Film samouczek
Zasady dynamiki w zadaniach
Obejrzyj film pokazujący rozwiązanie przykładowego zadania z dynamiki.
Zapoznaj się z filmem pokazującym rozwiązanie przykładowego zadania z dynamiki.
Film dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DU4BKQjp
Czy da się z góry przewidzieć, nie dysponując żadnymi danymi liczbowymi, jaką nierówność spełniają prędkości graniczne zanurzania i wynurzania, oznaczone i ? Czy mogą być sobie równe?
Jakie założenie dotyczące siły oporu zostało w filmiku uczynione milcząco? Czy da się je jakoś obronić?
Ilościowo rzecz biorąc, ruch, który opisywaliśmy powyżej, przypomina nieco rozpad promieniotwórczy (co nie znaczy, że należy doszukiwać się analogii między dyskretną zmienną N opisującą liczebność próbki promieniotwórczej czy usiłować nad nią pisać symbol wektora - podobieństwo widać w zależności od czasu). Równanie ruchu Ali w wodzie (np. w wersji bez złota, podczas ruchu od dna w górę) ma postać
przy czym trzeba pamiętać, że siła oporu zawiera wyraz proporcjonalny do prędkości chwilowej. Jeśli przypomnimy sobie, że przyspieszenie to zmiana prędkości w czasie, a pierwsze dwa wyrazy po lewej stronie powyższego równania są stałe, możemy sprowadzić to równanie do postaci bardzo podobnej do równania opisującego liczebność próbki promieniotwórczej. Mówi ono, że aktywność próbki, czyli liczba rozpadów w jednostce czasu, jest proporcjonalna do aktualnej liczebności tej próbki, co zapisuje się jako . Nasz ruch jest jednowymiarowy, wybierzmy więc oś Oy skierowaną pionowo do góry i zrezygnujmy z wektorów. Równanie ruchu zrzutowane na Oy ma postać
Skoro wyraz wynikający z sił ciążenia i wyporu jest stały, można go łatwo „wciągnąć” po prawej stronie pod operację liczącą zmianę w czasie - zmiana stałej to przecież zero; dostajemy wtedy
Jeśli sobie przypomnimy, że to obliczona wcześniej (z warunku zerowej siły wypadkowej) prędkość graniczna , to zobaczymy, że różnica między prędkością chwilową a graniczną spełnia równanie analogiczne do równania opisującego rozpad promieniotwórczy:
Rolę pełni tu , rolę iloraz . Wobec tego maleje wykładniczo w czasie. Rozwiązaniem tego równania jest
Okazuje się, że dla funkcja ta jest dobrze przybliżana przez , co odpowiada ruchowi jednostajnie przyspieszonemu. Da się to prosto wyjaśnić faktem, że przy warunku początkowym prędkości dla są na tyle małe, że w równaniu Newtona można pominąć wkład od oporów ruchu. W teorii osiągana jest po nieskończonym czasie. Poniżej zamieszczamy wykres tej zależności:
