Z tego materiału dowiesz się, jak za pomocą cyrkla i linijki narysować pewne, szczególne kąty oraz jak takie umiejętności wykorzystać do konstruowania sum i różnic kątów oraz niektórych wielokątów. Aby zrozumieć te zagadnienia, przypomnij sobie konstrukcje zamieszczone w materiałach Dwusieczna kątaPrhlc5hJyDwusieczna kąta oraz Symetralna odcinkaP7ubH8i5fSymetralna odcinka. Znajdziesz tu animacje, aplety, przykłady zadań z rozwiązaniami oraz ćwiczenia do sprawdzenia swojej wiedzy.
Ważne!
Trójkąt równoboczny to trójkąt, którego wszystkie boki mają taką samą długość.
1
Przykład 1
Korzystając z linijki i cyrkla, skonstruujemy trójkąt równoboczny. Opis konstrukcji.
Rysujemy odcinek – jeden z boków trójkąta.
Z punktów i kreślimy cyrklem okręgi o promieniu .
Okręgi te przecinają się w dwóch punktach. Jeden z tych punktów oznaczamy , będzie to trzeci wierzchołek kreślonego trójkąta.
Rysujemy odcinki i .
Otrzymaliśmy trójkąt o równych bokach, zatem trójkąt równoboczny.
Zapoznaj się z poniższą animacją oraz apletem, na których zaprezentowana jest konstrukcja trójkąta równobocznego.
Rx51itwliWxDY1
RUmrHpDA0Btgi1
Konstrukcja kąta o mierze , kąta o mierze oraz kąta o mierze
Przypomnijmy, że w trójkącie równobocznym każdy kąt ma miarę . Jeśli chcemy uzyskać kąt o mierze , wystarczy skonstruować trójkąt równoboczny.
Przykład 2
Skonstruujemy kąt o mierze . Opis konstrukcji.
Konstruujemy trójkąt równoboczny.
Zaznaczamy jeden z kątów tego trójkąta. Jest to kąt trójkąta równobocznego, ma więc miarę .
Zapoznaj się z poniższą animacją, w której zaprezentowana jest konstrukcja kąta o mierze .
RpHFwzhW8de351
1
Przykład 3
Skonstruujemy kąt o mierze . Opis konstrukcji.
Konstruujemy trójkąt równoboczny.
Zaznaczamy jeden z kątów tego trójkąta. Jest to kąt trójkąta równobocznego, ma więc miarę .
Konstruujemy dwusieczną zaznaczonego kąta.
Dwusieczna podzieliła kąt o mierze na dwa równe kąty. Każdy z tych kątów ma więc miarę . Zaznaczamy jeden z otrzymanych kątów, jest to szukany kąt.
Zapoznaj się z poniższą animacją oraz apletem, w których zaprezentowana jest konstrukcja kąta o mierze .
R1CfMXiuaqImj1
R1Dux32R6dT981
1
Przykład 4
Zapoznaj się z poniższym apletem, w którym zaprezentowana jest konstrukcja kąta o mierze .
RaYzSM0VlKjwX1
Konstrukcja kąta o mierze
Przykład 5
Skonstruujemy kąt o mierze . Kąt ten znajdziemy jako połowę kąta prostego, czyli kąta o mierze . Opis konstrukcji.
Konstruujemy dwie proste prostopadłe.
Oznaczamy – punkt przecięcia narysowanych prostych.
Otrzymaliśmy kąty proste, każdy o wierzchołku w punkcie .
Z punktu kreślimy okrąg o dowolnym promieniu.
Oznaczmy , – punkty przecięcia okręgu z ramionami jednego z kątów.
Z punktów i kreślimy okręgi o jednakowych promieniach tak, aby te okręgi przecięły się. Oznaczamy – punkt przecięcia okręgów, leżący we wnętrzu kąta .
Rysujemy półprostą – dwusieczną kąta .
Półprosta podzieliła kąt na dwa kąty o równych miarach. Zatem miara jednego z tych kątów, np. jest równa .
Szukanym kątem jest kąt .
Zapoznaj się z poniższą animacją, w której zaprezentowana jest konstrukcja kąta o mierze .
