Film nawiązujący do treści lekcji dotyczącej wielokątów na powierzchni kuli.
Polecenie 2
Zaznacz na powierzchni swojej kuli trzy punkty tak, aby nie leżały one na tym samym okręgu wielkim oraz aby żadne dwa z nich nie były punktami biegunowymi dla jakiegoś okręgu wielkiego. Połącz je odcinkami sferycznymi, czyli łukami zawartymi w sferycznych prostych.
Czy otrzymana figura jest wielokątem? Dlaczego tak lub dlaczego nie? Ile ma boków? Jak możesz nazwać tę figurę uwzględniając liczbę boków?
Uzasadnij użycie wybranej przez Ciebie nazwy.
Wskaż wnętrze i zewnętrze figury. Co powiesz o tych obszarach?
Otrzymana figura jest wielokątem, ponieważ posiada kilka boków, kilka kątów i kilka wierzchołków. Ma trzy boki, trzy kąty i trzy wierzchołki, więc możemy nazwać ją trójkątem sferycznym. Wnętrze tego trójkąta sferycznego to obszar ograniczony łamaną zamkniętą utworzoną przez trzy odcinki sferyczne stanowiące boki trójkąta, a zewnętrze to pozostała część sfery. Oba obszary są ograniczone i skończone.
Polecenie 3
A co powiesz o takim połączeniu trzech punktów na powierzchni kuli?
RAJJ837b30xsM
Zdjęcie przedstawia pomarańczę, w którą wbito trzy zapałki. Na zapałki założono gumkę recepturkę, która utworzyła trójkąt. Boki trójkąta na tej schematycznej kuli są łukami, a nie odcinkami jak na płaszczyźnie.
Uzyskaj taką figurę posługując się swoją kulą, zapoznaj się z nią ze wszystkich stron i odpowiedz na pytanie: Czy otrzymana figura jest trójkątem? Dlaczego tak lub dlaczego nie? Wskaż wnętrze tego wielokąta, a także jego kąty wewnętrzne.
Zastanów się: czy to możliwe, aby te same trzy wierzchołki wyznaczały dwa różne trójkąty sferyczne? A czy jest to możliwe na płaszczyźnie?
Otrzymana figura jest trójkątem sferycznym, ponieważ ma trzy boki w postaci odcinków sferycznych, trzy kąty i trzy wierzchołki. Dwa kąty wewnętrzne są kątami wklęsłymi, miara każdego z nich jest większa niż . Na poniższych zdjęciach pokazane są kąty wewnętrzne tego trójkąta i zakreskowane jego wnętrze:
RRQpr5uMXZzks
Film przedstawia styropianową kulę, w którą wbito trzy szpilki i założono na nie gumkę recepturkę, która utworzyła trójkąt. Jeden z boków trójkąta jest łukiem biegnącym wzdłuż równika i zajmuje mniej więcej dwie trzecie długości równika. Trzecia szpilka bita jest w górny biegun kuli. Przy tej szpilce kąt wewnętrzny trójkąta jest kątem wklęsłym, czyli ma więcej, niż 180 stopni.
Film przedstawia styropianową kulę, w którą wbito trzy szpilki i założono na nie gumkę recepturkę, która utworzyła trójkąt. Jeden z boków trójkąta jest łukiem biegnącym wzdłuż równika i zajmuje mniej więcej dwie trzecie długości równika. Trzecia szpilka bita jest w górny biegun kuli. Przy tej szpilce kąt wewnętrzny trójkąta jest kątem wklęsłym, czyli ma więcej, niż 180 stopni.
Film przedstawia styropianową kulę, w którą wbito trzy szpilki i założono na nie gumkę recepturkę, która utworzyła trójkąt. Jeden z boków trójkąta jest łukiem biegnącym wzdłuż równika i zajmuje mniej więcej dwie trzecie długości równika. Trzecia szpilka bita jest w górny biegun kuli. Przy tej szpilce kąt wewnętrzny trójkąta jest kątem wklęsłym, czyli ma więcej, niż 180 stopni.
Jak widać na sferze jest to możliwe, natomiast na płaszczyźnie nie jest. Niemniej jednak należy podjąć decyzję, który z trójkątów sferycznych wyznaczonych przez trzy wierzchołki będziemy uważać za ten podstawowy, którego własności będziemy badać.
Zapamiętaj: Aby uniknąć niejednoznaczności w obliczeniach (np. przy wyznaczaniu sumy miar kątów wewnętrznych trójkąta sferycznego), rozwiązując problemy, rozważamy zawsze tzw. trójkąty Eulera, czyli takie, w których miary kątów są nie większe niż .
Polecenie 4
Zbuduj na sferze trzy trójkąty: niech pierwszy będzie zawarty w drugim, a drugi w trzecim.
Przy pomocy swojego „kątomierza” oszacuj miary kątów wewnętrznych wszystkich trójkątów i oblicz sumy tych miar dla każdego z trójkątów. Porównaj wyniki obliczeń.
