Slajd 1. Na ilustracji przedstawiono następujące wielokąty. Trójkąt, kwadrat, pięciokąt, sześciokąt, oraz siedmiokąt. Poniżej zapisano uniwersalny wzór na pole dowolnego wielokąta foremnego. Wykorzystuje on pojęcie apotemy, czyli promienia okręgu wpisanego w dany wielokąt. Pole to połowa iloczynu długości apotemy i obwodu wielokąta. Prześledźmy na kilku przykładach jak dokładnie „działa” ten wzór. Zobaczmy, że cała trudność zadania sprowadza się do znalezienia długości apotemy. Slajd 2. Na początek przeanalizujmy trójkąt równoboczny. Oczywiście wzór na pole trójkąta równobocznego o boku wyraża się wzorem początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka. Możemy go wyprowadzić korzystając z różnych wzorów na pole trójkąta. Na ilustracji przedstawiono trójkąt równoboczny o boku długości a i zaznaczonych kątach równych sześćdziesiąt stopni. Obok zapisano. P indeks dolny, trójkąt, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, × a × h, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, × b × h indeks dolny, b, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, × c × h indeks dolny, c, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, × a × początek ułamka, a pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, minus, początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka. Przekształcono. P indeks dolny, trójkąt, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, a × b × sinus GAMMA, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, a × c × sinus BETA, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, b × c × sinus alfa, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, a × a × sinus sześćdziesiąt stopni, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, × początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka. Następnie P indeks dolny, trójkąt, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, początek ułamka, sinus BETA × sinus GAMMA, mianownik, sinus alfa, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, początek ułamka, sinus alfa × sinus GAMMA, mianownik, sinus BETA, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, c indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, początek ułamka, sinus alfa × sinus BETA, mianownik, sinus GAMMA, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, początek ułamka, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka × początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, mianownik, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka. P indeks dolny, trójkąt A B C, koniec indeksu dolnego, równa się, r p. P indeks dolny, trójkąt A B C, koniec indeksu dolnego, równa się, pierwiastek kwadratowy z p nawias, p, minus, a, zamknięcie nawiasu, nawias, p, minus, b, zamknięcie nawiasu, nawias, p, minus, c, zamknięcie nawiasu koniec pierwiastka, równa się, pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, a × początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, a × początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, a × początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, a koniec pierwiastka, równa się, pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, trzy, mianownik, szesnaście, koniec ułamka, a indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego. Stąd otrzymujemy P, równa się, początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka. Slajd 3. Na ilustracji przedstawiono trójkąt równoboczny o boku równym a, w który wpisano okrąg o promieniu równym r. Spróbujmy wyprowadzić wzór na pole trójkąta równobocznego korzystając ze wzoru, który dziś poznaliśmy, tj. z faktu, że pole wielokąta foremnego można obliczyć mnożąc połowę apotemy przez obwód wielokąta. Apotema to jedna trzecia wysokości, czyli jej długość możemy zapisać jako początek ułamka, a pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka. Obwód trójkąta równobocznego to oczywiście trzy a. Mamy więc, że pole równa się początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, × początek ułamka, a pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka, × trzy a, czyli – tak jak się spodziewaliśmy – początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka. Slajd 4. Na ilustracji przedstawiono trójkąt równoboczny o boku równym a, w który wpisano okrąg o promieniu równym r. Linią przerywaną zaznaczono wysokości w trójkącie. Granatowym kolorem zacieniowano trójkąt, równoramienny, którego ramiona łączą środek okręgu z wierzchołkiem trójkąta równobocznego. Zauważmy, że apotema jest wysokością granatowego trójkąta, zatem jego pole to początek ułamka, a × r, mianownik, dwa, koniec ułamka. Wyjściowy trójkąt równoboczny możemy podzielić na trzy trójkąty przystające do granatowego trójkąta. Zapisano obliczenia. P, równa się, trzy × początek ułamka, a × r, mianownik, dwa, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, × r × trzy a, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, r × L. Slajd 5. Na ilustracji przedstawiono trzy wielokąty. Pierwszym wielokątem jest trapez A B C D. Dłuższą podstawę trapezu oznaczono a, krótszą podstawę b, natomiast wysokość h. Poniżej zapisano przekształcenia. P, równa się, początek ułamka, a, plus, b, mianownik, dwa, koniec ułamka, × h, równa się, początek ułamka, a, plus, a, mianownik, dwa, koniec ułamka, × a, równa się, początek ułamka, dwa a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, dwa, koniec ułamka, równa się, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego. Druga przedstawiona figura to równoległobok A B C D. Krótszy bok równoległoboku oznaczono a, dłuższy bok b, natomiast wysokość oznaczono h. Kąt między bokiem a i b wynosi alfa, natomiast przekątne przecinają się pod kątem delta. Poniżej zapisano przekształcenia. P, równa się, a × h, równa się, a × b × sinus alfa, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, × długość odcinka, A C, koniec długości odcinka, × długość odcinka, B D, koniec długości odcinka, × sinus DELTA. Przeanalizujmy inny wielokąt foremny – kwadrat. Wzór na pole kwadratu znamy już od szkoły podstawowej - pole kwadratu o boku a to a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego. Wzór ten możemy wyprowadzić korzystając ze wzoru na pole trapezu, równoległoboku i wielu innych zależności. Korzystając ze wzoru na pole trapezu otrzymujemy początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, a pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka × a pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka × sinus dziewięćdziesiąt stopni, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, × dwa × jeden, równa się, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego. Korzystając