RRY2DGU3f4xNx
Suma i różnica kątów
Konstruując kąty o mierze i o mierze , należało kąty o miarach odpowiednio i podzielić na dwa kąty równe. Można też zbudować kąty, których konstrukcja wymaga dodawania kątów. Nim przejdziemy do takich konstrukcji, poznamy sposób konstrukcji kąta przystającego do danego (czyli kąta o takiej samej mierze).
Przykład 6
Dany jest kąt . Skonstruujemy kąt przystający do tego kąta. Opis konstrukcji
Oznaczamy – wierzchołek kąta .
Z punktu kreślimy okrąg o dowolnym promieniu .
Oznaczamy: , – punkty przecięcia okręgu z ramionami kąta .
Rysujemy półprostą, która będzie ramieniem kąta przystającego do kąta .
Oznaczmy literą początek tej półprostej.
Z punktu kreślimy okrąg o promieniu .
Oznaczamy: – punkt przecięcia okręgu z półprostą.
Z punktu kreślimy okrąg o promieniu .
Oznaczamy: – punkt przecięcia otrzymanych okręgów.
Rysujemy półprostą – jest to drugie ramię szukanego kąta.
Kąt jest kątem przystającym do kąta .
Zapoznaj się z poniższą animacją, w której zaprezentowana jest konstrukcja kąta przystającego do kąta .
RvarlqwRA0bmi1
Przykład 7
Dane są kąty , . Skonstruujemy kąt, który będzie sumą kątów i . Opis konstrukcji
Rysujemy półprostą .
Konstruujemy kąt przystający do kąta tak, aby jego wierzchołkiem był punkt , a jednym z jego ramion była półprosta .
Na drugim ramieniu otrzymanego kąta zaznaczamy dowolny punkt , różny od punktu .
Konstruujemy kąt przystający do kąta o wierzchołku w punkcie tak, aby półprosta była wspólnym ramieniem kątów i .
Na drugim ramieniu kąta przystającego do kąta obieramy dowolny punkt – różny od punktu .
Kąt jest sumą kątów i .
Zapoznaj się z poniższą animacją, w której zaprezentowana jest konstrukcja kąta, który jest sumą kątów i .
R5vWgVS5oMeVN
Przykład 8
Skonstruujemy kąt o mierze . Wykorzystajmy konstrukcję sumy kątów:
.
Opis konstrukcji
Konstruujemy kąt o mierze .
Konstruujemy kąt o mierze tak, aby kąt był sumą kątów i .
Kąt jest sumą kątów o miarach i , jego miara jest równa .
Zapoznaj się z poniższą animacją, w której zaprezentowana jest konstrukcja kąta o mierze .
RBzgFXL1bIYns1
Przykład 9
Dane są kąty , , gdzie . Skonstruujemy kąt, który będzie różnicą kątów i . Opis konstrukcji
Rysujemy półprostą .
Konstruujemy kąt przystający do kąta tak, aby jego wierzchołkiem był punkt , a jednym z jego ramion była półprosta .
Na drugim ramieniu otrzymanego kąta zaznaczamy dowolny punkt , różny od punktu .
Konstruujemy kąt przystający do kąta o wierzchołku w punkcie tak, aby półprosta była wspólnym ramieniem kątów i .
Na drugim ramieniu kąta przystającego do kąta obieramy dowolny punkt – różny od punktu .
Kąt jest różnicą kątów i .
Przykład 10
Skonstruujemy kąt o mierze . Wykorzystajmy konstrukcję różnicy kątów:
.
Opis konstrukcji
Konstruujemy kąt o mierze .
Konstruujemy kąt o mierze tak, aby kąt był różnicą kątów i .
Kąt jest różnicą kątów o miarach i , jego miara jest równa .
Zapoznaj się z poniższą animacją, w której zaprezentowane są dwa sposoby konstruowania kąta o mierze .
R1agjBmvbXgiZ1
1
Ćwiczenie 1
Skonstruuj kwadrat, którego
bok ma długość ,
obwód jest równy .
RNWAIHrdI9C7b
Opisz kolejne kroki konstrukcji kwadratu, którego
bok ma długość ,
obwód jest równy .
RhyKGYxlMWk2U
Zacznij od skonstruowania kąta prostego (wykorzystaj konstrukcję symetralnej odcinka). Zastanów się, jakiej długości powinien być wyjściowy odcinek.