Spróbuj wyjaśnić, dlaczego masz takie właśnie wyniki swojego doświadczenia.
Jak myślisz, jaka jest najmniejsza suma miar kątów wewnętrznych trójkąta sferycznego? Jaka największa? Uzasadnij swoje stwierdzenia.
Zbudujmy na sferze trzy trójkąty: niech pierwszy będzie zawarty w drugim, a drugi w trzecim. Im większy trójkąt, tym większą miarę mają jego kąty wewnętrzne. Spróbuj wyjaśnić, dlaczego tak się dzieje. Jak myślisz, jaka jest najmniejsza suma miar kątów wewnętrznych trójkąta sferycznego? Jaka największa? Uzasadnij swoje stwierdzenia.
Sumy miar kątów wewnętrznych każdego z trójkątów są różne, ponieważ na sferze im większy trójkąt tworzymy, tym ma on większe kąty jak na poniższym zdjęciu.
RUlsbGOLXMNbO
Zdjęcie przedstawia styropianową kulę, w którą wbito przy jednym biegunie trzy szpilki blisko siebie i otoczono je gumką recepturką. Gumka utworzyła trójkąt, którego boki są prawie prostymi łukami. Drugi trójkąt składa się ze szpilek wbitych daleko od siebie w okolicy równika. Kąty w tym trójkącie mają znacznie większe miary, a jego boki są łukami.
Suma miar kątów wewnętrznych w trójkącie sferycznym zawiera się w przedziale , ponieważ bardzo małe trójkąty sferyczne lokalnie są zbudowane na powierzchni o małym zakrzywieniu i są bliskie trójkątom na płaszczyźnie, natomiast największe trójkąty sferyczne mogą mieć wierzchołki położone blisko pewnego okręgu wielkiego i wtedy ich kąty mają miary bliskie każdy.
Zapamiętaj odkrytą przez siebie wiedzę:
suma miar kątów wewnętrznych w trójkącie sferycznym nie jest stała,
suma miar kątów wewnętrznych w trójkącie sferycznym jest większa od .
Polecenie 5
Zbuduj na swojej sferze czworokąt, który posiada wszystkie własności, jakie posiada kwadrat na płaszczyźnie. Pamiętaj, że wierzchołki czworokąta powinny być połączone łukami, które są krótszymi fragmentami okręgów wielkich. Opisz swój sposób konstrukcji.
Czy przeciwległe boki skonstruowanego czworokąta są równoległe? Uzasadnij swoją odpowiedź.
Zmierz kąty skonstruowanego czworokąta. Czy wszystkie kąty są proste? Czy mogą być proste? Odpowiedź uzasadnij.
Zbudujmy na sferze czworokąt, który posiada wszystkie własności, jakie posiada kwadrat na płaszczyźnie. Jego wierzchołki są połączone łukami, które są krótszymi fragmentami okręgów wielkich. Opisz swój sposób konstrukcji.
Czy przeciwległe boki skonstruowanego czworokąta są równoległe? Uzasadnij swoją odpowiedź.
Czy wszystkie kąty czworokąta będą proste? Czy mogą być proste? Odpowiedź uzasadnij.
Na poniższym zdjęciu widać wynik starań uczniów jednego z białostockich gimnazjów, którzy usiłowali skonstruować kwadrat na sferze tak, jak konstruowali go na płaszczyźnie, to znaczy skonstruowali odcinek (bok kwadratu) i w jego końcach skonstruowali dwie proste prostopadłe do tego odcinka:
RpL35RoeLDJli
Zdjęcie przedstawia przeźroczystą kulę, na której narysowano trzy boki czworokąta. Dolny bok jest łukiem biegnącym wzdłuż równika, a prawy i lewy bok narysowane pod kątem 90 stopni zwężają się w kierunku bieguna.
Źródło: Anna Rybak, licencja: CC BY-SA 3.0.
Okazało się, że konstrukcji nie można dokończyć, ponieważ dwie proste, które miały zawierać boki kwadratu prostopadle do narysowanego „pierwszego” boku wcale nie są równoległe, tylko „dążą” do wspólnego punktu.
Uczniowie zaczęli więc konstruować kwadrat inaczej, korzystając z własności przekątnych. Otrzymali następujący rezultat:
R6jwV8SIHFC3x
Zdjęcie przedstawia przeźroczystą kulę, na której narysowano dwa czworokąty. Kąty wewnętrzne w większym czworokącie mają 135 stopni każdy. Poprowadzono przekątne w czworokącie. W oparciu o te przekątne narysowano mniejszy czworokąt tak, że jego przekątne pokrywają się z przekątnymi większego czworokąta. Kąty wewnętrzne mniejszego czworokąta wynoszą 100 stopni każdy.
Źródło: Anna Rybak, licencja: CC BY-SA 3.0.
Boki tego czworokąta są równe, ale nie są równoległe. Nie mogą być równoległe, ponieważ na sferze nie istnieją proste sferyczne równoległe. Kąty uzyskanego czworokąta nie są proste – z tego samego powodu. Wszystkie kąty mają równe miary.
