Dodawanie i odejmowanie ułamków

Przykład 1

Agatka zaplanowała czterodniową wycieczkę rowerową. Pierwszego dnia pokonała $\frac{2}{7}$ długości trasy, drugiego dnia $\frac{3}{7}$ , a trzeciego tylko $\frac{1}{7}$ długości trasy.
Jaką część planowanej drogi pokonała Agatka w ciągu trzech dni?

RoEfgkyfm4MHx1

Rysunek prostokąta podzielonego na siedem równych części. Różnymi kolorami zamalowane dwie części, trzy części i jedna część. Pod nimi odpowiednio ułamki: dwie siódme, trzy siódme i jedna siódma. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Z rysunku widać, że Agatka przejechała $\frac{6}{7}$ długości całej trasy.
Zapiszmy obliczenia

\frac{2}{7} + \frac{3}{7} + \frac{1}{7} = \frac{6}{7}

Jaką część planowanej drogi musi jeszcze pokonać Agatka?

RCdhNaLgsP03k1

Rysunek prostokąta podzielonego na siedem równych części. Różnymi kolorami zamalowana sumę sześciu części, czyli ułamek sześć siódmych. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Z rysunku widać, że Agatka musi przejechać jeszcze $\frac{1}{7}$ długości całej trasy.
Zapiszmy obliczenia

1 - \frac{6}{7} = \frac{7}{7} - \frac{6}{7} = \frac{1}{7}

Takie obliczenia wykonywaliśmy już w klasie czwartej, stosując następującą zasadę:

Ważne!

Dodając (odejmując) ułamki o jednakowych mianownikach, dodajemy (odejmujemy) liczniki, a mianownik pozostawiamy bez zmian.

RxNmfgXPAhtLv1

Dwa przykłady. Pierwszy przykład: jedna piąta plus trzy piąte równa się cztery piąte. Drugi przykład: siedem jedenastych minus dwie jedenaste równa się pięć jedenastych. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Jeśli w wyniku otrzymamy ułamek niewłaściwy, to należy wyłączyć z niego całości.

RIQ77UAR955S11

Przykład: trzy czwarte plus jedna czwarta plus jedna czwarta równa się pięć czwartych równa się jedna cała i jedna czwarta. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ważne!

Jeśli w wyniku otrzymamy ułamek skracalny, należy go skrócić.

R17QokJGte5cs1

Dwa przykłady. Pierwszy: jedna szósta plus trzy szóste równa się cztery szóste równa się dwie trzecie. Drugi: siedem ósmych minus jedna ósma równa się sześć ósmych równa się trzy czwarte. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ważne!

Odejmując ułamek od całości, możemy dla ułatwienia obliczeń zamienić całość na ułamek niewłaściwy.

R26bHsdrWl0681

Przykład: jeden minus piętnaście dwudziestych siódmych równa się dwadzieścia siedem dwudziestych siódmych minus piętnaście dwudziestych siódmych równa się dwanaście dwudziestych siódmych. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RrHkPSYpqqMCC1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

iYQkHMcGvk_d5e164

Ćwiczenie 1

Oblicz. Wynik podaj w najprostszej postaci.

$\frac{1}{4} + \frac{1}{4}$
$\frac{1}{9} + \frac{5}{9}$
$\frac{3}{10} + \frac{7}{10}$
$\frac{5}{12} + \frac{4}{12}$
$\frac{11}{15} + \frac{7}{15}$
$\frac{3}{6} + \frac{5}{6} + \frac{5}{6}$
$\frac{7}{8} - \frac{3}{8}$
$\frac{13}{16}$ – $\frac{9}{16}$
$1 - \frac{18}{30}$

