Slajd 1. Na ilustracji przedstawiono następujące wielokąty. Trójkąt, kwadrat, pięciokąt, sześciokąt, oraz siedmiokąt. Poniżej zapisano uniwersalny wzór na pole dowolnego wielokąta foremnego. Wykorzystuje on pojęcie apotemy, czyli promienia okręgu wpisanego w dany wielokąt. Pole to połowa iloczynu długości apotemy i obwodu wielokąta. Prześledźmy na kilku przykładach jak dokładnie „działa” ten wzór. Zobaczmy, że cała trudność zadania sprowadza się do znalezienia długości apotemy. Slajd 2. Na początek przeanalizujmy trójkąt równoboczny. Oczywiście wzór na pole trójkąta równobocznego o boku wyraża się wzorem $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. Możemy go wyprowadzić korzystając z różnych wzorów na pole trójkąta. Na ilustracji przedstawiono trójkąt równoboczny o boku długości a i zaznaczonych kątach równych sześćdziesiąt stopni. Obok zapisano. $P_{△}=\frac{1}{2}\times a\times h=\frac{1}{2}\times b\times h_b=\frac{1}{2}\times c\times h_c=\frac{1}{2}\times a\times \frac{a\sqrt{3}}{2}-\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. Przekształcono. $P_{△}=\frac{1}{2}a\times b\times \sin \gamma =\frac{1}{2}a\times c\times \sin \beta =\frac{1}{2}b\times c\times \sin \alpha =\frac{1}{2}a\times a\times \sin 60°=\frac{1}{2}{a}^2\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. Następnie $P_{△}=\frac{1}{2}{a}^2\frac{\sin \beta \times \sin \gamma }{\sin \alpha }=\frac{1}{2}{b}^2\frac{\sin \alpha \times \sin \gamma }{\sin \beta }=\frac{1}{2}{c}^2\frac{\sin \alpha \times \sin \beta }{\sin \gamma }=\frac{1}{2}{a}^2\frac{{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\times {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}}{{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. $P_{△ABC}=rp$. $P_{△ABC}=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}=\sqrt{\frac{3}{2}a\times \frac{1}{2}a\times \frac{1}{2}a\times \frac{1}{2}a}=\sqrt{\frac{3}{16}{a}^4}=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2$. Stąd otrzymujemy $P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. Slajd 3. Na ilustracji przedstawiono trójkąt równoboczny o boku równym a, w który wpisano okrąg o promieniu równym r. Spróbujmy wyprowadzić wzór na pole trójkąta równobocznego korzystając ze wzoru, który dziś poznaliśmy, tj. z faktu, że pole wielokąta foremnego można obliczyć mnożąc połowę apotemy przez obwód wielokąta. Apotema to jedna trzecia wysokości, czyli jej długość możemy zapisać jako $\frac{a\sqrt{3}}{6}$. Obwód trójkąta równobocznego to oczywiście $3a$. Mamy więc, że pole równa się $\frac{1}{2}\times \frac{a\sqrt{3}}{6}\times 3a$, czyli – tak jak się spodziewaliśmy – $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. Slajd 4. Na ilustracji przedstawiono trójkąt równoboczny o boku równym a, w który wpisano okrąg o promieniu równym r. Linią przerywaną zaznaczono wysokości w trójkącie. Granatowym kolorem zacieniowano trójkąt, równoramienny, którego ramiona łączą środek okręgu z wierzchołkiem trójkąta równobocznego. Zauważmy, że apotema jest wysokością granatowego trójkąta, zatem jego pole to $\frac{a\times r}{2}$. Wyjściowy trójkąt równoboczny możemy podzielić na trzy trójkąty przystające do granatowego trójkąta. Zapisano obliczenia. $P=3\times \frac{a\times r}{2}=\frac{1}{2}\times r\times 3a=\frac{1}{2}r\times L$. Slajd 5. Na ilustracji przedstawiono trzy wielokąty. Pierwszym wielokątem jest trapez $ABCD$. Dłuższą podstawę trapezu oznaczono a, krótszą podstawę b, natomiast wysokość h. Poniżej zapisano przekształcenia. $P=\frac{a+b}{2}\times h=\frac{a+a}{2}\times a=\frac{2a^2}{2}=a^2$. Druga przedstawiona figura to równoległobok $ABCD$. Krótszy bok równoległoboku oznaczono a, dłuższy bok b, natomiast wysokość oznaczono h. Kąt między bokiem a i b wynosi alfa, natomiast przekątne przecinają się pod kątem delta. Poniżej zapisano przekształcenia. $P=a\times h=a\times b\times \sin \alpha =\frac{1}{2}\times \left|AC\right|\times \left|BD\right|\times \sin \delta$. Przeanalizujmy inny wielokąt foremny – kwadrat. Wzór na pole kwadratu znamy już od szkoły podstawowej - pole kwadratu o boku a to $a^2$. Wzór ten możemy wyprowadzić korzystając ze wzoru na pole trapezu, równoległoboku i wielu innych zależności. Korzystając ze wzoru na pole trapezu otrzymujemy $\frac{1}{2}a\sqrt{2}\times a\sqrt{2}\times \sin 90°=\frac{1}{2}{a}^2\times 2\times 1=a^2$. Korzystając ze wzoru na