Film samouczek

Czy w jednym układzie planetarnym prędkości polowe różnych planet mogą być jednakowe?

Polecenie 1

Zapoznaj się z fragmentem lekcji o prawach Keplera i z wypowiedziami dwojga uczniów oraz rozstrzygnięciem nauczyciela.

Przytaczając brzmienie II i III praw Keplera, uczeń użył zbliżonej składni:

II praw Keplera: „Dla wszystkich planet w ich obiegu wokół Słońca stały jest moment pędu, czyli stała jest prędkość polowa”.

III prawo Keplera: „Dla wszystkich planet w ich obiegu wokół Słońca stały jest stosunek trzeciej potęgi promienia obiegu (dokładniej: trzeciej potęgi długości wielkiej półosi orbity) do kwadratu okresu obiegu”.

Wskaż niejednoznaczność, jaka może wyniknąć z takiego sformułowania każdego z praw. Zaproponuj takie ujęcie każdego z nich, by uniknąć wskazanej niejednoznaczności.

Polecenie 2

Koleżanka ucznia (z poprzedniego polecenia) chciała wykazać, że wbrew informacji zawartej w odpowiedzi możliwe jest, by prędkości polowe dwóch planet obiegających Słońce po różnych orbitach kołowych były jednakowe. Naszkicowała rysunek, na którym pokazane są te orbity (promienie i okresy obiegu tych planet wynoszą, odpowiednio, rIndeks dolny 1 i TIndeks dolny 1 oraz rIndeks dolny 2 i TIndeks dolny 2) ...

R154Gg26CzyzM

Rysunek przedstawia dwie orbity kołowe dwóch planet poruszających się wokół Słońca. Orbity narysowano w postaci dwóch współśrodkowych okręgów o różnych promieniach. Większa orbita ma promień opisany małą literą r z indeksem dolnym jeden. Narysowano ją niebieską linią ciągłą. Mniejszą orbitę narysowano zieloną linią ciągłą. Jej promień opisano małą literą r z indeksem dolnym dwa. Na orbitach zaznaczono położenia planet poruszających się po nich. Planety narysowano w postaci małych błękitnych okręgów umieszczonych na końcach promieni orbit. Promień większej orbity narysowano w postaci niebieskiego odcinka, biegnącego od środka obu okręgów do zewnętrznego okręgu. Odcinek ten biegnie w lewo i nieco w górę. promień mniejszej orbity narysowano czarną linią biegnąca od środka orbity w prawo i nieco w górę, aż do krawędzi zielonej orbity. W środku orbit widoczna jest gwiazda centralna w postaci mniejszego żółtego okręgu. Planety poruszają się po orbitach w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, co zaznaczono łukami zakończonymi grotami strzałek obok położenia ciał. Planety poruszają się po orbitach w tym samym kierunku, ale okresy ich obiegów są różne. Okres obiegu planety na większej orbicie opisano wielką literą T z indeksem dolnym jeden. Okres obiegu planety na mniejszej orbicie opisano wielką literą T z indeksem dolnym dwa. — Schematyczne przedstawienie orbit dwóch planet wokół Słońca o różnych promieniach i okresach obiegu.
Źródło: Politechnika Warszawska, Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.

... i przedstawiła następujące rozumowanie:

Wiemy, że pod wpływem siły grawitacji Słońca każda z planet porusza się ze stałą prędkością polową. Nie ma więc znaczenia, czy obliczymy chwilową czy średnią prędkość polową – są one sobie równe.
Prędkość polowa to stosunek zakreślonego przez promień wodzący pola powierzchni do czasu, w jakim zostało ono zakreślone. Przyjmijmy więc, że czas ten, to okres obiegu planety wokół Słońca T. Zakreślona w tym czasie powierzchnia to pole koła ograniczonego orbitą, równe pi·rIndeks górny 2, gdzie r to promień kołowej orbity. Prędkość polowa każdej z planet wyraża się więc jako $\frac{{πr}^{2}}{T} .$
Porównajmy wyrażenia na prędkości polowe każdej z planet i zadajmy pytanie, czy może zachodzić równość:

\frac{{πr}_{1}^{2}}{T_{1}} = \frac{{πr}_{2}^{2}}{T_{2}}

(?)

Tak, może. Niezależnie od relacji pomiędzy promieniami orbit rIndeks dolny 1 > rIndeks dolny 2, można tak dobrać okresy obiegu, by spełniały podobną nierówność: TIndeks dolny 1 > TIndeks dolny 2. Wtedy okaże się, że prędkości polowe planet mogą być jednakowe.
Nieco zwiększając lub zmniejszając jedną z dobranych w punkcie 4. wartości można także spowodować, że prędkość polowa jednej z planet będzie nieco mniejsza lub nieco większa od drugiej.