R1R3L65MzayZb
1
Ćwiczenie 2
Odpowiedz na pytanie. W jaki sposób, mając narysowany kwadrat, można uzyskać kąt o mierze ?
W jaki sposób, mając narysowany kwadrat, można uzyskać kąt o mierze ? Opisz własnymi słowami.
ROKmaeGmdxRn8
Zastanów się, jakie odcinki (poza bokami) wyznaczają wierzchołki kwadratu.
Skorzystaj z kwadratu i jego przekątnej .
Kąt pomiędzy bokiem a przekątną w tym kwadracie ma miarę .
1
Ćwiczenie 3
Skonstruuj trójkąt równoboczny o boku długości
,
,
.
REy7AoAURw1qD
Opisz kolejne kroki konstrukcji trójkąta równobocznego o boku długości
,
,
.
RPzulkWwQHeWo
Wykorzystaj konstrukcję trójkąta równobocznego zawartą w Przykładzie .
Niech punkty i będą środkami narysowanych okręgów.
R1KJmDS60uu5h
1
Ćwiczenie 4
Dany jest kąt o mierze i kąt o mierze . Skonstruuj kąt
,
,
.
R15g2jYELt9nz
Dany jest kąt o mierze i kąt o mierze . Opisz kolejne kroki konstrukcji kąta
,
,
.
Rsg4A2Owez1Yc
Wykonaj konstrukcję sumy kątów o miarach oraz .
Wykonaj konstrukcję dwusiecznej kąta o mierze .
Wykonaj konstrukcję sumy kątów o miarach oraz .
Opisz konstrukcję sumy kątów o miarach oraz .
Opisz konstrukcję dwusiecznej kąta o mierze .
Opisz konstrukcję sumy kątów o miarach oraz .
R1Ilv3vzwYoIU
1
Ćwiczenie 5
Skonstruuj trójkąt
prostokątny równoramienny,
prostokątny, którego kąty ostre mają miary i ,
którego jeden z kątów ma miarę .
R1LRvBWWjICVk
Opisz konstrukcję trójkąta
prostokątnego równoramiennego,
prostokątnego, którego kąty ostre mają miary i ,
którego jeden z kątów ma miarę .
RHwXZQbAMnXkM
Zauważ, że wszystkie kąty w kwadracie są kątami prostymi a długości jego boków są takie same.
Zauważ, że w trójkącie równobocznym wszystkie kąty mają miarę .
Wykonaj konstrukcję kąta o mierze , jako sumę kątów o miarach oraz .
Skorzystaj z kwadratu oraz przekątnej w tym kwadracie.
Skorzystaj z trójkąta równobocznego i jego wysokości.
Zauważ, że kąt o mierze jest sumą kątów o miarach oraz .
RAU9BqNpDVEJJ
R15DrBurBa5fX
RzUeDi0bhpZ0y
R14gDe0jpxoTJ1
Ćwiczenie 6
2
Ćwiczenie 7
Narysuj trójkąt równoboczny. Skonstruuj kąt , korzystając z własności
symetralnej boku trójkąta,
wysokości trójkąta.
R301zCA5yYqIH
Dany jest trójkąt równoboczny. Opisz konstrukcję kąta , korzystając z własności
symetralnej boku trójkąta,
wysokości trójkąta.
Rkr6oE6DGQ9yz
W trójkącie równobocznym wysokość jest zawarta w symetralnej boku.
R1UlFnfLSdd0m
2
Ćwiczenie 8
Narysuj trójkąt równoboczny. Skonstruuj kąt , korzystając z
własności kątów przyległych,
sumy odpowiednich kątów.
R9450l8wP56vg
Dany jest trójkąt równoboczny. Opisz konstrukcję kąta , korzystając z
własności kątów przyległych,
sumy odpowiednich kątów.
R19ObSIhNEfOQ
Każdy kąt w trójkącie równobocznym ma miarę , kąt do niego przyległy ma miarę ,
Wykonaj konstrukcję kąta o mierze jako sumę kątów o mierze .
Każdy kąt w trójkącie równobocznym ma miarę , kąt do niego przyległy ma miarę ,
Opisz konstrukcję kąta o mierze jako sumę kątów o mierze .
