Warto przeczytać

Wielokrotnie spotykamy się z sytuacją, w której pomimo tego, że posiadamy wiedzę teoretyczną dotyczącą pewnego zjawiska, to rozwiązanie konkretnego zadania obliczeniowego przysparza nam wiele trudności. DynamikadynamikaDynamika, jako dział fizyki, nie stanowi w tym wypadku wyjątku. Wprowadzimy teraz schemat rozwiązania zadań, który pozwoli skutecznie, krok po kroku, rozwikłać nawet złożone zagadnienie z dziedziny dynamiki. Schemat taki wygląda następująco:

R7Z5dcIUIOjsr

Rys. 1. Ilustracja przedstawia schemat postępowania, który prowadzi do rozwiązania zadań z zakresu wykorzystania zasad dynamiki. Schemat narysowano w postaci kolorowych prostokątów, jeden pod drugim, w których zapisano kolejne czynności. Pierwsze dwa prostokąty od góry są zielone i podpisane, jako część przygotowawcza. W pierwszym od góry prostokącie, zapisano informację: Dane, myślnik, wypisujemy wszystkie istotne informacje zawarte w treści zadania. W drugim od góry prostokącie przyporządkowanym do części przygotowawczej widnieje treść: Szukane, myślnik, definiujemy wielkość lub parametr, którego wyznaczenie jest rozwiązaniem zadania. Cześć przygotowawcza ma na celu określenie celu naszego działania i zdefiniowanie wszystkich informacji, które mogą zostać wykorzystane. Trzeci od góry prostokąt jest pomarańczowy i podpisany jako część pomocnicza. W prostokącie tym widnieje tekst: Rysunek zadania, myślnik, wykonujemy rysunek obrazujący przedstawiona sytuacje, na którym zaznaczamy: wszystkie siły występujące w układzie oraz wszystkie znane parametry ciała i ruchu na przykład masy, prędkości, przyspieszenia. Wykonanie rysunku pomocniczego jest bardzo ważne, ponieważ pozwala na zwizualizowanie zagadnienia, które rozpatrujemy. Kolejne trzy prostokąty są czerwone i podpisane, jako rozwiązanie zadania. W tej części dokonujemy analizy rozpatrywanego zagadnienia oraz wszelkie konieczne obliczenia rachunkowe. W pierwszym od góry, czerwonym prostokącie widnieje informacja teks: siłą wypadkowa, myślnik, wyznaczamy wartość siły wypadkowej, na podstawie sił, które występują w analizowanym przypadku. W drugim od góry, czerwonym prostokącie widoczny jest tekst: Zasady dynamiki, myślnik, identyfikujemy zasadę lub zasady dynamiki, które spełnione są w analizowanym przypadku, a wyboru dokonujemy na podstawie wyznaczonej wcześniej wartości siły wypadkowej. W trzecim od góry, czerwonym prostokącie, widnieje tekst: Wyznaczenie szukanej wielkości parametru, myślnik, obliczeń dokonujemy w oparciu o informacje, takie jak wartość siły wypadkowej i zdefiniowana zasada dynamiki. Najniższy prostokąt w schemacie jest niebieski i podpisany, jako część podsumowująca. Widnieje w nim tekst: odpowiedź, myślnik, formułujemy odpowiedź, jeśli to możliwe, odpowiedź powinna zostać podana w formie pełnego zdania. Analizowany, czy otrzymany ma odniesienie do realnych wartość. Część podsumowująca ma na celu zakończenie analizy zadania w formie podania konkretnego wyniku.

Zaprezentowany schemat rozwiązania podzielony został na cztery części. Wykonanie każdej z nich wymaga zakończenia części poprzedzającej. Wykorzystajmy zatem zaproponowany schemat w praktyce, rozwiązując kilka przykładów. Poziom trudności zadań będzie stopniowo zwiększany, aby pokazać uniwersalność tej metody.

Przykład 1.

