Przeczytaj

Warto przeczytać

Johannes Keplera był znakomitym uczonym. Podobnie jak wielu astronomów i filozofów przed nim, Kepler przekonany był o doskonałej harmonii przyrody, której przejawów szukał w związkach liczbowych między wielkościami opisującymi ruch planet. Wnikliwa analiza wieloletnich obserwacji zebranych przez Tychona Brahe sprawiła, że Kepler znalazł kilka prawidłowości w ruchu planet. Analizował m. in. zmiany szybkości w ruchu planety po elipsie. Zauważył, że im bliżej Słońca znajduje się planeta, tym szybciej się porusza.

Prędkość polowa

Kepler wprowadził pojęcie prędkości polowej i za jej pomocą sformułował swoje drugie prawo. Punktem wyjścia do zdefiniowania prędkości polowej jest wektor wodzący $\vec{r}$ , zaczepiony w Słońcu i wskazujący chwilowe położenie planety na orbicie (Rys. 1a.).

RcGI8kosUkcuo

Rys. 1a. Schematyczny rysunek przedstawia poziomą elipsę narysowaną czarną linią. Długą oś elipsy narysowano w postaci poziomego odcinka. Na długiej osi elipsy zaznaczono dwa ogniska. Ognisko po prawej stronie oznaczono wielką literą O z indeksem dolnym jeden. Ognisko po lewej stronie oznaczono wielką literą O z indeksem dolnym dwa. W położeniu ogniska po prawej stronie narysowano żółtą małą kulę. Symbolizuje ona gwiazdą centralną, wokół której porusza się planeta po eliptycznej orbicie. W górnej prawej części ilustracji na orbicie zaznaczono położenie planety małą, niebieską kulką i opisano wielką literą A z indeksem dolnym jeden. Od ogniska oznaczonego wielką literą O z indeksem dolnym jeden, do położenia planety narysowano czarną strzałkę. Grot strzałki skierowany jest ku planecie. Strzałka symbolizuje odległość pomiędzy ogniskiem, w którym znajduje się gwiazda centralna a planetą. Odległość tę opisaną małą literą r z indeksem dolnym jeden i strzałką oznaczającą wektor. — Rys. 1a. Planeta w umownej początkowej chwili $t_{1}$ zajmuje położenie $A_{1}$ na eliptycznej orbicie wokół Słońca, znajdującego się w jednym z dwóch ognisk elipsy. Promień wodzący ${\vec{r}}_{1}$ łączy Słońce z planetą, wskazując jej położenie w chwili $t_{1}$ .

Prędkość polową można sobie wyobrażać jako tempo zakreślania czy zaznaczania powierzchni przez wybraną linię. W ruchu planety tą linią jest wektor wodzącyWektor wodzącywektor wodzący, który śledząc planetę obraca się i zakreśla coraz większą powierzchnię wycinka elipsy (Rys. 1b.).

RPMg6STYrnzrq

Rys. 1b. Schematyczny rysunek przedstawia poziomą elipsę narysowaną czarną linią. Długą oś elipsy narysowano w postaci poziomego odcinka, na którym zaznaczono dwa ogniska. Ognisko po prawej stronie oznaczono wielką literą O z indeksem dolnym jeden. Ognisko po lewej stronie oznaczono wielką literą O z indeksem dolnym dwa. W położeniu ogniska po prawej stronie narysowano żółtą małą kulę symbolizującą gwiazdę centralną, wokół której porusza się planeta po eliptycznej orbicie. W górnej prawej części rysunku na orbicie zaznaczono dwa położenia planety. Położenia planety zaznaczono małymi, niebieskimi kulkami. Jedno z położeń bardziej po prawej stronie oznaczono wielką literą A z indeksem dolnym jeden, a drugie bardziej po lewej wielką literą A z indeksem dolnym dwa. Od ogniska oznaczonego wielką literą O z indeksem dolnym jeden poprowadzono dwie czarne strzałki wskazujące na położenia planety opisane wielką literą A z indeksem dolnym jeden i wielką literą A z indeksem dolnym dwa. Symbolizują one odległości pomiędzy gwiazdą centralną a położeniami planety. Groty strzałek skierowane są ku położeniom planety. Odległość do położenia wielka litera A z indeksem dolnym jeden oznaczono małą literą r z indeksem dolnym jeden i strzałką oznaczającą wektor. Odległość do położenia wielka litera A z indeksem dolnym dwa opisano małą literą r z indeksem dolnym dwa i strzałką oznaczającą wektor. Pole pomiędzy promieniami zamalowano na niebiesko. Oznaczono je wielką grecką literą delta i wielką literą S. — Rys. 1b. Planeta w późniejszej chwili $t_{2}$ znajduje się w położeniu $A_{2}$ na swej orbicie. Jej położenie jest teraz wskazywane przez promień wodzący ${\vec{r}}_{2}$ . W czasie $Δ t$ promień wodzący zakreślił figurę, przypominającą trójkąt, o powierzchni $Δ S$ . Prędkość polowa planety $v_{s}$ to iloraz $\frac{Δ S}{Δ t}$ .

