Z tego materiału dowiesz się, jak za pomocą cyrkla i linijki narysować pewne, szczególne kąty oraz jak takie umiejętności wykorzystać do konstruowania sum i różnic kątów oraz niektórych wielokątów. Aby zrozumieć te zagadnienia, przypomnij sobie konstrukcje zamieszczone w materiałach Dwusieczna kątaPrhlc5hJyDwusieczna kąta oraz Symetralna odcinkaP7ubH8i5fSymetralna odcinka.
Znajdziesz tu animacje, aplety, przykłady zadań z rozwiązaniami oraz ćwiczenia do sprawdzenia swojej wiedzy.

Ważne!

Trójkąt równoboczny to trójkąt, którego wszystkie boki mają taką samą długość.

1
Przykład 1

Korzystając z linijki i cyrkla, skonstruujemy trójkąt równoboczny.
Opis konstrukcji.

  • Rysujemy odcinek AB – jeden z boków trójkąta.

  • Z punktów AB kreślimy cyrklem okręgi o promieniu AB.

  • Okręgi te przecinają się w dwóch punktach. Jeden z tych punktów oznaczamy C, będzie to trzeci wierzchołek kreślonego trójkąta.

  • Rysujemy odcinki ACBC.

  • Otrzymaliśmy trójkąt ABC o równych bokach, zatem trójkąt równoboczny.

Zapoznaj się z poniższą animacją oraz apletem, na których zaprezentowana jest konstrukcja trójkąta równobocznego.

Rx51itwliWxDY1
Animacja przedstawia konstrukcję trójkąta równobocznego.
RUmrHpDA0Btgi1
Animacja prezentuje w pięciu krokach konstrukcję trójkąta równobocznego. Konstrukcja tego trójkąta to jednocześnie konstrukcja kąta 60 stopni. Dane są dwa punkty A i B, które mają być wierzchołkami trójkąta równobocznego. Konstrukcja tego trójkąta to jednocześnie konstrukcja kąta 60 stopni. Kreślimy okrąg o środku w punkcie A przechodzący przez punkt B. Kreślimy okrąg o środku w punkcie B przechodzący przez punkt A. Otrzymujemy dwa punkty przecięcia tych okręgów: C i D. Trójkąty A B C oraz A B D są poszukiwanymi trójkątami równobocznymi.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Konstrukcja kąta o mierze 60°, kąta o mierze 30° oraz kąta o mierze 15°

Przypomnijmy, że w trójkącie równobocznym każdy kąt ma miarę 60°.
Jeśli chcemy uzyskać kąt o mierze 60°, wystarczy skonstruować trójkąt równoboczny.

Przykład 2

Skonstruujemy kąt o mierze 60°.
Opis konstrukcji.

  • Konstruujemy trójkąt równoboczny.

  • Zaznaczamy jeden z kątów tego trójkąta. Jest to kąt trójkąta równobocznego, ma więc miarę 60°.

Zapoznaj się z poniższą animacją, w której zaprezentowana jest konstrukcja kąta o mierze 60°.

RpHFwzhW8de351
Animacja przedstawia konstrukcję kąta o mierze 60°.
1
Przykład 3

Skonstruujemy kąt o mierze 30°.
Opis konstrukcji.

  • Konstruujemy trójkąt równoboczny.

  • Zaznaczamy jeden z kątów tego trójkąta. Jest to kąt trójkąta równobocznego, ma więc miarę 60°.

  • Konstruujemy dwusieczną zaznaczonego kąta.

  • Dwusieczna podzieliła kąt o mierze 60° na dwa równe kąty. Każdy z tych kątów ma więc miarę 30°. Zaznaczamy jeden z otrzymanych kątów, jest to szukany kąt.

Zapoznaj się z poniższą animacją oraz apletem, w których zaprezentowana jest konstrukcja kąta o mierze 30°.

R1CfMXiuaqImj1
Animacja przedstawia konstrukcję kąta o mierze 30°.
R1Dux32R6dT981
Animacja prezentuje w trzech krokach konstrukcję kąta 30 stopni. Dany jest kąt B A C o mierze 60 stopni (na przykład jako kat trójkąta równobocznego). Konstruujemy dwusieczną UA kata B A C. Każdy z kątów B A U i U A C ma miarę 30 stopni.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
1
Przykład 4

Zapoznaj się z poniższym apletem, w którym zaprezentowana jest konstrukcja kąta o mierze 15°.

RaYzSM0VlKjwX1
Animacja prezentuje w trzech krokach konstrukcję kąta 15 stopni. Dany jest kąt B A C o mierze 30 stopni. Konstruujemy dwusieczną UA kata B A C. Każdy z kątów B A U i U A C ma miarę 15 stopni.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Konstrukcja kąta o mierze 45°

Przykład 5

Skonstruujemy kąt o mierze 45°. Kąt ten znajdziemy jako połowę kąta prostego, czyli kąta o mierze 90°.
Opis konstrukcji.