Po poziomej, ośnieżonej drodze, porusza się renifer o masie $M_R=150\text{kg}$, ciągnąc sanie o masie $M=100\mathrm{k}\mathrm{g}$, ze stałą prędkością $v=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}.$ Na saniach siedzi Mikołaj o masie $M_M=90\text{kg}$. Współczynnik tarcia kinetycznego pomiędzy płozami sań a śniegiem jest równy $f_{\mathrm{\text{dyn}}}=0,1$. Wyznacz wartość siły F $,$ z jaką renifer ciągnie sanie.

1. Dane:

$M_R=150\text{kg}$

$M=100\mathrm{k}\mathrm{g}$

$M_M=90\text{kg}$

$v=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}.$

$f_{\mathrm{\text{dyn}}}=0,1$

2. Szukane:

$F=?$

Rozwiązanie:

3. Rysunek pomocniczy

   R1HILQJIyIodn

   Rys. 2. Ilustracja przedstawia rysunek, na którym przedstawiono schematycznie siły działające na Mikołaja, jadącego na saniach, które są ciągnięte przez renifera. Na ilustracji widoczna jest płaska i pozioma powierzchnia, narysowana w postaci poziomej, czarnej linii. Na poziomej i czarnej powierzchni znajdują się sanie, na których siedzi Mikołaj i na których umieszczony jest worek z prezentami. Mikołaj, sanie oraz worek narysowane zostały w postaci czarnych kształtów. Masa Mikołaja podpisana została wielką literą M z indeksem dolnym mała litera m. Masa sań zdefiniowana została, jako wielka litera M. Sanie są ciągnięte przez renifera widocznego w postaci czarnego kształtu przypominającego zwierzę, po prawej stronie od sań. Masa renifera opisana została wielką literą M z indeksem dolnym mała litera r. Renifer ciągnie sanie ze stałą prędkością, mała litera v, w prawą stronę. Wektor prędkości, mała litera v, narysowany została w postaci zielonej, poziomej strzałki, skierowanej w prawo i przyłożonej do środka ciężkości renifera. Renifer, ciągnie sanie z siłą wielka litera F, której wektor widoczny jest w postaci niebieskiej, poziomej strzałki, skierowanej w prawo i przyłożonej do środka ciężkości sań. Na sanie działa siła tarcia dynamicznego, wielka litera T z indeksem dolnym małe litery dyn, której wektor widoczny jest w postaci czerwonej, poziomej strzałki, skierowanej w lewo i przyłożonej do lewej krawędzi płozy w saniach. Współczynnik tarcia dynamicznego opisano małą literą f.

   

4. Wyznaczamy wartość siły wypadkowej:

   $F_{\text{wyp}}=F-T_{\text{dyn}}.$

5. Z warunków zadania wiemy, że renifer wraz z ciągniętymi saniami porusza się ze stałą prędkością. W tej sytuacji możemy skorzystać z I. zasady dynamiki i wnioskować, że wartość siły wypadkowej jest równa $0$, a więc siła, z jaką działa na sanie renifer, jest co do wartości równa sile tarcia między saniami a podłożem:

6. Wyznaczenie wartości siły $F$, z jaką renifer ciągnie sanie, wymaga obliczenia wartości siły tarcia dynamicznego $T_{\mathrm{\text{dyn}}}$.

Siła ta wyznaczana jest ze wzoru:

gdzie $N$ jest siłą nacisku wywieraną na podłoże. Siła ta jest w tym przypadku równa sile grawitacji działającej na sanie z siedzącym na nich Mikołajem:

Wartość siły tarcia dynamicznego (równa poszukiwanej sile, z jaką renifer ciągnie sanie) wynosi więc

7. Odpowiedź: Poszukiwana siła $F=186\text{N}.$

W zaprezentowanym prostym przykładzie pokazaliśmy krok po kroku (od 1 do 7), jak osiągnęliśmy zamierzony cel, którym było wyznaczenie wartości siły $F$. Rozwiążmy teraz bardziej skomplikowaną wersję tego zadania - schemat postępowania pozostaje taki sam.

Przykład 2.