Wciel się w rolę ich nauczyciela i wskaż punkt, w którym rozumowanie koleżanki jest niewłaściwe. Podaj prawidłową jego wersję i doprowadź do końca rozpoczęte rozumowanie. Porównaj swoje myśli z odpowiedzią wzorcową.

Pierwsze trzy punkty rozumowania są dobre. Pytanie postawione w punkcie 3. jest naukowo uzasadnione. Jednak udzielona w punkcie 4. odpowiedź jest błędna. Zakłada ona bowiem, że promień orbity i okres obiegu mogą być dowolnie dobierane. Tymczasem III prawo Keplera podaje obowiązkowy związek pomiędzy tymi wielkościami:

$\frac{r^{3}}{T^{2}} = \frac{G M}{4 π^{2}} .$

Wynika z niego, że jednakowy dla obu planet musi być iloraz trzeciej potęgi promienia i kwadratu okresu obiegu, nie zaś, jak przedstawiono w rozumowaniu, iloraz kwadratu promienia i okresu obiegu. Obu tych warunków pogodzić się nie da. Świadczy o tym następujące rozumowanie.

Zgodnie z III prawem Keplera parametry rIndeks dolny 1 i TIndeks dolny 1 oraz rIndeks dolny 2 i TIndeks dolny 2 Indeks dolny koniecmuszą spełniać związek:

$\frac{r_{1}^{3}}{T_{1}^{2}} = \frac{r_{2}^{3}}{T_{2}^{2}} .$

Spróbujmy wyodrębnić po obu stronach tego równania prędkość polową, podniesioną do kwadratu. Pomnóżmy obie strony przez piIndeks górny 2 i zauważmy, że w mianowniku po obu stronach pojawia się promień orbity:

$\frac{r_{1}^{3}}{T_{1}^{2}} = \frac{r_{2}^{3}}{T_{2}^{2}} \Leftrightarrow \frac{π^{2} r_{1}^{4}}{T_{1}^{2}} \frac{1}{r_{1}} = \frac{π^{2} r_{2}^{4}}{T_{2}^{2}} \frac{1}{r_{2}} .$

Oznaczmy, dla lepszej czytelności, prędkość polową symbolem VIndeks dolny S:

$\frac{r_{1}^{3}}{T_{1}^{2}} = \frac{r_{2}^{3}}{T_{2}^{2}} \Leftrightarrow \frac{π^{2} r_{1}^{4}}{T_{1}^{2}} \frac{1}{r_{1}} = \frac{π^{2} r_{2}^{4}}{T_{2}^{2}} \frac{1}{r_{2}} \Leftrightarrow V_{S 1}^{2} \frac{1}{r_{1}} = V_{S 2}^{2} \frac{1}{r_{2}} .$

Widzimy, że III prawo Keplera przewiduje, że iloraz kwadratu prędkości polowej i promienia orbity jest taki sam dla dwóch różnych planet. A zatem jednakowe prędkości polowe mogą mieć tylko planety krążące po orbitach o jednakowych promieniach.

Punkt 5. moglibyśmy zastąpić następującym stwierdzeniem: im większy promień orbity, tym większa jest prędkość polowa planety.

Polecenie 3

Koleżanka i kolega (z poprzednich dwóch poleceń) przyjęli podaną przez nauczyciela argumentację. Zwrócili jednak uwagę, że dotyczy ona orbit kołowych. Jak zaś jest z orbitami eliptycznymi? Czy prędkości polowe planet krążących po różnych elipsach wokół Słońca muszą być różne?

Obejrzyj film samouczek, które przedstawia analizę tego problemu.

R1XHf2A7hl3w7

Źródło: Politechnika Warszawska, Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.

Zgodnie ze wskazówką zapiszmy dla orbity niebieskiej:

$V_s=\frac{b\sqrt{GM}}{2\sqrt{a}}.$

Dla orbity zielonej zapiszmy:

$V_s'=\frac{b'\sqrt{GM}}{2\sqrt{a'}}.$

Równość obu prędkości polowych wymaga, by:

$\frac{b\sqrt{GM}}{2\sqrt{a}}=\frac{b'\sqrt{GM}}{2\sqrt{a'}},$

czyli:

$\frac{b}{\sqrt{a}}=\frac{b'}{\sqrt{a'}}.$

Po przekształceniu powyższego otrzymujemy warunek:

$\sqrt{\frac{a'}{a}}=\frac{b'}{b}.$

Oznacza on, że jeśli zwiększymy n‑krotnie długą półoś orbity i jednocześnie zwiększymy (pierwiastek z n)-krotnie jej krótką półoś, to dostaniemy większą orbitę (zakładamy n > 1), na której prędkość polowa planety będzie miała tę samą wartość, co na orbicie wyjściowej.

Przeczytaj

Sprawdź się

Czy w jednym układzie planetarnym prędkości polowe różnych planet mogą być jednakowe?