodnia, w którym się uczeń urodził.
Każdemu z $7$ dni tygodnia przyporządkowujemy numer z dziennika tego ucznia, który się w tym dniu urodził.

Takie przyporządkowanie jest funkcją, ponieważ każdemu uczniowi jest przyporządkowany dokładnie jeden dzień tygodnia, zgodnie z dniem urodzenia.
Takie przyporządkowanie nie jest funkcją, ponieważ nie jest możliwe, aby w tym przypadku każdy dzień tygodnia miał przyporządkowany dokładnie jeden numer ucznia. W zadanym przyporządkowaniu jednemu z dni tygodnia przypisano co najmniej $5$ numerów.

Ćwiczenie 7

Funkcja $s$ każdej liczbie dwucyfrowej przypisuje sumę cyfry dziesiątek i podwojonej cyfry jedności.

Oblicz $s (37)$ .
Zapisz w tabelce wartości funkcji $s$ dla argumentów większych od $94$ .

$s (37) = 17$
Funkcja s
$x$
$95$
$96$
$97$
$98$
$99$
$s (x)$
$19$
$21$
$23$
$25$
$27$

Funkcja s
$x$	$95$	$96$	$97$	$98$	$99$
$s (x)$	$19$	$21$	$23$	$25$	$27$

Ponieważ cyfrą dziesiątek liczby $37$ jest $3$ , a jej cyfrą jedności jest $7$ , to $s (37) = 3 + 2 \cdot 7 = 3 + 14 = 17$ .
Obliczamy: $s (95) = 9 + 2 \cdot 5 = 19$ , $s (96) = 9 + 2 \cdot 6 = 21$ , $s (97) = 9 + 2 \cdot 7 = 23$ , $s (98) = 9 + 2 \cdot 8 = 25$ , $s (99) = 9 + 2 \cdot 9 = 27$ .

classicmobile

Ćwiczenie 8

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji $f$ , określonej na zbiorze ${- 2, - 1, 0, 1, 2, 3}$ .

R1JuMsRdrfr6s1

Wykres funkcji składającej się z sześciu punktów o współrzędnych (-2, -2), (-1, 3), (0, 3), (1 , 2), (2, 5), (3, 3).

Oceń, które równości są prawdziwe.

R1980lfaUXe5g

$f (- 2) + f (2) = 0$
$f (- 1) + f (0) = 6$
$f (0) + f (1) = f (2)$
$f (- 2) + f (0) + f (2) + 1 = f (- 1) + f (1) + f (3)$

Odczytujemy z wykresu: $f (- 2) = - 2$ , $f (- 1) = 3$ , $f (0) = 3$ , $f (1) = 2$ , $f (2) = 5$ , $f (3) = 3$ . Wynika stąd, że
$f (- 2) + f (2) = - 2 + 5 = 3 \neq 0$ ,
$f (- 1) + f (0) = 3 + 3 = 6$ ,
$f (0) + f (1) = 3 + 2 = 5 = f (2)$ ,
$f (- 2) + f (0) + f (2) + 1 = - 2 + 3 + 5 + 1 = 7$ , $f (- 1) + f (1) + f (3) = 3 + 2 + 3 = 8$ , czyli $f (- 2) + f (0) + f (2) + 1 \neq f (- 1) + f (1) + f (3)$

static

Ćwiczenie 8

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji $f$ , określonej na zbiorze ${- 2, - 1, 0, 1, 2, 3}$ .

R1JuMsRdrfr6s1

Oceń, które równości są prawdziwe.

R1QtRmAfJcJZG

$f (- 2) + f (2) = 0$
$f (- 1) + f (0) = 6$
$f (0) + f (1) = f (2)$

classicmobile

Ćwiczenie 9

Czy dla funkcji określonej wzorem $f (x) = 2 x^{2} - x + 3$ podane równości są prawdziwe?

R1OqGKsqJ07sr

$f (0) = 3$
$f (- 1) = 0$
$f (1) + f (2) = 10$
$f (3) = f (- 3)$

Obliczamy: $f (- 1) = 3$ , $f (0) = 3$ , $f (1) = 2$ , $f (2) = 5$ , $f (3) = 3$ .
Wynika stąd, że
$f (0) = 2 \cdot 0^{2} - 0 + 3 = 3$ ,
$f (- 1) = 2 \cdot {(- 1)}^{2} - (- 1) + 3 = 2 + 1 + 3 = 6 \neq 0$ ,
$f (1) = 2 \cdot 1^{2} - 1 + 3 = 4$ , $f (2) = 2 \cdot 2^{2} - 2 + 3 = 9$ czyli $f (1) + f (2) = 4 + 9 = 13 \neq 10$ ,
$f (3) = 2 \cdot 3^{2} - 3 + 3 = 18$ , $f (- 3) = 2 \cdot {(- 3)}^{2} - (- 3) + 3 = 24$ czyli $f (3) \neq f (- 3)$ .

static

Ćwiczenie 9

Czy dla funkcji określonej wzorem $f (x) = 2 x^{2} - x + 3$ podane równości są prawdziwe?

