Autor: Henryk Dąbrowski

Przedmiot: Matematyka

Temat: Obliczanie długości boków i miar kątów w trójkącie z wykorzystaniem twierdzenia cosinusów

Grupa docelowa:

III etap edukacyjny, liceum, technikum, zakres rozszerzony

Podstawa programowa:

VIII. Planimetria. Zakres podstawowy.

Uczeń:

2) rozpoznaje trójkąty ostrokątne, prostokątne i rozwartokątne przy danych długościach boków (m.in. stosuje twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa i twierdzenie cosinusów); stosuje twierdzenie: w trójkącie naprzeciw większego kąta wewnętrznego leży dłuższy bok;

11) stosuje funkcje trygonometryczne do wyznaczania długości odcinków w figurach płaskich oraz obliczania pól figur;

12) przeprowadza dowody geometryczne.

Kształtowane kompetencje kluczowe:

• kompetencje w zakresie rozumienia i tworzenia informacji;

• kompetencje matematyczne oraz kompetencje w zakresie nauk przyrodniczych, technologii i inżynierii;

• kompetencje cyfrowe.

Cele operacyjne:

Uczeń:

• stosuje twierdzenie cosinusów do obliczenia długości boku trójkąta, gdy dane są długości dwóch pozostałych boków trójkąta i jeden z kątów tego trójkąta;

• stosuje twierdzenie cosinusów do obliczenia kątów trójkąta, gdy dane są długości trzech boków trójkąta;

• przeprowadza dowody geometryczne, wykorzystując twierdzenie cosinusów.

Strategie nauczania:

• konstruktywizm.

Metody i techniki nauczania:

• dyskusja;

• rozmowa nauczająca z wykorzystaniem ćwiczeń interaktywnych.

Formy pracy:

• praca indywidualna;

• praca w grupach;

• praca całego zespołu klasowego.

Środki dydaktyczne:

• komputery z dostępem do internetu w takiej liczbie, żeby każda para uczniów miała do dyspozycji komputer; lekcję tę można przeprowadzić mając do dyspozycji jeden komputer z rzutnikiem multimedialnym.

Przebieg lekcji

Faza wstępna:

1. Nauczyciel przypomina co rozumiemy, gdy mamy do czynienia z poleceniem „rozwiąż trójkąt”, a następnie prosi o wskazanie jak najmniejszej liczby danych spośród długości boków i kątów trójkąta, przy których trójkąt można rozwiązać.

2. Nauczyciel prosi uczniów o przypomnienie treści twierdzenia cosinusów.

3. Dzieli klasę na grupy i poleca każdej grupie zastanowienie się, w których z rozpatrywanych sytuacji można rozwiązać trójkąt, wykorzystując twierdzenie cosinusów.

Faza realizacyjna:

1. Nauczyciel prosi uczniów o zapoznanie się z zadaniem z Przykładu 1. Analizuje wraz z uczniami rozwiązanie zadania do momentu, gdy trzeba obliczyć wartość $\cos 15°$.

2. Każdej z grup poleca obliczenie wartości $\cos 15°$, narzucając różne sposoby rozwiązania omówione w Przykładzie 1.

3. Uczniowie przedstawiają różne sposoby obliczenie wartości $\cos 15°$. Jedna z grup kończy zadanie z Przykładu 1, obliczając długość trzeciego boku trójkąta.

4. Nauczyciel poleca uruchomić animację i prosi o wykonanie dołączonych poleceń.

5. Uczniowie, kierowani przez nauczyciela rozwiązują kolejne przykłady, w których stosują twierdzenie cosinusów.

6. Uczniowie wykonują zaproponowane ćwiczenia interaktywne, wykorzystując umiejętności z różnych działów matematyki.

Faza podsumowująca:

• Nauczyciel prosi wybranych uczniów o przedstawienie najważniejszych elementów, jakie były omawiane w trakcie lekcji.

Praca domowa:

Nauczyciel poleca, aby uczniowie wykonali w domu ćwiczenia interaktywne, które nie zostały wykonane w czasie zajęć.

Materiały pomocnicze:

Trójkąty i ich własności

Wskazówki metodyczne:

Animację można zastosować w ramach powtórzenia przed sprawdzianem. Animację o zastosowaniu twierdzenia cosinusów można wykorzystać także do powtórzenia materiału przed klasówką lub przez egzaminem maturalnym.