Należy więc wskazać dwa umowne położenia planety - początkowe w chwili $t_{1}$ i końcowe w chwili $t_{2}$ . Po obliczeniu zakreślonej powierzchni $\Delta S$ należy podzielić ją przez czas $\Delta t$ , równy $t_{2}-t_{1}$ :

$v_s=\frac{\Delta S}{\Delta t}.$

Jest to średnia wartość prędkości polowej na odcinku od $A_{1}$ do $A_{2}$ . Chwilową wartość prędkości polowej uzyskamy, gdy czas deltat będzie możliwie krótki, to znaczy kiedy będzie dążył do zera. Punkt $A_{2}$ będzie zbliżał się do $A_{1}$ , wektor wodzący ${\vec{r}}_{2}$ będzie dążył do ${\vec{r}}_{1}$ – którykolwiek z nich niech będzie wektorem $\vec{r}$ opisującym chwilowe położenie planety. Powierzchnia $\Delta S$ także będzie dążyła do zera, ale iloraz $\frac{\Delta S}{\Delta t}$ będzie dążył do chwilowej wartości $v_{s}$ :

$v_s=\frac{\Delta S}{\Delta t}=\frac{1}{2}rv\sin\alpha.$

W powyższym wzorze (Rys. 1c.) $r$ to długość chwilowego wektora wodzącego, $v$ to wartość wektora chwilowej prędkości liniowej planety, $\alpha$ to miara chwilowego kąta pomiędzy wektorem wodzącym a wektorem prędkości. Wyprowadzenie tego wyrażenia znajdziesz w słowniczku pod hasłem prędkość polowaPrędkość polowaprędkość polowa.

RPLLST6xHdpFH

Rys. 1c. Schematyczny rysunek przedstawia poziomą elipsę narysowaną czarną linią. Długą oś elipsy pokazano w postaci poziomego odcinka i zaznaczono na niej dwa ogniska. Ognisko po prawej stronie oznaczono wielką literą O z indeksem dolnym jeden. Ognisko po lewej stronie oznaczono wielką literą O z indeksem dolnym dwa. W położeniu ogniska po prawej stronie narysowano żółtą małą kulę symbolizującą gwiazdę centralną, wokół której porusza się planeta po eliptycznej orbicie. W górnej prawej części rysunku na orbicie zaznaczono położenie planety małą, niebieską kulką. Opisano je wielką literą A z indeksem dolnym jeden. Od ogniska oznaczonego wielką literą O z indeksem dolnym jeden, do położenia planety narysowano czarną strzałkę. Grot strzałki skierowany jest ku planecie. Strzałka symbolizuje odległość pomiędzy ogniskiem, w którym znajduje się gwiazda centralna a planetą. Odległość tę opisano małą literą r z indeksem dolnym jeden i strzałką oznaczającą wektor. Z punktu wielka litera A z indeksem dolnym jeden wychodzi zielona strzałka skierowana w lewo i nieco w górę. Przedłużenie wektora mała litera r z indeksem dolnym jeden i strzałką oznaczającą wektor narysowano czarną linią. Pomiędzy zieloną strzałką i przedłużeniem wektora mała litera r z indeksem dolnym jeden i strzałką oznaczającą wektor zaznaczono kąt mała grecka litera alfa. Zielona strzałka jest styczna do elipsy. Symbolizuje wektor prędkości liniowej planety poruszającej się po eliptycznej orbicie wokół gwiazdy centralnej. Oznaczono ją małą literą v ze strzałką oznaczającą wektor. — Rys. 1c. Planeta w dowolnym położeniu A na orbicie, wskazywanym przez promień wodzący $\vec{r}$ . Jej chwilowa prędkość liniowa w tym punkcie jest opisana wektorem $\vec{v}$ . Kąt $α$ pomiędzy tymi wektorami na ogół nie jest prosty, co wynika z eliptycznego kształtu orbity.

