Wiesz już, że do każdej ściany w sześcianie dokładnie jedna ze ścian jest równoległa, a pozostałe ze ścian są do niej prostopadłe.
R1a67SFoaVgQY
Na rysunku powyżej kąt między podstawą , a ścianami , , , odpowiednio wynosi , natomiast ściana jest równoległa do płaszczyzny podstawy .
Oprócz ścian w sześcianie wyróżniliśmy jeszcze przekroje sześcianuprzekrój sześcianuprzekroje sześcianu. Przypomnijmy, że są to trójkąty ostrokątne, trapezy (w tym trapez równoramienny, równoległobok, romb, prostokąt i kwadrat), pięciokąt, sześciokąt (w tym sześciokąt foremny).
Przykład 1
Rozważmy sześcian o i rozważmy przekrój przechodzący przez wierzchołki . Obliczymy sinus kąta nachylenia tego przekroju do płaszczyzny podstawy.
Rozwiązanie
Zróbmy rysunek pomocniczy i zauważmy, że ten przekrój będzie trójkątem równobocznym.
R1VpS3n2GLJ2r
Kąt nachylenia tego przekroju do płaszczyzny podstawy będzie kątem pomiędzy wysokością trójkąta opuszczoną na podstawę , a połową przekątnej . Oznaczmy ten kąt przez .
R6WD1aQAYtrVc
Oznaczmy krawędź sześcianu przez . Wtedy , oraz . Odcinek jest wysokością tego trójkąta, więc .
Korzystając z trójkąta prostokątnego mamy .
Wniosek
Przekrój przechodzący przez przekątną ściany w kształcie trójkąta równobocznego jest nachylony do ścian pod kątem takim, że , a zatem .
Każdy przekrój, który będzie przechodził przez przekątną ściany nachylony do tej ściany pod kątem mniejszym niż będzie trójkątem. Natomiast przekrój, który jest nachylony pod kątem należącym do przedziału jest trapezem równoramiennym (w szczególności dla kąta jest to prostokąt).
Przykład 2
Wyznaczymy cosinus kąta nachylenia przekroju przechodzącego przez krawędź sześcianu jak na rysunku poniżej, wiedząc, że oraz .
Rozwiązanie
RT98Ychuq144d
Zauważmy, że w tym przypadku kąt nachylenia przekroju do podstawy ma miarę taką, jak . Oznaczmy go na rysunku przez .
Rp6b7TgIgGUL2
Trójkąt jest trójkątem prostokątnym, którego przyprostokątne mają długość oraz , a zatem przeciwprostokątna ma długość (trójka Pitagorejska , , ).
Korzystając z trójkąta otrzymujemy .
Wniosek
Przekrój sześcianu zawierający jego krawędź tworzy z płaszczyzną podstawy kąt równy kątowi ostremu utworzonemu przez dłuższy bok przekroju oraz krawędź podstawy.
R1YRNodXJfy7s
Przykład 3
Obliczymy miarę kąta nachylenia przekroju sześcianu w kształcie sześciokąta foremnego do podstawy.
Rozwiązanie
Zróbmy rysunek pomocniczy:
R1RFiMvetwymq
Punkt jest rzutem prostokątnym punktu na płaszczyznę podstawy. Odcinek przechodzi przez środki odcinków i i ma długość taką jak krótsza przekątna sześciokąta. Bok sześciokąta jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego równoramiennego o przyprostokątnych, których długość jest równa połowie krawędzi sześcianu. Oznaczmy długość krawędzi sześcianu przez . Wtedy , a stąd . Mamy również .
Korzystając z funkcji trygonometrycznych dla trójkąta mamy . A zatem .
Przykład 4
W sześcianie na rysunku mamy: , , , , i . Obliczymy kąt nachylenia przekroju do podstawy.
R1cRJ02iKROEA
Rozwiązanie
Wyznaczmy środek odcinka . Kąt pomiędzy przekrojem a podstawąkąt pomiędzy przekrojem, a ścianą sześcianuKąt pomiędzy przekrojem a podstawą będzie kątem pomiędzy odcinkiem i (ponieważ odcinek jest rzutem odcinka na podstawę.
RPiRu768PlFDo
Zauważmy, że i .
Korzystając z funkcji trygonometrycznych w trójkącie mamy . A stąd .
Przykład 5
Zobaczymy teraz jak można wyznaczyć pola powierzchni przekroju sześcianów wykorzystując miary kątów między płaszczyznami w sześcianie.
RTdpgP0JF8XkO
Słownik
przekrój sześcianu
przekrój sześcianu
figura, która jest częścią wspólną sześcianu i przecinającej go płaszczyzny
kąt pomiędzy przekrojem, a ścianą sześcianu
kąt pomiędzy przekrojem, a ścianą sześcianu
kąt pomiędzy płaszczyznami zawierającymi przekrój i ścianę sześcianu