Konstrukcje kątów o miarach 15°, 30°, 45°, 60°

Skorzystaj z kwadratu i jego przekątnej .

1. Opisz konstrukcję sumy kątów o miarach $90°$ oraz $60°$.

2. Opisz konstrukcję dwusiecznej kąta o mierze $60°$.

3. Opisz konstrukcję sumy kątów o miarach $90°$ oraz $30°$.

1. Skorzystaj z kwadratu oraz przekątnej w tym kwadracie.

2. Skorzystaj z trójkąta równobocznego i jego wysokości.

3. Zauważ, że kąt o mierze $120°$ jest sumą kątów o miarach $90°$ oraz $30°$.

1. Każdy kąt w trójkącie równobocznym ma miarę $60°$, kąt do niego przyległy ma miarę $120°$,

2. Opisz konstrukcję kąta o mierze $120°$ jako sumę kątów o mierze $60°$.

1. Opisz konstrukcję kąta o mierze $270°$ jako sumę kątów o mierze $180°$ i $90°$.

2. Opisz konstrukcję dwusiecznej kąta o mierze $60°$.

3. Opisz konstrukcję dwusiecznej kąta o mierze $30°$.

Zauważ, że każdy punkt na symetralnej odcinka jest równooddalony od jego końców.
Skorzystaj z cyrkla i linijki.

Skonstruuj trójkąt równoboczny o boku długości $6\mathrm{ cm}$.

Do opisu konstrukcji trójkąta prostokątnego, wykorzystaj trójkąt równoboczny.

1. Do opisu konstrukcji rombu wykorzystaj dwa jednakowe trójkąty równoboczne o boku długości $5\mathrm{ cm}$, połączone podstawami.

2. Do opisu konstrukcji rombu wykorzystaj dwa jednakowe trójkąty równoboczne o boku długości $a$, połączone podstawami.

Zauważ, że trójkąt $ABC$ jest trójkątem równobocznym, ponieważ jego dwa kąty wewnętrzne mają miarę $60°$. Suma kątów w trójkącie wynosi $180°$, zatem: $180°-2·60°=60°$, czyli wszystkie kąty w tym trójkącie są równe. Trójkąt $ABC$ musi być więc trójkątem równobocznym.

Część dwusiecznej, o której mowa w poleceniu, to tak naprawdę wysokość tego trójkąta równobocznego, która dzieli ten trójkąt na dwa trójkąty prostokątne. Załóżmy, że $a$ to długość boku tego trójkąta, wtedy korzystając z twierdzenia Pitagorasa

Boki tego trójkąta będą miały długość $10\sqrt{3} \mathrm{cm}$.

Zauważ, że trójkąt $ABC$ jest równoramienny, więc jego dwa kąty wewnętrzne przy podstawie mają taką samą miarę. Suma kątów w trójkącie wynosi $180°$ zatem:
$\frac{180°-60°}{2}=60°$, czyli wszystkie kąty w tym trójkącie są równe. Trójkąt $ABC$ musi być więc trójkątem równobocznym.

Część dwusiecznej, o której mowa w poleceniu, to tak naprawdę wysokość tego trójkąta równobocznego, która dzieli ten trójkąt na dwa trójkąty prostokątne. Załóżmy, że $a$ to długość boku tego trójkąta, wtedy korzystając z twierdzenia Pitagorasa

Boki tego trójkąta będą miały długość $\frac{16\sqrt{3}}{3} \mathrm{cm}$.

Trapez można skonstruować za pomocą odpowiednich trójkątów i czworokątów oraz ich przekątnych, aby uzyskać oczekiwane kąty trapezu.
Do wyznaczenia długości boków skorzystaj z twierdzenia Pitagorasa. Wykorzystaj w obliczeniach wysokość figury.

Długość ramienia tego trapezu przy kącie $60°$ jest równa długości boku trójkąta równobocznego o wysokości $1 \mathrm{cm}$. Skorzystamy z twierdzenia pitagorasa. Niech $a$ oznacza bok tego trójkąta.

Długość drugiego ramienia tego trapezu (przy kącie $45°$) jest równa przekątnej kwadratu o boku $1 \mathrm{cm}$. Niech $b$ oznacza długość tego boku. Skorzystamy ze wzoru na długość przekątnej.