pole równoległoboku otrzymujemy $a\times a\times \sin 90°$. Slajd 6. Na ilustracji przedstawiono kwadrat o boku długości a, w który wpisano okrąg o promieniu długości r. Sprawdźmy teraz wzór wykorzystujący apotemę. Spróbujmy wyprowadzić wzór na pole kwadratu korzystając ze wzoru, który dziś poznaliśmy, tj. z faktu, że pole wielokąta foremnego można obliczyć mnożąc połowę apotemy przez obwód wielokąta. Apotema to połowa długości boku kwadratu, czyli jej długość możemy zapisać jako $\frac{a}{2}$. Obwód kwadratu to oczywiście $4a$. Mamy więc, że pole równa się $\frac{1}{2}\times \frac{a}{2}\times 4a$, czyli – tak jak się spodziewaliśmy – $a^2$. Slajd 7. Na ilustracji przedstawiono kwadrat o boku długości a, w który wpisano okrąg o promieniu długości r. Zaznaczono przekątne kwadratu, które przecinają się w środku okręgu. Kolorem zielonym obrysowano trójkąt, którego ramiona stanowią jedną drugą długości przekątnych. Zauważmy, że apotema jest wysokością zielonego trójkąta, zatem jego pole to $\frac{a\times r}{2}$. Wyjściowy kwadrat możemy podzielić na cztery trójkąty przystające do zielonego trójkąta. Stąd, wzór na pole kwadratu możemy opisać $P=4\times \frac{1}{2}\times a\times r=4\times \frac{1}{2}\times a\times \frac{1}{2}a=a^2$. Slajd 8. Przeanalizujmy inny wielokąt foremny. Na ilustracji przedstawiono pięciokąt foremny opisany na okręgu. Środek okręgu połączono z wierzchołkami wielokąta, przez co wielokąt podzielony został na pięć trójkątów równoramiennych. Wysokość trójkąta jest równa promieniowi okręgu wpisanego. Zaznaczono kąt alfa między wysokością trójkąta a jego ramieniem. W przypadku pięciokąta foremnego nie znamy wzorów, do których możemy się odwołać. Obliczenie dokładnej wartości apotemy wymaga wyznaczenia wartości tangens trzydziestu sześciu stopni, która wynosi pierwiastek z pięć minus dwa pierwiastki z pięciu. Oczywiście pięciokąt możemy podzielić na pięć przystających trójkątów równoramiennych, o kącie przy wierzchołku równym 360 przez 5, czyli 72 stopnie. Apotema to inaczej wysokość uzyskanego trójkąta. Możemy ją policzyć wykorzystując tangens trzydziestu sześciu stopni. Zobaczymy wtedy, że długość apotemy to a dzielone przez dwa pierwiastki z pięciu minus dwa pierwiastki z pięciu. Znając długość apotemy możemy wyznaczyć wzór na pole pięciokąta foremnego. Zatem, $P=\frac{1}{2}\times r\times l=\frac{1}{2}\times \frac{a}{2\sqrt{5-2\sqrt{5}}}\times 5a=\frac{5a^2}{4\sqrt{5-2\sqrt{5}}}=\frac{5}{4}{a}^2\frac{\sqrt{5-2\sqrt{5}}}{5-2\sqrt{5}}=\frac{5}{4}{a}^2\frac{\sqrt{5-2\sqrt{5}}\times \left(5+2\sqrt{5}\right)}{5}=\frac{a^2\sqrt{5-2\sqrt{5}}\left(5+2\sqrt{5}\right)}{4}=\frac{a^2\sqrt{5\left(5+2\sqrt{5}\right)}}{4}$. Slajd 9. Przeanalizujmy inny wielokąt foremny. Na ilustracji przedstawiono sześciokąt foremny opisany na okręgu. W przypadku sześciokąta foremnego wiemy, że na jego pole składa się sześć przystających trójkątów równobocznych o boku równym długości krawędzi sześciokąta. Zatem jego pole to $6\times \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. Zobaczmy, czy ten wynik uzyskamy stosując wzór wykorzystujący apotemę. Zapiszmy, $P=\frac{1}{2}\times r\times l=\frac{1}{2}\times \frac{a\sqrt{3}}{2}\times 6a=6\times \frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$. Otrzymujemy znany nam wzór, że pole sześciokąta foremnego, to $\frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$. Slajd 10. Przeanalizujmy inny wielokąt foremny. Na ilustracji przedstawiono ośmiokąt foremny opisany na okręgu. W przypadku ośmiokąta foremnego nie znamy wzorów, do których możemy się odwołać. Obliczenie dokładnej wartości apotemy wymaga wyznaczenia wartości tangens dwudziestu dwóch i pół stopnia, która wynosi minus jeden plus pierwiastek z dwóch. Spróbujmy wyprowadzić tę wielkość korzystając ze wzorów na tangens podwojonego kąta. Oczywiście ośmiokąt możemy podzielić na osiem przystających trójkątów równoramiennych, o kącie przy wierzchołku równym 360 przez 8, czyli 45 stopni. Apotema to inaczej wysokość uzyskanego trójkąta. Możemy ją policzyć wykorzystując tangens dwudziestu dwóch i pół stopnia. Zobaczymy wtedy, że długość apotemy to $\frac{a\left(\sqrt{2}+1\right)}{2}$. Znając długość apotemy możemy wyznaczyć wzór na pole ośmiokąta foremnego. Zatem, $P=\frac{1}{2}\times l\times r=\frac{1}{2}\times 8a\times \frac{a\left(\sqrt{2}+1\right)}{2}=2a^2\left(\sqrt{2}+1\right)$.