  • Konstruujemy dwie proste prostopadłe.

  • Oznaczamy A – punkt przecięcia narysowanych prostych.

  • Otrzymaliśmy 4 kąty proste, każdy o wierzchołku w punkcie A.

  • Z punktu A kreślimy okrąg o dowolnym promieniu.

  • Oznaczmy B, C – punkty przecięcia okręgu z ramionami jednego z kątów.

  • Z punktów BC kreślimy okręgi o jednakowych promieniach tak, aby te okręgi przecięły się. Oznaczamy D – punkt przecięcia okręgów, leżący we wnętrzu kąta BAC.

  • Rysujemy półprostą AD – dwusieczną kąta BAC.

  • Półprosta AD podzieliła kąt BAC na dwa kąty o równych miarach. Zatem miara jednego z tych kątów, np. BAD jest równa 45°=90°:2.

  • Szukanym kątem jest kąt BAD.

Zapoznaj się z poniższą animacją, w której zaprezentowana jest konstrukcja kąta o mierze 45°.

RRY2DGU3f4xNx
Animacja przedstawia konstrukcję kąta o mierze 45°.

Suma i różnica kątów

Konstruując kąty o mierze 30° i o mierze 45°, należało kąty o miarach odpowiednio 60°90° podzielić na dwa kąty równe. Można też zbudować kąty, których konstrukcja wymaga dodawania kątów.
Nim przejdziemy do takich konstrukcji, poznamy sposób konstrukcji kąta przystającego do danego (czyli kąta o takiej samej mierze).

Przykład 6

Dany jest kąt α. Skonstruujemy kąt przystający do tego kąta.
Opis konstrukcji

  • Oznaczamy A – wierzchołek kąta α .

  • Z punktu A kreślimy okrąg o dowolnym promieniu r.

  • Oznaczamy: C, B – punkty przecięcia okręgu z ramionami kąta α.

  • Rysujemy półprostą, która będzie ramieniem kąta przystającego do kąta α.

  • Oznaczmy literą K początek tej półprostej.

  • Z punktu K kreślimy okrąg o promieniu r.

  • Oznaczamy: M – punkt przecięcia okręgu z półprostą.

  • Z punktu M kreślimy okrąg o promieniu CB.

  • Oznaczamy: N – punkt przecięcia otrzymanych okręgów.

  • Rysujemy półprostą KN – jest to drugie ramię szukanego kąta.

  • Kąt MKN jest kątem przystającym do kąta α .

Zapoznaj się z poniższą animacją, w której zaprezentowana jest konstrukcja kąta przystającego do kąta α.

RvarlqwRA0bmi1
Animacja przedstawia konstrukcję kąta przystającego do danego kąta.
Przykład 7

Dane są kąty α, β. Skonstruujemy kąt, który będzie sumą kątów αβ.
Opis konstrukcji

  • Rysujemy półprostą WK.

  • Konstruujemy kąt przystający do kąta α tak, aby jego wierzchołkiem był punkt W, a jednym z jego ramion była półprosta WK.

  • Na drugim ramieniu otrzymanego kąta zaznaczamy dowolny punkt P, różny od punktu W.

  • Konstruujemy kąt przystający do kąta β o wierzchołku w punkcie W tak, aby półprosta WP była wspólnym ramieniem kątów αβ.

  • Na drugim ramieniu kąta przystającego do kąta β obieramy dowolny punkt R – różny od punktu W.

  • Kąt KWR jest sumą kątów αβ.

Zapoznaj się z poniższą animacją, w której zaprezentowana jest konstrukcja kąta, który jest sumą kątów αβ.

R5vWgVS5oMeVN
Animacja przedstawia konstrukcję sumy kątów.
Przykład 8

Skonstruujemy kąt o mierze 75°. Wykorzystajmy konstrukcję sumy kątów:

75°=45°+30°.

Opis konstrukcji

  • Konstruujemy kąt BAC o mierze 45°.

  • Konstruujemy kąt CAD o mierze 30° tak, aby kąt BAD był sumą kątów BACCAD.

  • Kąt BAD jest sumą kątów o miarach 45°30°, jego miara jest równa 75°.

Zapoznaj się z poniższą animacją, w której zaprezentowana jest konstrukcja kąta o mierze 75°.

RBzgFXL1bIYns1
Animacja przedstawia konstrukcję kąta o mierze 75°.
Przykład 9

Dane są kąty α, β, gdzie α>β. Skonstruujemy kąt, który będzie różnicą kątów
αβ.
Opis konstrukcji

  • Rysujemy półprostą WK.

  • Konstruujemy kąt przystający do kąta α tak, aby jego wierzchołkiem był punkt W, a jednym z jego ramion była półprosta WK.