Trapez składa się zatem z dwóch trójkątów prostokątnych oraz z prostokąta. Odejmując od dłuższej podstawy leżące na niej boki trójkątów, otrzymamy długość krótszej podstawy. Niech $c$ oznacza długość tej podstawy, wtedy

Kąty przy krótszej podstawie w tym trapezie można uzyskać poprzez sumowanie sąsiednich kątów trójkątów z kątami prostokąta. Kąty przy krótszej podstawie to $135°$ i $120°$.

1. Opisz konstrukcję sumy kątów $\alpha +\alpha$.

2. Opisz konstrukcję sumy kątów $\left(\alpha +\alpha \right)+\alpha$,

3. Opisz konstrukcję kąta $\alpha$, następnie konstrukcję kąta $\beta$ tak, by miała wspólny wierzchołek i jedno ramię z kątem $\alpha$, a drugie ramię znajdowało się wewnątrz kąta $\alpha$.

Możesz wykorzystać dowolny prostokąt oraz trójkąt, którego jeden z kątów wynosi $30°$. Jedna z przyprostokątnych tego trójkąta powinna mieć długość równą jednemu z boków prostokąta.

Trapez prostokątny o kącie równym $30°$ między jednym z ramion a podstawą możemy uzyskać na przykład poprzez złączenie dwóch figur: prostokąta o bokach $a,b$ \in {\mathrm{ℝ}}_{+}$$, przy czym może zachodzić jedna z relacji: $a<b$, $a>b$ albo $a=b$, oraz z połowy trójkąta równobocznego o boku równym $2a$ lub $2b$. Mając bowiem trójkąt równoboczny, uzyskamy kąt $30°$, upuszczając wysokość $h$ z dowolnego wierzchołka. Wysokość podzieli kąt $60°$ na pół. Dzieje się tak dlatego, że trójkąt jest równoboczny. Obliczymy teraz długości boków otrzymanego trójkąta.
Przeciwprostokątna to bok trójkąta równobocznego, zatem ma długość $2a$. Upuszczona wysokość w trójkącie równobocznym podzieliła podstawę na pół, zatem jedna z przyprostokątnych ma długość $a$, natomiast przyprostokątną, czyli wysokość w pierwotnym trójkącie, obliczymy następująco:
$h^2+a^2={\left(2a\right)}^2$
$h^2+a^2=4a^2$
$h^2=4a^2-a^2$
$h=a\sqrt{3}$.
Możemy tak zapisać, gdyż operujemy na wartościach większych od zera.
Mamy zatem następujące możliwości zbudowania trapezu:

• korzystając z kwadratu o boku $a$ oraz z trójkąta równobocznego o boku $2a$; trapez ten będzie miał następujące długości boków: krótsza podstawa ma długość $a$, ramię prostopadłe do obu podstaw ma długość $a$, ramię nachylone pod kątem $30°$ do dłuższej podstawy ma długość przekątnej, czyli $2a$, dłuższa podstawa ma długość $a+a\sqrt{3}$,

• analogicznie jak wyżej dla kwadratu o boku $b$,

• korzystając z prostokąta o bokach $a$ oraz $b$ (dla $a<b$ albo $a>b$, zasada tworzenia trapezu będzie taka sama) oraz trójkąta równobocznego o boku $2b$, otrzymamy trapez o krótszej podstawie o długości $a$, o ramieniu prostopadłym do obu podstaw o długość $b$, o ramieniu nachylonym do dłuższej podstawy pod kątem $30°$ o długości $2b$ i o dłuższej podstawie o długości $a+b\sqrt{3}$,

• korzystając z prostokąta o bokach $a$ oraz $b$ (dla $a<b$ albo $a>b$, zasada tworzenia trapezu będzie taka sama) oraz trójkąta równobocznego o boku $2a$, otrzymamy trapez o krótszej podstawie o długości $b$, ramieniu prostopadłym do obu podstaw o długości $a$, o ramieniu nachylonym do dłuższej podstawy pod kątem $30°$ o długości $2a$ i o dłuższej podstawie o długości $b+a\sqrt{3}$.