Na pomarańczy można wykonać takie doświadczenie:
R1HqSjkWxdYvv
Zdjęcie przedstawia pomarańczę, w którą wbito cztery zapałki. Na zapałki założono gumkę recepturkę, która utworzyła czworokąt, którego kąty wewnętrzne są rozwarte.
Wyraźnie widać, że nie można otrzymać czworokąta o wszystkich bokach równych i wszystkich kątach prostych. Im większy zbudujemy czworokąt, tym wyraźniej to widać.
Zapamiętaj odkrytą przez siebie wiedzę: Na sferze nie można skonstruować kwadratu, ale można skonstruować czworokąt foremny o wszystkich bokach równych i wszystkich kątach równych, ale nie prostych.
Polecenie 6
Zmierz przekątne skonstruowanego czworokąta i kąty, pod jakimi przekątne przecinają się. Na jakie części dzieli każdą z przekątnych punkt ich przecięcia?
Zastanów się, pod jakimi kątami przecinają się przekątne skonstruowanego czworokąta? Na jakie części dzieli każdą z przekątnych punkt ich przecięcia?
Przekątne sferycznego czworokąta foremnego są równe i przecinają się pod kątem prostym. Punkt ich przecięcia dzieli każdą z nich na połowy.
Polecenie 7
Skonstruuj na kartce papieru dwie półproste o wspólnym początku. Czy te dwie półproste “spotkają się” w jakimś innym punkcie, jeśli będziesz przedłużać je w nieskończoność?
Dwie półproste o wspólnym początku dzielą płaszczyznę na dwie części. Opisz “kształty” i “rozmiary” tych części.
Można powiedzieć językiem potocznym, że wielokąt to “zamknięta” figura, a jej bokami są odcinki. Wyjaśnij, czy możliwe jest skonstruowanie na płaszczyźnie wielokąta o dwóch bokach.
Skonstruujmy na kartce papieru dwie półproste o wspólnym początku. Czy te dwie półproste “spotkają się” w jakimś innym punkcie, jeśli przedłużymy je w nieskończoność?
Dwie półproste o wspólnym początku dzielą płaszczyznę na dwie części. Opisz “kształty” i “rozmiary” tych części.
Można powiedzieć językiem potocznym, że wielokąt to “zamknięta” figura, a jej bokami są odcinki. Wyjaśnij, czy możliwe jest skonstruowanie na płaszczyźnie wielokąta o dwóch bokach.
Półproste nie „spotkają się” w żadnym innym punkcie z wyjątkiem ich wspólnego początku. Obie części płaszczyzny są nieograniczone, nieskończone. Na płaszczyźnie nie można zbudować wielokąta o dwóch bokach, ponieważ nie można połączyć dwóch punktów dwoma różnymi odcinkami.
Polecenie 8
Zaznacz na sferze punkt i skonstruuj zaczynające się w tym punkcie dowolne łuki dwóch różnych okręgów wielkich. Przedłuż skonstruowane łuki. Czy “spotkają się” one ponownie w jakimś punkcie?
Dwa łuki o wspólnym początku dzielą sferę na dwie części. Opisz “kształty” i “rozmiary” tych części. Czy któraś z części, na które skonstruowane łuki podzieliły sferę, jest wielokątem? Jeśli tak, to jak można nazwać ten wielokąt?
Zaznaczmy na sferze punkt i skonstruujmy zaczynające się w tym punkcie dowolne łuki dwóch różnych okręgów wielkich. Przedłużmy skonstruowane łuki. Czy “spotkają się” one ponownie w jakimś punkcie?
Dwa łuki o wspólnym początku dzielą sferę na dwie części. Opisz “kształty” i “rozmiary” tych części. Czy któraś z części, na które skonstruowane łuki podzieliły sferę, jest wielokątem? Jeśli tak, to jak można nazwać ten wielokąt?
Przedłużone łuki spotkają się w punkcie biegunowym położonym po przeciwnej stronie sfery niż punkt, który jest ich początkiem, jak na poniższym zdjęciu:
Rn3Zgl47j8Hyn
Zdjęcie przedstawia pomarańczę. Na obu biegunach wbito po jednej zapałce i założono na gumkę recepturkę. Gumka tworzy figurę w kształcie oka.
Wielokąt, który ma dwa boki, dwa kąty i dwa wierzchołki możemy nazywać dwukątem.
Polecenie 9
Zmierz kąty dwukąta i opisz ich własności. Zmierz boki dwukąta i opisz ich własności.
Jak sądzisz, jakie będą miary kątów i boków dwukąta? Jakie mogą być ich własności?
Kąty wewnętrzne dwukąta mają równe miary. Boki dwukąta są równe.
Zapamiętaj odkrytą przez siebie wiedzę: Na sferze istnieją figury geometryczne, które nie istnieją na płaszczyźnie. Jedną z takich figur jest dwukąt.