  • Na drugim ramieniu otrzymanego kąta zaznaczamy dowolny punkt P, różny od punktu W.

  • Konstruujemy kąt przystający do kąta β o wierzchołku w punkcie W tak, aby półprosta WK była wspólnym ramieniem kątów αβ.

  • Na drugim ramieniu kąta przystającego do kąta β obieramy dowolny punkt R – różny od punktu W.

  • Kąt RWP jest różnicą kątów αβ.

Przykład 10

Skonstruujemy kąt o mierze 15°. Wykorzystajmy konstrukcję różnicy kątów:

15°=60°-45°.

Opis konstrukcji

  • Konstruujemy kąt BAC o mierze 60°.

  • Konstruujemy kąt CAD o mierze 45° tak, aby kąt BAD był różnicą kątów BACCAD.

  • Kąt BAD jest różnicą kątów o miarach 60°45°, jego miara jest równa 15°.

Zapoznaj się z poniższą animacją, w której zaprezentowane są dwa sposoby konstruowania kąta o mierze 15°.

R1agjBmvbXgiZ1
Animacja przedstawia konstrukcję kąta o mierze 15°.
1
Ćwiczenie 1

Skonstruuj kwadrat, którego

  1. bok ma długość 4 cm,

  2. obwód jest równy 12 cm.

RNWAIHrdI9C7b
Szkicownik.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Opisz kolejne kroki konstrukcji kwadratu, którego

  1. bok ma długość 4 cm,

  2. obwód jest równy 12 cm.

RhyKGYxlMWk2U
(Uzupełnij).
Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.
1
Ćwiczenie 2

Odpowiedz na pytanie.
W jaki sposób, mając narysowany kwadrat, można uzyskać kąt o mierze 45°?

W jaki sposób, mając narysowany kwadrat, można uzyskać kąt o mierze 45°? Opisz własnymi słowami.

ROKmaeGmdxRn8
(Uzupełnij).
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
1
Ćwiczenie 3

Skonstruuj trójkąt równoboczny o boku długości

  1. 3,5 cm,

  2. 4 cm,

  3. x.

REy7AoAURw1qD
Szkicownik.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Opisz kolejne kroki konstrukcji trójkąta równobocznego o boku długości

  1. 3,5 cm,

  2. 4 cm,

  3. x.

RPzulkWwQHeWo
(Uzupełnij).
Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.
1
Ćwiczenie 4

Dany jest kąt o mierze 90° i kąt o mierze 60°. Skonstruuj kąt

  1. α=150°,

  2. β=30°,

  3. γ=120°.

R15g2jYELt9nz
Szkicownik.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Dany jest kąt o mierze 90° i kąt o mierze 60°. Opisz kolejne kroki konstrukcji kąta

  1. α=150°,

  2. β=30°,

  3. γ=120°.

Rsg4A2Owez1Yc
(Uzupełnij).
Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.
1
Ćwiczenie 5

Skonstruuj trójkąt

  1. prostokątny równoramienny,

  2. prostokątny, którego kąty ostre mają miary 30°60°,

  3. którego jeden z kątów ma miarę 120°.

R1LRvBWWjICVk
Szkicownik.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Opisz konstrukcję trójkąta

  1. prostokątnego równoramiennego,

  2. prostokątnego, którego kąty ostre mają miary 30°60°,

  3. którego jeden z kątów ma miarę 120°.

RHwXZQbAMnXkM
(Uzupełnij).
Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.
R14gDe0jpxoTJ1
Ćwiczenie 6
Zaznacz wszystkie zdania prawdziwe. Możliwe odpowiedzi: 1. Istnieje trójkąt, w którym miara każdego z kątów jest mniejsza od 60 ° ., 2. Przekątna dzieli kwadrat na dwa trójkąty prostokątne, w których miara każdego z kątów ostrych jest równa 45 ° ., 3. Dwusieczna dzieli kąt o mierze 60 ° na kąt o mierze 40 ° i kąt o mierze 20 ° .
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 7

Narysuj trójkąt równoboczny. Skonstruuj kąt α=30°, korzystając z własności

  1. symetralnej boku trójkąta,

  2. wysokości trójkąta.

R301zCA5yYqIH
Szkicownik.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Dany jest trójkąt równoboczny. Opisz konstrukcję kąta α=30°, korzystając z własności

  1. symetralnej boku trójkąta,

  2. wysokości trójkąta.

Rkr6oE6DGQ9yz
(Uzupełnij).
Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 8

Narysuj trójkąt równoboczny. Skonstruuj kąt α=120°, korzystając z

  1. własności kątów przyległych,

  2. sumy odpowiednich kątów.