$\frac{1}{2}$
$\frac{2}{3}$
$1$
$\frac{3}{4}$
$1 \frac{1}{5}$
$2 \frac{1}{6}$
$\frac{1}{2}$
$\frac{1}{4}$
$\frac{2}{5}$

iYQkHMcGvk_d5e249

Dodawanie i odejmowanie liczb mieszanych

Przykład 2

Jacek organizował biwak dla harcerzy. Kupił $7 \frac{6}{10}$ kg kiełbasy, $4$ $\frac{8}{10}$ kg chleba oraz $3$ $\frac{3}{10}$ kg ziemniaków.
Ile ważyły wszystkie zakupione przez Jacka produkty?
$7 \frac{6}{10}$ + $4$ $\frac{8}{10}$ + $3$ $\frac{3}{10}$ = $14$ $\frac{17}{10}$ = $15$ $\frac{7}{10}$
Odp.: Wszystkie produkty ważyły $15$ $\frac{7}{10}$ kg.
O ile kilogramów więcej kupił Jacek kiełbasy niż ziemniaków?
$7 \frac{6}{10}$ – $3 \frac{3}{10}$ = $4$ $\frac{3}{10}$
Odp.: Jacek kupił o $4$ $\frac{3}{10}$ kg kiełbasy więcej niż ziemniaków.
O ile kilogramów więcej kupił Jacek kiełbasy niż chleba?
$7 \frac{6}{10}$ – $4 \frac{8}{10}$ = $6 \frac{16}{10}$ – $4$ $\frac{8}{10}$ = $2 \frac{8}{10}$ = $2 \frac{4}{5}$
Odp. Jacek kupił o $2$ $\frac{4}{5}$ kg kiełbasy więcej niż chleba.
Przedstawiony przykład przypomina, w jaki sposób dodajemy i odejmujemy liczby mieszane.

Ważne!

Dodając liczby mieszane, obliczamy sumę części całkowitych i sumę części ułamkowych. Pamiętamy, aby wynik zapisać w najprostszej postaci, po wyłączeniu całości i skróceniu części ułamkowej.

RhPsOTUzHSfAM1

Ważne!

R1LhTDe1g7bvZ1

Ćwiczenie 2

Dodaj ułamki. Zapisz wynik w postaci ułamka nieskracalnego lub liczby mieszanej z takim ułamkiem.

$\frac{3}{16} + \frac{5}{16}$
$\frac{1}{8} + \frac{5}{8}$
$\frac{3}{4} + \frac{7}{4}$
$\frac{3}{4} + \frac{1}{4}$
$1 \frac{1}{16} + \frac{15}{16}$
$1 \frac{3}{8} + \frac{7}{8}$
$1 \frac{3}{4} + \frac{3}{4}$
$1 \frac{3}{16} + \frac{15}{16}$

$\frac{1}{2}$
$\frac{3}{4}$
$2 \frac{1}{2}$
$1$
$2$
$2 \frac{1}{4}$
$2 \frac{1}{2}$
$2 \frac{1}{8}$

Ćwiczenie 3

Dodaj ułamki. Zapisz wynik w postaci ułamka nieskracalnego lub liczby mieszanej z takim ułamkiem.

$\frac{5}{12} + \frac{1}{12}$
$\frac{1}{6} + \frac{4}{6}$
$\frac{1}{3} + \frac{2}{3}$
$\frac{1}{24} + \frac{5}{24}$
$1 \frac{3}{12} + \frac{11}{12}$
$1 \frac{3}{6} + \frac{5}{6}$
$1 \frac{2}{3} + \frac{2}{3}$
$1 \frac{1}{24} + \frac{9}{24}$

$\frac{1}{2}$
$\frac{5}{6}$
$1$
$\frac{1}{4}$
$2 \frac{1}{6}$
$2 \frac{1}{3}$
$2 \frac{1}{3}$
$1 \frac{5}{12}$

Ćwiczenie 4

Oblicz.

$4 + 1 \frac{1}{5}$
$1 \frac{5}{8} + 3 \frac{7}{8}$
$6 \frac{11}{15} + 7 \frac{1}{15}$
$2 \frac{5}{12} + \frac{11}{12} + 3 \frac{2}{12}$
$7 - \frac{8}{13}$
$4 - 2 \frac{1}{3}$
$3 \frac{5}{6} - 2 \frac{1}{6}$
$5 \frac{3}{20} - 3 \frac{8}{20}$
$13 \frac{7}{24} - 12 \frac{11}{24}$

$5 \frac{1}{5}$
$5 \frac{1}{2}$
$13 \frac{4}{5}$
$6 \frac{1}{2}$
$6 \frac{5}{13}$
$1 \frac{2}{3}$
$1 \frac{2}{3}$
$1 \frac{3}{4}$
$\frac{5}{6}$

Ćwiczenie 5

Oblicz, pamiętając o kolejności wykonywania działań.

