Opis prostopadłościanu i sześcianu

Wielokąty, proste, odcinki i kąty to figury płaskie. Wokół nas znajdują się także obiekty przestrzenne. Na zdjęciach możemy je zobaczyć z jednej, wybranej strony. Obiekty na rysunkach przedstawiamy najczęściej w dużym uproszczeniu. Są one modelami figur przestrzennych (brył).

RvbLXqLqEKAQT1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Jedną z figur przestrzennych jest prostopadłościan. Wszystkie ściany prostopadłościanu są prostokątami.

Obejrzyj dokładnie model prostopadłościanu.

RwjgBpbGYGLN61

Ważne!

Każdy prostopadłościan ma sześć ścian, które są prostokątami. Dwie z nich nazywamy podstawami, pozostałe to ściany boczne.
Boki prostokątów, które są ścianami prostopadłościanu, nazywamy krawędziami. Wśród nich są krawędzie podstawy i krawędzie boczne.
Punkty wspólne krawędzi to wierzchołki prostopadłościanu.
R1T0A2WmHs54k1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 1

Dany jest prostopadłościan $ABCDEFGH$ . Wypisz nazwy

wierzchołków
krawędzi bocznych
krawędzi podstawy dolnej
krawędzi podstawy górnej
ścian bocznych
podstawy dolnej
podstawy górnej
R1FkeBmwja56s1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

wierzchołki: $A, B, C, D, E, F, G, H$
krawędzie boczne: $AE, BF, DH, CG$
krawędzie podstawy dolnej: $AB, BC, CD, DA$
krawędzie podstawy górnej: $EF, FG, GH, HE$
ściany boczne: $ADHE, DCGH, BCGF, ABFE$
podstawa dolna: $ABCD$
podstawa górna: $EFGH$

Ważne!

W prostopadłościanie można wskazać krawędzie równoległe. Krawędzie, które są równoległe mają tę samą długość.

RElHSO828zk6W1

Rysunek prostopadłościanu z zaznaczonymi, tymi samymi kolorami, krawędziami jednakowej długości. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Krawędzie zaznaczone tym samym kolorem są równej długości i są równoległe.

Ważne!

W prostopadłościanie krawędzie wychodzące z tego samego wierzchołka są prostopadłe.

R15cBZXQvwJV41

Rysunek prostopadłościanu z zaznaczonymi, różnymi kolorami, krawędziami wychodzącymi z jednego wierzchołka. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Krawędź zielona jest prostopadła do fioletowej.
Krawędź niebieska jest prostopadła do zielonej.
Krawędź niebieska jest prostopadła do fioletowej.

Ważne!

W prostopadłościanie można wskazać trzy pary ścian równoległych.

ReFlb0nu4zscY1

Rysunek trzech prostopadłościanów. W pierwszym zaznaczona podstawa górna i podstawa dolna - są do siebie równoległe. W drugim zaznaczona ściana przednia i ściana tylna - są do siebie równoległe. W trzecim zaznaczona ściany boczne - są do siebie równoległe. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ściany zaznaczone tym samym kolorem są równoległe.

Ważne!

W prostopadłościanie każde sąsiadujące ze sobą ściany są prostopadłe.

RSNOYIe2GnFrx1

Rysunek trzech prostopadłościanów. W pierwszym zaznaczona ściana boczna i podstawa dolna - są do siebie prostopadłe. W drugim zaznaczona ściana tylna i podstawa dolna - są do siebie prostopadłe. W trzecim zaznaczona ściana boczna i ściana tylna - są do siebie prostopadłe. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zamalowane ściany to przykłady ścian prostopadłych.

Ćwiczenie 2

Rysunek przedstawia prostopadłościan $MIROS Ł AW$ . Na podstawie rysunku wypisz nazwy

wierzchołków
krawędzi bocznych
krawędzi podstawy dolnej
R2lhlq9EDr12R1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$M, I, R, O, S, L, A, W$
$MS, IŁ, RA, WO$
$MI, IR, RO, OM$

Ważne!

Z każdego wierzchołka prostopadłościanu wychodzą trzy krawędzie.
Długości tych krawędzi to wymiary prostopadłościanu, czyli długość, szerokość i wysokość.
R1WrDa9tgPOad1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 3

Oblicz łączną długość wszystkich krawędzi narysowanego prostopadłościanu.

R1J52R3m93qYk1

Rysunek prostopadłościanu o krawędziach 3 decymetry, 1 decymetr, 2 decymetry. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$24 dm$

R13sHFliamWQo1

Ćwiczenie 4

Narysuj prostopadłościan.

Ćwiczenie 5

Jaka jest suma długości wszystkich krawędzi prostopadłościanu o wymiarach $8 cm, 5 cm$ i $9 cm$ ?

$88 cm$

Ćwiczenie 6

Suma długości wszystkich krawędzi prostopadłościanu wynosi $120 cm$ . Jaką długość ma wysokość tego prostopadłościanu, jeśli jego podstawą jest prostokąt o bokach $10 cm$ i $12 cm$ ?

$8 cm$

Sześcian

Definicja: Sześcian

Prostopadłościan, którego wszystkie krawędzie są równe to sześcian. Każda ściana sześcianu jest kwadratem.

R3sE2KbpfEtjQ1

classicmobile

Ćwiczenie 7

Wśród narysowanych przedmiotów wskaż te, które mają kształt sześcianu.

R1Y0wnSoPUnuY

static

Ćwiczenie 8

Oblicz łączną długość wszystkich krawędzi sześcianu.

RPPF6qkbNTTvi1

Rysunek sześcianu o krawędzi długości 5 decymetrów. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$60 dm$

Ćwiczenie 9

Krawędź sześcianu ma długość $17 cm$ . Oblicz sumę długości wszystkich krawędzi tego sześcianu.

$204 cm$

Ćwiczenie 10

Suma długości wszystkich krawędzi sześcianu wynosi $72 cm$ . Jaką długość ma krawędź tego sześcianu?

$6 cm$

Ćwiczenie 11

Suma długości wszystkich krawędzi sześcianu wynosi $2,4 m$ . Jaką długość ma krawędź tego sześcianu?

20 cm

Ćwiczenie 12

Narysuj dowolny

prostopadłościan
sześcian

Rysunki wykonaj tak, aby dwie ściany każdego z prostopadłościanów były prostokątami mającymi rzeczywiste wymiary.

classicmobile

Ćwiczenie 13

Rozstrzygnij, czy zdania są prawdziwe, czy fałszywe.

RfHT6OzH89xJW

Prostopadłościan ma trzy pary ścian równoległych.
Każdy prostopadłościan jest sześcianem.
Ściany sześcianu są jednakowymi kwadratami.
Każdy prostopadłościan ma wszystkie krawędzie równej długości.
Ściany prostopadłościanu mające wspólną krawędź są prostopadłe.
Każdy sześcian jest prostopadłościanem.

static

Ćwiczenie 13

Jedna ściana prostopadłościanu jest kwadratem o boku $8 cm$ , a jedna z krawędzi tego prostopadłościanu ma długość $14 cm$ . Jakie wymiary ma ściana niebędąca kwadratem?

$14 cm$ i $8 cm$

classicmobile

Ćwiczenie 14

Czy narysowane prostokąty mogą być ścianami tego samego prostopadłościanu?

R1GsUOFklGqMw