R9450l8wP56vg
Szkicownik.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Dany jest trójkąt równoboczny. Opisz konstrukcję kąta α=120°, korzystając z

  1. własności kątów przyległych,

  2. sumy odpowiednich kątów.

R19ObSIhNEfOQ
(Uzupełnij).
Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 9

Skonstruuj kąt

  1. β=270°,

  2. γ=30°,

  3. α=15°.

R11gePXwqqSLe
Szkicownik.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Opisz konstrukcję kąta

  1. β=270°,

  2. γ=30°,

  3. α=15°.

Rmj3KME5JnufK
(Uzupełnij).
Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 10

Skonstruuj

  1. dowolny trójkąt równoramienny,

  2. trójkąt o bokach długości 3 cm, 3 cm, 4 cm.

RbzMkEXlIJFt8
Szkicownik.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Opisz konstrukcję

  1. dowolnego trójkąta równoramiennego,

  2. trójkąta o bokach długości 3 cm, 3 cm, 4 cm.

R8oDG1XJrbRSD
(Uzupełnij).
Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 11

Zbuduj trójkąt równoramienny o podstawie długości 6 cm, w którym kąt między ramionami ma miarę 60°.

R13yUM0dRmZeG
Szkicownik.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Opisz budowę trójkąta równoramiennego o podstawie długości 6 cm, w którym kąt między ramionami ma miarę 60°.

R1RnShGznJchA
(Uzupełnij).
Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 12

Zbuduj dowolny trójkąt prostokątny, w którym miary kątów ostrych pozostają w stosunku 1:2.

R1Cy9s8USz5uY
Szkicownik.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Opisz budowę dowolnego trójkąta prostokątnego, w którym miary kątów ostrych pozostają w stosunku 1:2.

RgxBbfbxoiAw7
(Uzupełnij).
Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 13

Zbuduj romb

  1. o boku długości 5 cm i kącie ostrym 60°,

  2. o boku długości a.

RMJfLMjQTIEHf
Szkicownik.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Opisz budowę rombu

  1. o boku długości 5 cm i kącie ostrym 60°,

  2. o boku długości a.

R7j0yxi3tUFDb
(Uzupełnij).
Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.
3
Ćwiczenie 14

Zbuduj trójkąt równoboczny, w którym wysokość ma długość 15 cm.

Rl0BoUQNbOaQX
Szkicownik.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Opisz budowę trójkąta równoramiennego ABC, w którym miara kąta przy podstawie wynosi 60°. Część dwusiecznej tego kąta zawarta w trójkącie ma długość 15 cm. Jakiej długości będą boki tego trójkąta? Powołaj się na odpowiednie twierdzenie.

R1OdQutm7HG2B
(Uzupełnij).
Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.
3
Ćwiczenie 15

Skonstruuj trójkąt równoramienny ABC, wiedząc, że miara kąta przy wierzchołku A wynosi 60°, a długość dwusiecznej tego kąta zawartej w trójkącie jest równa
8 cm.

Rnn57ThLGkNAI
Szkicownik.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Opisz konstrukcję trójkąta równoramiennego ABC, wiedząc, że miara kąta przy wierzchołku A wynosi 60°, a długość dwusiecznej tego kąta zawartej w trójkącie jest równa 8 cm.  Jakiej długości będą boki tego trójkąta? Powołaj się na odpowiednie twierdzenie.

R1aRD18uk45EP
(Uzupełnij).
Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.
3
Ćwiczenie 16

Zbuduj trapez, wiedząc, że jedna z jego podstaw ma długość 4 cm i kąty przy tej podstawie mają miary 60°45°.

R1BebIOvQ020W
Szkicownik.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Opisz, w jaki sposób można zbudować trapez, którego jedna z podstaw ma długość 4 cm, wysokość ma długość 1 cm i kąty przy tej podstawie mają miary 60°45°. Jakie będą długości pozostałych boków tego trapezu? Ile będą wynosiły kąty wewnętrze tego trapezu? Czy da się je wyznaczyć?

R1TCB0Jj8w7xX
(Uzupełnij).
Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.
3
Ćwiczenie 17

Dane są kąty αβ , gdzie β<α. Skonstruuj kąt

  1. 2α,

  2. 3α,

  3. α-β.

R1LWK2Wf6Y24e
Szkicownik.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Dane są kąty αβ , gdzie β<α. Opisz konstrukcję kąta

  1. 2α,

  2. 3α,

  3. α-β.

RwagMJInrweRY
(Uzupełnij).
Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.
3
Ćwiczenie 18

Zbuduj trapez

  1. prostokątny,

  2. równoramienny o kątach α oraz 2α.

Rly2GzNpPc654
Szkicownik.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Opisz, w jaki sposób można zbudować trapez prostokątny o kącie między ramieniem a dłuższą podstawą równym 30° i opisz możliwe konfiguracje długości jego boków.

R1YvJb3WvAVtg
(Uzupełnij).
Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.