R12DV99qFmWUS
2
Ćwiczenie 9
Skonstruuj kąt
,
,
.
R11gePXwqqSLe
Opisz konstrukcję kąta
,
,
.
Rmj3KME5JnufK
Wykonaj konstrukcję kąta o mierze jako sumę kątów o mierze i .
Wykonaj konstrukcję dwusiecznej kąta o mierze .
Wykonaj konstrukcję dwusiecznej kąta o mierze .
Opisz konstrukcję kąta o mierze jako sumę kątów o mierze i .
Opisz konstrukcję dwusiecznej kąta o mierze .
Opisz konstrukcję dwusiecznej kąta o mierze .
R1Eteer57cGvB
R2wDYtox5FBbo
2
Ćwiczenie 10
Skonstruuj
dowolny trójkąt równoramienny,
trójkąt o bokach długości , , .
RbzMkEXlIJFt8
Opisz konstrukcję
dowolnego trójkąta równoramiennego,
trójkąta o bokach długości , , .
R8oDG1XJrbRSD
Zauważ, że każdy punkt na symetralnej odcinka jest równooddalony od jego końców. Skorzystaj z cyrkla i linijki.
Zauważ, że każdy punkt na symetralnej odcinka jest równooddalony od jego końców. Skorzystaj z cyrkla i linijki.
Niech punkty i będą środkami narysowanych poniżej okręgów.
RWPm0QVe5AzCs
R16UKDfEzh51D
2
Ćwiczenie 11
Zbuduj trójkąt równoramienny o podstawie długości , w którym kąt między ramionami ma miarę .
R13yUM0dRmZeG
Opisz budowę trójkąta równoramiennego o podstawie długości , w którym kąt między ramionami ma miarę .
R1RnShGznJchA
Narysuj trójkąt równoboczny o boku długości .
Skonstruuj trójkąt równoboczny o boku długości .
R63HHVCo7cJDG
2
Ćwiczenie 12
Zbuduj dowolny trójkąt prostokątny, w którym miary kątów ostrych pozostają w stosunku .
R1Cy9s8USz5uY
Opisz budowę dowolnego trójkąta prostokątnego, w którym miary kątów ostrych pozostają w stosunku .
RgxBbfbxoiAw7
Zauważ, że suma miar kątów ostrych w trójkącie prostokątnym wynosi . Zastanów się jakie powinny być miary tych kątów, by pozostawać w stosunku .
Do opisu konstrukcji trójkąta prostokątnego, wykorzystaj trójkąt równoboczny.
RqZB4Ia0tD532
2
Ćwiczenie 13
Zbuduj romb
o boku długości i kącie ostrym ,
o boku długości .
RMJfLMjQTIEHf
Opisz budowę rombu
o boku długości i kącie ostrym ,
o boku długości .
R7j0yxi3tUFDb
Zauważ, że w trójkącie równobocznym o boku długości wszystkie kąty mają miarę .
Zauważ, że przekątna rombu dzieli ten romb na dwa przystające trójkąty równoramienne.
Do opisu konstrukcji rombu wykorzystaj dwa jednakowe trójkąty równoboczne o boku długości , połączone podstawami.
Do opisu konstrukcji rombu wykorzystaj dwa jednakowe trójkąty równoboczne o boku długości , połączone podstawami.
RSG12DNNxcGDM
3
Ćwiczenie 14
Zbuduj trójkąt równoboczny, w którym wysokość ma długość .
Rl0BoUQNbOaQX
Opisz budowę trójkąta równoramiennego , w którym miara kąta przy podstawie wynosi . Część dwusiecznej tego kąta zawarta w trójkącie ma długość . Jakiej długości będą boki tego trójkąta? Powołaj się na odpowiednie twierdzenie.
R1OdQutm7HG2B
Skonstruuj kąt o mierze stopni. Na półprostej zaznacz odcinek długości . Z punktu poprowadź prostopadłą do półprostej . Punkt przecięcia tej prostej z półprostą oznacz . Odcinek jest bokiem szukanego trójkąta.
Zauważ, że trójkąt jest trójkątem równobocznym, ponieważ jego dwa kąty wewnętrzne mają miarę . Suma kątów w trójkącie wynosi , zatem: , czyli wszystkie kąty w tym trójkącie są równe. Trójkąt musi być więc trójkątem równobocznym.