Renifer ciągnie sanie wraz z siedzącym na nich Mikołajem pod górkę nachyloną pod kątem $\alpha ={30}^{\circ }$ do kierunku poziomego. Ciągnąc sanie porusza się on ze stałą prędkością $v$, wykorzystując w tym celu siłę $F=2000\mathrm{N}$. Współczynnik tarcia dynamicznego pomiędzy saniami a śniegiem jest równy $f_{\mathrm{\text{dyn}}}=0,1$. Wyznacz sumę mas M: renifera, Mikołaja oraz sań.

1. Dane:

$\alpha ={30}^o$

$v=const$

$F=500N$

$f_{\mathrm{\text{dyn}}}=0,1$

2. Szukane:

$M=?$

Rozwiązanie:

3. Rysunek pomocniczy:

   RNcOfxKBd8KCP

   Rys. 3. Ilustracja przedstawia rysunek, na którym przedstawiono schematycznie siły działające na sanie, wciągane przez renifera po pochyłym zboczu góry. Na ilustracji widoczna jest góra w postaci trójkąta prostokątnego o pionowej i poziomej przyprostokątnej, i przeciwprostokątnej biegnącej od lewego i dolnego rogu ilustracji, do prawego i górnego rogu rysunku. Przeciwprostokątna symbolizuje zbocze góry. Na zboczy góry widoczne są czarne sanie z siedzącym na nich Mikołajem. Sanie ciągnięte są pod górę przez renifera widocznego w postaci czarnego kształtu symbolizującego zwierzę, po prawej stronie od sań. Sumaryczną masę Mikołaja, sań i renifera opisano wielką literą M. Renifer ciągnie sanie pod górę ze stałą prędkością, mała litera v, której wektor narysowano w postaci zielonej strzałki, skierowanej w górę i w prawo, wzdłuż zbocza, i przyłożonej do środka ciężkości renifera. Siła z jaką renifer ciągnie sanie opisano wielką literą F, której wektor narysowano w postaci niebieskiej strzałki przyłożonej do środka ciężkości sań, skierowanej w prawo i w górę, wzdłuż zbocza góry. Współczynnik tarcia dynamicznego pomiędzy płozami sań i zboczem góry opisano małą literą f. W postaci czarnej strzałki skierowanej w dół i nieco w prawo narysowano siłę nacisku wielka litera F z indeksem dolnym wielka litera N, Siłę nacisku przyłożono do środka ciężkości sań i Mikołaja. Na rysunku zaznaczono również siłę tarcia dynamicznego, wielka litera T z indeksem dolnym małymi literami dyn. Wektor tej siły narysowano w postaci czerwonej strzałki, skierowanej w lewo i w dół, wzdłuż zbocza góry i przyłożonej do lewego końca płóz.

   

4. Wyznaczamy wartość siły wypadkowej:

5. Z warunków zadanie wiemy, że renifer wraz z ciągniętymi saniami porusza się ze stałą prędkością. Znów korzystamy z I. zasady dynamiki, zatem wartość siły wypadkowej jest równa $0$.

6. Wyznaczenie masy $M$ wymaga zapisania sił tarcia dynamicznego oraz siły stycznej do zbocza górki w postaci zawierającej szukaną wielkość.

Siła ta wyznaczana jest ze wzoru:

gdzie $N$ jest siłą nacisku wywieraną na podłoże. Siła ta jest składową siły grawitacji. Wyznaczymy ją korzystając z funkcji trygonometrycznej cosinus

Zatem siła tarcia dynamicznego może zostać zapisana jako

Siła $F_s$ również jest składową siły grawitacji, przy czym składowa ta jest styczna do zbocza górki. Wyznaczymy ją korzystając z funkcji trygonometrycznej sinus.

Obie siły równania

znajdujące się po prawej stronie, zawierają szukaną masę, zatem przekształcając powyższy wzór do postaci

możemy obliczyć masę $M$

7. Odpowiedź: Suma mas renifera, Mikołaja oraz sań wynosi $M=347,5\text{kg}$.

Zauważmy, że pomimo zmiany warunków zadania oraz wprowadzenia dodatkowego stopnia trudności w postaci nachylonego zbocza, sposób postępowania pozostaje ten sam.

Przeanalizujmy kolejny przykład.

Przykład 3.