Drugie prawo Keplera

Na podstawie analizy zmian prędkości planety oraz jej odległości od Słońca, Kepler podał empiryczne prawo:

Promień wodzący, poprowadzony od Słońca do planety, w równych odstępach czasu zakreśla równe pola.

Oznacza to, że prędkość polowa planety jest stała, że ma jednakową wartość w każdym punkcie orbity oraz że nie ma potrzeby rozróżniania pomiędzy chwilową a średnią wartością prędkości polowej planety.

Ciekawostka

Obecnie nie stosujemy w astronomii prędkości polowej ani zasady jej stałości do opisu ruchu planet. Nie ma ona nawet ogólnie przyjętego oznaczenia. Stosujemy w to miejsce pojęcie momentu pędu planety oraz zasadę jego zachowania.

Kepler swoje prawa opierał na obserwacjach. Fundamentalne zasady rządzące ruchami ciał zostały odkryte ponad pół wieku później przez Newtona. Obecnie wiemy, że II prawo Keplera jest związane z ogólniejszą zasadą zachowania momentu pędu. Aby się o tym przekonać, przypomnimy tę zasadę w odniesieniu do ruchu punktu materialnego.

Moment pędu punktu materialnego

Wektor pędu $\vec{p}$ ciała zawsze ma ten sam kierunek i zwrot co jego prędkość $\vec{v}$ . Moment pędu $\vec{L}$ jest wielkością określoną przez iloczyn wektorowy pędu oraz promienia wodzącego $\vec{r}$ zaczepionego w wybranym punkcie (Rys. 2.):

\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = \vec{r} \times (m \vec{v}) .

RFTpSM9GNmhWO

Rys. 2. Schematyczny rysunek przedstawia ruch ciała po okręgu. Tor po którym porusza się ciało o masie opisanej małą literą m narysowano w postaci okręgu w płaszczyźnie poziomej. Promień okręgu opisano małą literą r i narysowano w postaci czarnej strzałki biegnącej od środka okręgu do jego krawędzi. Strzałka skierowana jest w dół i w prawo. Na końcu wektora opisanego małą literą r narysowano ciało w postaci czarnego punktu. Masę ciała opisano małą literą m. Przedłużenie promienia okręgu narysowano czarną przerywaną linią wychodzącą poza okrąg symbolizujący tor ciała. Z punktu symbolizującego ciało wyprowadzono wektor jego pędu w postaci czarnej strzałki skierowanej w prawo i nieco w górę. Wektor pędu opisany małą literą p jest styczny do toru ciała. Pomiędzy wektorem pędu i przedłużeniem promienia okręgu zaznaczono kąt łukiem linią przerywaną. Ze środka okręgu poprowadzono czerwoną strzałkę skierowaną pionowo w górę. Strzałka ta symbolizuje moment pędu. Moment pędu opisany jest wielką literą L. Nad strzałką symbolizującą moment pędu zaznaczono kierunek, w którym porusza się ciało. Kierunek narysowano linią przerywaną w postaci okręgu. Kierunek, w którym ciało porusza się po okręgu, jest przeciwny do ruchu wskazówek zegara. Pod okręgiem symbolizującym kierunek ruchu ciała podpisano prędkość kątową, mała grecka litera omega. — Rys. 2. Ruch ciała o masie m po płaskiej krzywej. Oś obrotu zaznaczono na czerwono; pokrywa się ona z wektorem momentu pędu $\vec{L}$ . Jako punkt zaczepienia wektora położenia $\vec{r}$ przyjęto przecięcie osi obrotu z płaszczyzną krzywej