R8xOuLEwS74Da
Trójkąt jest trójkątem równobocznym, którego wysokość ma długość .
Część dwusiecznej, o której mowa w poleceniu, to tak naprawdę wysokość tego trójkąta równobocznego, która dzieli ten trójkąt na dwa trójkąty prostokątne. Załóżmy, że to długość boku tego trójkąta, wtedy korzystając z twierdzenia Pitagorasa
,
,
,
,
.
Boki tego trójkąta będą miały długość .
3
Ćwiczenie 15
Skonstruuj trójkąt równoramienny , wiedząc, że miara kąta przy wierzchołku wynosi , a długość dwusiecznej tego kąta zawartej w trójkącie jest równa .
Rnn57ThLGkNAI
Opisz konstrukcję trójkąta równoramiennego , wiedząc, że miara kąta przy wierzchołku wynosi , a długość dwusiecznej tego kąta zawartej w trójkącie jest równa . Jakiej długości będą boki tego trójkąta? Powołaj się na odpowiednie twierdzenie.
R1aRD18uk45EP
Zauważ, że trójkąt jest równoboczny i jego wysokość jest równa . Skonstruuj kąt o mierze stopni. Na półprostej zaznacz odcinek długości . Z punktu poprowadź prostopadłą do półprostej . Punkt przecięcia tej prostej z półprostą oznacz . Odcinek jest bokiem szukanego trójkąta.
Zauważ, że trójkąt jest równoramienny, więc jego dwa kąty wewnętrzne przy podstawie mają taką samą miarę. Suma kątów w trójkącie wynosi zatem: , czyli wszystkie kąty w tym trójkącie są równe. Trójkąt musi być więc trójkątem równobocznym.
R1OezRFu8xXPq
Część dwusiecznej, o której mowa w poleceniu, to tak naprawdę wysokość tego trójkąta równobocznego, która dzieli ten trójkąt na dwa trójkąty prostokątne. Załóżmy, że to długość boku tego trójkąta, wtedy korzystając z twierdzenia Pitagorasa
,
,
,
,
.
Boki tego trójkąta będą miały długość .
3
Ćwiczenie 16
Zbuduj trapez, wiedząc, że jedna z jego podstaw ma długość i kąty przy tej podstawie mają miary i .
R1BebIOvQ020W
Opisz, w jaki sposób można zbudować trapez, którego jedna z podstaw ma długość , wysokość ma długość i kąty przy tej podstawie mają miary i . Jakie będą długości pozostałych boków tego trapezu? Ile będą wynosiły kąty wewnętrze tego trapezu? Czy da się je wyznaczyć?
R1TCB0Jj8w7xX
Narysuj odcinek o długości . Skonstruuj kąt o mierze o wierzchołku i ramieniu . Skonstruuj kąt o mierze o wierzchołku i ramieniu . Znajdź odcinek równoległy do odcinka , przecinający ramiona kątów. Zauważ, że trapezy spełniające warunki zadania mogą różnić się wysokością
Trapez można skonstruować za pomocą odpowiednich trójkątów i czworokątów oraz ich przekątnych, aby uzyskać oczekiwane kąty trapezu. Do wyznaczenia długości boków skorzystaj z twierdzenia Pitagorasa. Wykorzystaj w obliczeniach wysokość figury.
R1ToRKE50p0mY
Długość ramienia tego trapezu przy kącie jest równa długości boku trójkąta równobocznego o wysokości . Skorzystamy z twierdzenia pitagorasa. Niech oznacza bok tego trójkąta.
,
,
,
.
Długość drugiego ramienia tego trapezu (przy kącie ) jest równa przekątnej kwadratu o boku . Niech oznacza długość tego boku. Skorzystamy ze wzoru na długość przekątnej.
Trapez składa się zatem z dwóch trójkątów prostokątnych oraz z prostokąta. Odejmując od dłuższej podstawy leżące na niej boki trójkątów, otrzymamy długość krótszej podstawy. Niech oznacza długość tej podstawy, wtedy
.
Kąty przy krótszej podstawie w tym trapezie można uzyskać poprzez sumowanie sąsiednich kątów trójkątów z kątami prostokąta. Kąty przy krótszej podstawie to i .