Na poziomej powierzchni blisko urwiska znajduje się kamień o masie $M=500\text{kg}$. Obok kamienia znajduje się alpinista, który chce zejść na dno urwiska. W tym celu przywiązuje linę do kamienia, a drugi jej koniec spuszcza wzdłuż pionowego zbocza góry. Alpinista ma masę $m=60\text{kg}$. Wyznacz wartość współczynnika tarcia $f$, przy którym alpinista może bezpiecznie zejść po linie, tzn. kamień nie zacznie ślizgać się po powierzchni.

1. Dane:

$M=500\text{kg}$

$m=60\text{kg}$

2. Szukane:

$f=?$,

Rozwiązanie:

3. Rysunek pomocniczy:

   R1FT1LGWesm6Z

   Rys. 4. Ilustracja przedstawia rysunek, na którym schematycznie przedstawiono siły działające na wspinającego się po linie alpinistę. Na ilustracji widoczna jest półka skalna, narysowana w postaci lewej i górnej ćwiartki pionowego prostokąta o czarnych krawędziach. Pionowy bok symbolizuje ścianę skalną a poziomy półkę skalną. Na poziomej powierzchni widoczny jest kamień, narysowany w postaci nieregularnego, czarnego kształtu. Do kamienia przywiązana jest lina, widoczna w postaci czarnej linii, opasającej kamień, której drugi koniec zwisa ze zbocza. Na zwisającym końcu liny widoczny jest alpinista w postaci czarnego ludzika. Alpinista wspina się po linie. Masa alpinisty opisana została małą literą m. Na rysunku zaznaczono siły działające na ciała. Kamień, leżący na płaskiej powierzchni półki skalnej wywiera nacisk na podłoże, wielka litera F z indeksem dolnym wielka litera N. wektor siły nacisku, narysowano w postaci pionowej, czarnej strzałki, skierowanej w dół i przyłożonej do środka ciężkości kamienia. Współczynnik tarcia kamienia o podłoże opisano małą literą f. Na kamień działa również siła tarcia, wielka litera T, której wektor widoczny jest w postaci poziomej, zielonej strzałki, skierowanej w prawo i przyłożonej do kamienia. Na alpinistę działa siła ciężkości, wielka litera F z indeksem dolnym małe litery gm, której wektor narysowano w postaci czerwonej, pionowej strzałki, skierowanej w dół i widocznej pod alpinistą. W układzie widoczne są jeszcze dwie siły, stanowiące siły naciągu linki, wielka litera N. Siła te narysowano w postaci czarnych strzałek o równej długości. Jedna z sił widoczna jest w postaci poziomej strzałki, skierowanej w lewo, wzdłuż linki i przyłożonej do miejsca mocowania linki do kamienia. Druga siła naciągu przyłożona została do miejsca w którym alpinista trzyma linkę. Wektor tej siły narysowano w postaci pionowej, czarnej strzałki, skierowanej w górę.

   

4. Zapiszmy siły wypadkowe działające zarówno na kamień, jak i na alpinistę.

Siła wypadkowa działająca w kierunku ruchu na kamień $F_{\mathrm{\text{wM}}}$ jest równa $0$, ponieważ kamień nie ślizga się:

W przypadku alpinisty, siła wypadkowa $F_{\mathrm{\text{wm}}}$ również jest równa $0$:

5. Mając na uwadze fakt, że alpinista może bezpiecznie zejść po linie tylko wtedy, gdy kamień nie ślizga się po powierzchni, wnioskujemy, że kamień musi pozostać w spoczynku.

6. Wyznaczmy wartość współczynnika tarcia, wykorzystując fakt, że obie wartości sił wypadkowych są równe $0$:

Należy również wyrazić wszystkie siły występujące w równaniu przy pomocy wielkości podanych w treści zadania:

Dodając oba równania stronami otrzymujemy:

Po wykorzystaniu danych liczbowych szukany współczynnik tarcia jest równy:

7. Odpowiedź: Szukana wartość współczynnika tarcia statycznego kamienia o podłoże, dla bezpiecznego zejścia alpinisty na dno urwiska jest równa $f=0,12$.

Słowniczek