ze wzoru na pole równoległoboku otrzymujemy a × a × sinus dziewięćdziesiąt stopni. Slajd 6. Na ilustracji przedstawiono kwadrat o boku długości a, w który wpisano okrąg o promieniu długości r. Sprawdźmy teraz wzór wykorzystujący apotemę. Spróbujmy wyprowadzić wzór na pole kwadratu korzystając ze wzoru, który dziś poznaliśmy, tj. z faktu, że pole wielokąta foremnego można obliczyć mnożąc połowę apotemy przez obwód wielokąta. Apotema to połowa długości boku kwadratu, czyli jej długość możemy zapisać jako początek ułamka, a, mianownik, dwa, koniec ułamka. Obwód kwadratu to oczywiście cztery a. Mamy więc, że pole równa się początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, × początek ułamka, a, mianownik, dwa, koniec ułamka, × cztery a, czyli – tak jak się spodziewaliśmy – a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego. Slajd 7. Na ilustracji przedstawiono kwadrat o boku długości a, w który wpisano okrąg o promieniu długości r. Zaznaczono przekątne kwadratu, które przecinają się w środku okręgu. Kolorem zielonym obrysowano trójkąt, którego ramiona stanowią jedną drugą długości przekątnych. Zauważmy, że apotema jest wysokością zielonego trójkąta, zatem jego pole to początek ułamka, a × r, mianownik, dwa, koniec ułamka. Wyjściowy kwadrat możemy podzielić na cztery trójkąty przystające do zielonego trójkąta. Stąd, wzór na pole kwadratu możemy opisać P, równa się, cztery × początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, × a × r, równa się, cztery × początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, × a × początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, a, równa się, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego. Slajd 8. Przeanalizujmy inny wielokąt foremny. Na ilustracji przedstawiono pięciokąt foremny opisany na okręgu. Środek okręgu połączono z wierzchołkami wielokąta, przez co wielokąt podzielony został na pięć trójkątów równoramiennych. Wysokość trójkąta jest równa promieniowi okręgu wpisanego. Zaznaczono kąt alfa między wysokością trójkąta a jego ramieniem. W przypadku pięciokąta foremnego nie znamy wzorów, do których możemy się odwołać. Obliczenie dokładnej wartości apotemy wymaga wyznaczenia wartości tangens trzydziestu sześciu stopni, która wynosi pierwiastek z pięć minus dwa pierwiastki z pięciu. Oczywiście pięciokąt możemy podzielić na pięć przystających trójkątów równoramiennych, o kącie przy wierzchołku równym 360 przez 5, czyli 72 stopnie. Apotema to inaczej wysokość uzyskanego trójkąta. Możemy ją policzyć wykorzystując tangens trzydziestu sześciu stopni. Zobaczymy wtedy, że długość apotemy to a dzielone przez dwa pierwiastki z pięciu minus dwa pierwiastki z pięciu. Znając długość apotemy możemy wyznaczyć wzór na pole pięciokąta foremnego. Zatem, P, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, × r × l, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, × początek ułamka, a, mianownik, dwa pierwiastek kwadratowy z pięć, minus, dwa pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka koniec pierwiastka, koniec ułamka, × pięć a, równa się, początek ułamka, pięć a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, cztery pierwiastek kwadratowy z pięć, minus, dwa pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka koniec pierwiastka, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, pięć, mianownik, cztery, koniec ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z pięć, minus, dwa pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka koniec pierwiastka, mianownik, pięć, minus, dwa pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, pięć, mianownik, cztery, koniec ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z pięć, minus, dwa pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka koniec pierwiastka × nawias, pięć, plus, dwa pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, mianownik, pięć, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, pierwiastek kwadratowy z pięć, minus, dwa pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka koniec pierwiastka nawias, pięć, plus, dwa pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, mianownik, cztery, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, pierwiastek kwadratowy z pięć nawias, pięć, plus, dwa pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka. Slajd 9. Przeanalizujmy inny wielokąt foremny. Na ilustracji przedstawiono sześciokąt foremny opisany na okręgu. W przypadku sześciokąta foremnego wiemy, że na jego pole składa się sześć przystających trójkątów równobocznych o boku równym długości krawędzi sześciokąta. Zatem jego pole to sześć × początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka. Zobaczmy, czy ten wynik uzyskamy stosując wzór wykorzystujący apotemę. Zapiszmy, P, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, × r × l, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, × początek ułamka, a pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, × sześć a, równa się, sześć × początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, trzy a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka. Otrzymujemy znany nam wzór, że pole sześciokąta foremnego, to początek ułamka, trzy a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka. Slajd 10. Przeanalizujmy inny wielokąt foremny. Na ilustracji przedstawiono ośmiokąt foremny opisany na okręgu. W przypadku ośmiokąta foremnego nie znamy wzorów, do których możemy się odwołać. Obliczenie dokładnej wartości apotemy wymaga wyznaczenia wartości tangens dwudziestu dwóch i pół stopnia, która wynosi minus jeden plus pierwiastek z dwóch. Spróbujmy wyprowadzić tę wielkość korzystając ze wzorów na tangens podwojonego kąta. Oczywiście ośmiokąt możemy podzielić na osiem przystających trójkątów równoramiennych, o kącie przy wierzchołku równym 360 przez 8, czyli 45 stopni. Apotema to inaczej wysokość uzyskanego trójkąta. Możemy ją policzyć wykorzystując tangens dwudziestu dwóch i pół stopnia. Zobaczymy wtedy, że długość apotemy to początek ułamka, a nawias, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, mianownik, dwa, koniec ułamka. Znając długość apotemy możemy wyznaczyć wzór na pole ośmiokąta foremnego. Zatem, P, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, × l × r, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, × osiem a × początek ułamka, a nawias, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, mianownik, dwa, koniec ułamka, równa się, dwa a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, nawias, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, plus, jeden, zamknięcie nawiasu.