3
Ćwiczenie 17
Dane są kąty i , gdzie . Skonstruuj kąt
,
,
.
R1LWK2Wf6Y24e
Dane są kąty i , gdzie . Opisz konstrukcję kąta
,
,
.
RwagMJInrweRY
Wykonaj konstrukcję sumy kątów .
Wykonaj konstrukcję sumy kątów ,
Narysuj kąt , następnie kąt tak, by miał wspólny wierzchołek i jedno ramię z kątem , a drugie ramię znajdowało się wewnątrz kąta .
Opisz konstrukcję sumy kątów .
Opisz konstrukcję sumy kątów ,
Opisz konstrukcję kąta , następnie konstrukcję kąta tak, by miała wspólny wierzchołek i jedno ramię z kątem , a drugie ramię znajdowało się wewnątrz kąta .
RwIL1MIPCaEk3
R19DVfn4laYMc
3
Ćwiczenie 18
Zbuduj trapez
prostokątny,
równoramienny o kątach oraz .
Rly2GzNpPc654
Opisz, w jaki sposób można zbudować trapez prostokątny o kącie między ramieniem a dłuższą podstawą równym i opisz możliwe konfiguracje długości jego boków.
R1YvJb3WvAVtg
Narysuj prostokąt . Na przedłużeniu boku zaznacz punkt . Połącz punkty i .
Zauważ, że kąty tego trapezu mają miary , , i . Stąd otrzymujemy, że , czyli .
Możesz wykorzystać dowolny prostokąt oraz trójkąt, którego jeden z kątów wynosi . Jedna z przyprostokątnych tego trójkąta powinna mieć długość równą jednemu z boków prostokąta.
R11q1g6BVJA6J
Trapez prostokątny o kącie równym między jednym z ramion a podstawą możemy uzyskać na przykład poprzez złączenie dwóch figur: prostokąta o bokach , przy czym może zachodzić jedna z relacji: a<b, a>b albo a=b, oraz z połowy trójkąta równobocznego o boku równym 2a lub 2b. Mając bowiem trójkąt równoboczny, uzyskamy kąt 30°, upuszczając wysokość h z dowolnego wierzchołka. Wysokość podzieli kąt 60° na pół. Dzieje się tak dlatego, że trójkąt jest równoboczny. Obliczymy teraz długości boków otrzymanego trójkąta. Przeciwprostokątna to bok trójkąta równobocznego, zatem ma długość 2a. Upuszczona wysokość w trójkącie równobocznym podzieliła podstawę na pół, zatem jedna z przyprostokątnych ma długość a, natomiast przyprostokątną, czyli wysokość w pierwotnym trójkącie, obliczymy następująco: h2+a2=2a2 h2+a2=4a2 h2=4a2-a2 h=a3. Możemy tak zapisać, gdyż operujemy na wartościach większych od zera. Mamy zatem następujące możliwości zbudowania trapezu:
korzystając z kwadratu o boku a oraz z trójkąta równobocznego o boku 2a; trapez ten będzie miał następujące długości boków: krótsza podstawa ma długość a, ramię prostopadłe do obu podstaw ma długość a, ramię nachylone pod kątem 30° do dłuższej podstawy ma długość przekątnej, czyli 2a, dłuższa podstawa ma długość a+a3,
analogicznie jak wyżej dla kwadratu o boku b,
korzystając z prostokąta o bokach a oraz b (dla a<b albo a>b, zasada tworzenia trapezu będzie taka sama) oraz trójkąta równobocznego o boku 2b, otrzymamy trapez o krótszej podstawie o długości a, o ramieniu prostopadłym do obu podstaw o długość b, o ramieniu nachylonym do dłuższej podstawy pod kątem 30° o długości 2b i o dłuższej podstawie o długości a+b3,
korzystając z prostokąta o bokach a oraz b (dla a<b albo a>b, zasada tworzenia trapezu będzie taka sama) oraz trójkąta równobocznego o boku 2a, otrzymamy trapez o krótszej podstawie o długości b, ramieniu prostopadłym do obu podstaw o długości a, o ramieniu nachylonym do dłuższej podstawy pod kątem 30° o długości 2a i o dłuższej podstawie o długości b+a3.