$2 \frac{5}{9} + 3 \frac{7}{9} - 4 \frac{8}{9}$
$7 \frac{5}{6} - 5 \frac{2}{6} - 1 \frac{4}{6}$
$9 \frac{1}{8} - (2 \frac{7}{8} + 4 \frac{4}{8})$
$5 \frac{6}{12} - (5 \frac{1}{12} - 1 \frac{5}{12})$
$12 - (16 \frac{7}{18} - 5 \frac{9}{18})$

$1 \frac{4}{9}$
$\frac{5}{6}$
$1 \frac{3}{4}$
$1 \frac{5}{6}$
$1 \frac{1}{9}$

Ćwiczenie 6

Oblicz.

Do sumy liczb $6 \frac{7}{15}$ i $2 \frac{1}{15}$ dodaj sumę liczb $3 \frac{5}{15}$ i $1 \frac{11}{15}$ .
Od sumy liczb $4 \frac{3}{12}$ i $2 \frac{1}{12}$ odejmij różnicę liczb $12 \frac{5}{12}$ i $10 \frac{9}{12}$ .
Do sumy liczb $4 \frac{5}{24}$ i $3 \frac{7}{24}$ dodaj ich różnicę.

$13 \frac{3}{5}$
$4 \frac{2}{3}$
$8 \frac{5}{12}$

Ćwiczenie 7

R88l7M0vN0yHJ1

Tato kupił taśmę do uszczelniania okien. Do pierwszego okna zużył $7 \frac{3}{8} m$ , do drugiego $9 \frac{1}{8} m$ , a do trzeciego $8 \frac{6}{8} m$ . Ile metrów taśmy zostało, jeśli w krążku były początkowo $33$ metry?

$7 \frac{3}{5}$ , $7 \frac{2}{3}$ , $7 \frac{4}{5}$ , $7 \frac{3}{4}$

Odp.: Zostało ............ m taśmy.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 8

RWpdlZSyfzGoH1

Ze słoja, w którym było $7 \frac{1}{4} kg$ miodu, pszczelarz najpierw odlał $2 \frac{3}{4} kg$ , a następnie dolał $1 \frac{1}{4} kg$ . Ile miodu jest w słoju?

$5 \frac{2}{3}$ , $5 \frac{3}{4}$ , $5 \frac{3}{5}$ , $5 \frac{4}{5}$

Odp.: W słoju jest teraz ............ $kg$ miodu.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 9

R16aBLDxHphRk1

Janek bardzo lubi czytać książki i oglądać filmy. Czytanie zajmuje mu codziennie $1 \frac{2}{3} h$ godziny. Na filmy przeznacza o $1 \frac{1}{3} h$ więcej. Ile czasu zajmują mu każdego dnia te dwie czynności?

$4 \frac{1}{3}$ , $4 \frac{2}{3}$ , $4 \frac{1}{4}$ , $4 \frac{3}{4}$

Odp.: Na czytanie i oglądanie filmów Janek przeznacza codziennie ............ $h$ .

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 10

RBtYaadMcoC6s1

Do dziesięciolitrowego słoja, w którym było $1 \frac{4}{5}$ litra soku, mama dolała $1 \frac{3}{5}$ litra soku. Ile mogłaby jeszcze dolać, aby napełnić słój do połowy?

$1 \frac{2}{5}$ , $1 \frac{3}{5}$ , $1 \frac{1}{5}$ , $1 \frac{4}{5}$

Odp.: Mama mogłaby dolać ............ litra soku.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 11

Nierówności uzupełnij liczbami $\frac{1}{11}, 4 \frac{3}{11}, \frac{4}{11}, \frac{5}{11}, 3 \frac{8}{11}, \frac{7}{11}, \frac{9}{11}, 2 \frac{3}{11}$ , aby były prawdziwe

$\dots + \dots + \dots + \dots = 2$
$\dots + \dots + \dots + \dots = 3$
$\dots - \dots - \dots - \dots = 2$

Porównywanie ułamków zwykłych

Dodawanie i odejmowanie ułamków o różnych mianownikach

Dodawanie i odejmowanie ułamków o jednakowych mianownikach

Dodawanie i odejmowanie ułamków

Dodawanie i odejmowanie liczb mieszanych