Jeżeli mamy do czynienia z ruchem po okręgu, to wektory pędu i promienia wodzącego są zawsze ustawione pod kątem prostym, a co za tym idzie, sinus kąta $\alpha$ pomiędzy tymi wektorami jest zawsze równy 1 (kąt $\alpha$ wynosi 90°). W takim przypadku możemy zapisać, że wartość momentu pędu jest równa iloczynowi wartości promienia i pędu ciała.

Jeżeli jednak mamy do czynienia z krzywą inną niż okrąg, wartość momentu pędu wynosi:

$L=pr\sin(\alpha),$

gdzie $p$ jest iloczynem masy i prędkości liniowej ciała, więc

$L=mvr\sin(\alpha).$

Wartości wszystkich trzech wielkości: $\vec{r}$ , $\vec{p}$ oraz $\alpha$ są zmienne w czasie. Pomijając ruch obiegowy Słońca wokół wspólnego środka masy układu, taka właśnie jest wartość momentu pędu układu Słońce‑planeta, gdy traktujemy je jak punkty materialne.

Porównajmy teraz wyrażenia (1) oraz (2). Prawe ich strony są bardzo do siebie podobne. Wynika z tego związek pomiędzy wartością momentu pędu $L$ a prędkością polową planety $v_{s}$ :

$L=2mv_s.$

Stałość wartości momentu pędu planety jest równoważna stałości jej prędkości polowej, przy założeniu, że stała jest także masa planety.

Zasada zachowania momentu pędu punktu materialnego a prawo powszechnego ciążenia

Zasada ta mówi o tym, że moment pędu punktu materialnego jest stały, jeśli nie działają na niego zewnętrzne momenty sił lub ich suma jest równa zeru.

W celu sprawdzenia więc, czy moment pędu punktu materialnego nie ulega zmianie, musimy sprawdzić, jak zachowuje się wypadkowy moment siły $\vec{M}$ , ponieważ:

\vec{M} = \frac{Δ \vec{L}}{Δ t} .

Jeżeli wypadkowy moment zewnętrznych sił działających na ciało jest równy zero, to również zmiana momentu pędu tego ciała będzie równa zeru. W takiej sytuacji jego moment pędu będzie zachowany: stała będzie jego wartość ( $L$ = const), a także jego kierunek i zwrot.

W układzie Słońce – planeta (pomijamy oddziaływanie pozostałych planet) jedyną siłą działającą na planetę jest siła grawitacji Słońca. Jest ona siłą centralną – kierunek jej działania pokrywa się z kierunkiem wektora wodzącego łączącego Słońce z planetą (Rys. 3.).

RkFaXA3ZkTh3E

Rys. 3. Schematyczny rysunek przedstawia poziomą elipsę narysowaną czarną linią. Długą oś elipsy narysowano w postaci poziomego odcinka i zaznaczono na niej dwa ogniska. Ognisko po prawej stronie oznaczono wielką literą O z indeksem dolnym jeden. Ognisko po lewej stronie oznaczono wielką literą O z indeksem dolnym dwa. W położeniu ogniska po prawej stronie narysowano żółtą kulę symbolizującą gwiazdę centralną, wokół której porusza się planeta po eliptycznej orbicie. W górnej prawej części rysunku na orbicie zaznaczono położenie planety. Położenie planety zaznaczono małą niebieską kulką. Oznaczono ją wielką literą A z indeksem dolnym jeden. Od ogniska oznaczonego wielką literą O z indeksem dolnym jeden, do położenia planety narysowano czarną strzałkę. Grot strzałki skierowany jest ku planecie. Strzałka symbolizuje odległość pomiędzy ogniskiem, w którym znajduje się gwiazda centralna a planetą. Odległość tę opisano małą literą r z indeksem dolnym jeden. Z punktu wielka litera A wychodzi zielona strzałka skierowana w lewo i nieco w górę. Zielona strzałka jest styczna do elipsy. Symbolizuje wektor prędkości liniowej planety poruszającej się po eliptycznej orbicie wokół gwiazdy centralnej. Oznaczono ją małą literą v. Z położenia ciała wychodzi czerwona strzałka, skierowana ku gwieździe. Czerwona strzałka symbolizuje siłę grawitacji wielka litera F z indeksem dolnym wielka litera G. Wektor, mała litera r i wektor siły grawitacji mają przeciwne zwroty. Kąt pomiędzy tymi wektorami jest półpełny. Oznaczono go wielką grecką literą fi. — Rys. 3. Siła grawitacji ${\vec{F}}_{G}$ jest siłą centralną: jej kierunek pokrywa się z kierunkiem wektora wodzącego $\vec{r}$ . Wektory te mają przeciwne zwroty, dlatego kąt $φ$ pomiędzy nimi jest kątem półpełnym.