Ryv1EaTz2DIwd

$f (0) = 3$
$f (- 1) = 0$
$f (1) + f (2) = 10$
$f (3) = f (- 3)$

Ćwiczenie 10

W klasie jest $31$ uczniów. Każdemu z nich na zakończenie roku szkolnego została wystawiona pozytywna ocena z matematyki. Uzasadnij, że wśród uczniów jest co najmniej siedmiu takich, którzy na zakończenie roku szkolnego uzyskali taką samą ocenę z matematyki.

Wykażemy ten fakt za pomocą dowodu nie wprost.
Załóżmy przeciwnie, że każdemu z uczniów tej klasy wystawiono ocenę i każda ocena została przyporządkowana co najwyżej $6$ uczniom. Ponieważ przypisujemy każdemu z uczniów ocenę ze zbioru pięcioelementowego ${2, 3, 4, 5, 6}$ (nie ma oceny $1$ ), to ogółem uczniów, którym wystawiono oceny jest nie więcej niż $5 \cdot 6$ , czyli $30$ . Ale to jest niemożliwe, bo przecież w tej klasie jest $31$ uczniów.
Otrzymana sprzeczność pokazuje, że w tej klasie jest co najmniej $7$ uczniów, którzy uzyskali tę samą ocenę z matematyki.

Ćwiczenie 11

Graniastosłup prawidłowy ma w podstawie wielokąt o $n$ wierzchołkach $(n \geq 3)$ .
Oznaczmy

przez $w (n)$ liczbę wszystkich wierzchołków tego graniastosłupa
przez $k (n)$ liczbę wszystkich krawędzi tego graniastosłupa
przez $s (n)$ liczbę wszystkich ścian tego graniastosłupa

Wyznacz: $w (3)$ , $k (4), s (5)$ .
Wyznacz: $w (31)$ , $k (28)$ , $s (17)$ .
Dla ustalonej liczby naturalnej $n \geq 3$ podaj wzory funkcji $: w (n)$ , $k (n)$ , $s (n)$ .
Wykaż, że dla dowolnej liczby naturalnej $n \geq 3$ prawdziwa jest równość $w (n) + s (n) - k (n) = 2$ .

$w (3) = 6$ , $k (4) = 12$ , $s (5) = 7$
$w (31) = 62$ , $k (28) = 84$ , $s (17) = 19$
$w (n) = 2 n$ , $k (n) = 3 n$ , $s (n) = n + 2$
Patrz – rozwiązanie.

Jeżeli graniastosłup prawidłowy ma w podstawie wielokąt o $n$ wierzchołkach, to

Wszystkich wierzchołków tego graniastosłupa jest tyle, ile w sumie wierzchołków w każdej z dwóch podstaw.

Wobec tego $w (n) = 2 n$ .

Wszystkich krawędzi tego graniastosłupa jest tyle, ile jest krawędzi bocznych i krawędzi w każdej z podstaw razem. Ale krawędzi w każdej z podstaw jest tyle, ile jest tam wierzchołków (czyli $n$ ), a także krawędzi bocznych jest tyle, ile wierzchołków w każdej z podstaw.

Wynika z tego, że $k (n) = 3 n$ .

Wszystkich ścian tego graniastosłupa jest tyle, ile jest podstaw i ścian bocznych razem. Ale podstawy są $2,$ a ścian bocznych jest tyle, ile krawędzi w każdej z podstaw.

A zatem $s (n) = n + 2$ .
Stosujemy otrzymane wzory

$w (3) = 2 \cdot 3 = 6$ , $k (4) = 3 \cdot 4 = 12$ , $s (5) = 5 + 2 = 7$
$w (31) = 2 \cdot 31 = 62$ , $k (28) = 3 \cdot 28 = 84$ , $s (17) = 17 + 2 = 19$
$w (n) = 2 n$ , $k (n) = 3 n$ , $s (n) = n + 2$
dla dowolnego $n \geq 3$ : $w (n) + s (n) - k (n) = 2 n + n + 2 - 3 n = 2$ , a to właśnie należało udowodnić.

Wprowadzenie

Zadania