Moment tej siły względem osi obrotu planety w ruchu orbitalnym to iloczyn wektorowy promienia wodzącego planety $\vec{r}$ i wektora siły grawitacji ${\vec{F}}_{G}$ :

\vec{M} = \vec{r} \times {\vec{F}}_{G} .

Wartość iloczynu wektorowego równa jest iloczynowi wartości wektorów i sinusa kąta między nimi:

$M=rF_G\sin\Phi,$

gdzie kąt $\Phi$ między wektorami $\vec{r}$ i ${\vec{F}}_{G}$ równy jest 180°, ponieważ wektory te mają ten sam kierunek lecz przeciwny zwrot. Tak więc jego sinus jest równy zero, co powoduje, że moment siły grawitacji $\vec{M}$ także wynosi zero.

Z powyższej analizy momentów siły i pędu wynika, że w układach planetarnych moment pędu każdej planety oddzielnie jest zachowany. Pamiętajmy jednak, że uwzględniliśmy wyłącznie oddziaływanie każdej z nich ze Słońcem, a pominęliśmy wzajemne oddziaływania pomiędzy nimi.

Podsumowanie

Wykazaliśmy, że stałość momentu pędu planety jest równoważna stałości jej prędkości polowej w ruchu orbitalnym wokół Słońca, co stanowi treść II prawa Keplera. Wykazaliśmy także, że stałość momentu pędu planety jest równoważna jednej z właściwości siły grawitacji – jej centralnemu charakterowi.

Możemy przypuszczać, że Newton przeszedł drogę „od stałości prędkości polowej przez stałość momentu pędu planety do centralnego charakteru siły grawitacji”. Uogólnił on w ten sposób empiryczne II prawo Keplera i określił na tej podstawie jedną z cech siły grawitacji. Cecha ta – działanie wzdłuż linii łączącej dwa ciała – bywa uważana dziś za oczywistą. Tak oczywistą, że zapominamy, iż sformułowanie jej wymagało podobnego wysiłku intelektualnego, jak określenie jej zależności od odległości czy od mas oddziałujących ciał.

Słowniczek

Wektor wodzący

(ang. position vector, location vector, radius vector) także: promień wodzący. Wektor zaczepiony w początku układu współrzędnych. Koniec wektora wodzącego wskazuje położeniu punktu materialnego, którego ruch jest opisywany.

Prędkość polowa

(ang. areal velocity; sector velocity) – tempo, w którym zmienia się pole powierzchni figury ograniczonej torem ruchu ciała, początkowym jego wektorem wodzącym oraz wektorem wodzącym w chwili późniejszej o $\Delta t$ .

Średnia wartość prędkości polowej jest ilorazem przyrostu powierzchni $\Delta S$ i czasu $\Delta t$ , w którym ten przyrost nastąpił:

$v_{S( średnie)}=\frac{\Delta S}{\Delta t}$

W przypadku ruchu planet po eliptycznych orbitach wokół Słońca prędkość polowa jest stała. Oznacza to, że jej średnia wartość jest równa chwilowej. Tę ostatnią można powiązać z chwilowym wektorem wodzącym planety $\vec{r}$ i chwilową jej prędkością $\vec{v}$ .

Weźmy pod uwagę mały odstęp czasu $\Delta t$ . Im mniejszy odstęp czasu tym bardziej łuk $\Delta s$ zbliża się do odcinka AA’, natomiast wycinek elipsy ograniczony punktami OIndeks dolny 1AA’ do trójkąta. Dzięki takiemu przybliżeniu kąt OIndeks dolny 1AA’ zbliża się do kąta $\alpha$ .

Rysunek przedstawia elipsę z dwoma ogniskami OIndeks dolny 1 i OIndeks dolny 2. W ognisku OIndeks dolny 1 znajduje się Słońce, a na orbicie krąży ciało o masie $m$ (niebieska kropka). Zaznaczono pole powierzchni $\Delta S$ , które zakreślił promień wodzący w czasie $\Delta t$ . Łuk – fragment elipsy – zakreślony w tym czasie oznaczono jako $\Delta s$ . Punkt A orbity jest punktem początkowym (w czasie $t$ = 0), natomiast punkt A’ jest położeniem ciała na orbicie po upływie czasu $\Delta t$ .

R17NyykilCGI3

Schematyczny rysunek przedstawia orbitę, po której planeta porusza się wokół gwiazdy centralnej. Orbitę narysowano w postaci poziomej elipsy. Wewnątrz orbity zaznaczono położenie dwóch ognisk. Ognisko po lewej stronie oznaczono wielką literą O z indeksem dolnym jeden. Prawe ognisko oznaczono wielką literą O z indeksem dolnym dwa. W lewym ognisku narysowano gwiazdę centralną w postaci żółtej kulki. Na orbicie zaznaczono dwa położenia planety. Pierwszy z nich znajduje się w dolnej części orbity po lewej stronie. Położenie planety oznaczono małą, niebieską kulką. To położenie planety oznaczono wielką literą A prim. Odległość pomiędzy gwiazdą a położeniem planety wielka litera A prim opisano wektorem mała litera r z indeksem dolnym jeden. Odległość tę narysowano w postaci czarnej strzałki skierowanej od gwiazdy ku położeniu planety. Drugie położenie planety widoczne jest w dolnej części orbity, bardziej po prawej stronie. Planetę również narysowano w postaci małej, niebieskiej kulki. Położenie to opisano wielką literą A. Odległość pomiędzy gwiazdą centralną a położeniem planety wielka litera A opisano wektorem mała litera r z indeksem dolnym dwa. Odległość tę również narysowano w postaci czarnej strzałki skierowanej od gwiazdy centralnej ku położeniu planety. Pole wewnątrz elipsy pomiędzy wektorami położenia planety zamalowano na niebiesko i oznaczono wielką grecką literą delta i wielką literą S. Z położenia planety wielka litera A poprowadzono czerwoną strzałkę, styczną do toru planety i skierowaną w lewo i nieco w dół. Strzałka ta oznacza wektor prędkości wielka litera V. Jest to prędkość liniowa planety w ruchu po eliptycznej orbicie wokół gwiazdy centralnej. Kąt pomiędzy przedłużeniem promienia mała litera r z indeksem dolnym dwa i strzałką oznaczającą wektor a przedłużeniem w prawą stronę wektora prędkości opisano małą grecką literą alfa.

Tak więc w bardzo krótkich odstępach czasu pole powierzchni $\Delta S$ można przedstawić w postaci:

$\Delta S=\frac{1}{2}r\Delta s\sin(\alpha),$

czyli wzorem na pole trójkąta.

Ponadto długość łuku $\Delta s=AA\text{’}=v\Delta t$ , ponieważ to droga przebyta przez ciało w krótkim czasie $\Delta t$ z praktycznie stałą prędkością $v$ . Przedstawiając pole powierzchni zakreślone przez promień wodzący w czasie $\Delta t$ przy pomocy powyższych zależności otrzymujemy:

$v_{S\left(chwilowe\right)}=\frac{\Delta S}{\Delta t}=\frac{1}{2}r\frac{\Delta s}{\Delta t}\sin(\alpha)=\frac{1}{2}rv\sin(\alpha).$

Wprowadzenie

Film samouczek

Warto przeczytać

Słowniczek