Przeczytaj
Walec wpisany w kulę
Wyobraźmy sobie walec wpisany w kulę. Jakie warunki muszą być spełnione, aby walec wpisać w kulę? W jaki sposób wykreślić tą sytuację na kartce papieru? W odpowiedzi na te pytania pomoże nam aplet.
Walec jest wpisany w kulę wtedy i tylko wtedy, gdy okręgi podstaw walca zawierają się w sferzesferze tej kuli. Zauważ, że w każdą kulę da się wpisać walec.
Zadania dotyczące walca wpisanego w kulę można sprowadzić do prostych zadań geometrii płaskiej. Na rysunku poniżej przedstawiono przekrój osiowy walca wpisanego w kulę. Przekrój osiowy tych brył jest kołem opisanym na prostokącie. Spostrzeżenie to pomoże nam w uproszczeniu planowania strategii rozwiązania wielu zadań geometrii przestrzennej.
Dla przejrzystości rysunku, przekrój osiowy kuliprzekrój osiowy kuli wystarczy wykreślić jako okrąg.
Rozważmy przekrój osiowy walca wpisanego w kulę. Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku. Określimy najważniejsze związki miarowe zachodzące pomiędzy odpowiednimi odcinkami tworzącymi przekrój osiowy tych brył.
długość walca
długość średnicy podstawy walca
długość średnicy kuli
Zauważmy, że:
długość średnicy kuli opisanej na walcu jest równa długości przekątnej przekroju osiowego tego walca,
z twierdzenia Pitagorasa.
Walec o wysokości długości i promieniu podstawy długości wpisano w kulę. Oblicz pole powierzchni tej kuli.
Rozwiązanie:
Wykreślamy rysunek i przyjmujemy oznaczenia.
długość wysokości walca
długość średnicy podstawy walca
długość średnicy kuli
Pole powierzchni kuli obliczymy ze wzoru . Z trójkąta i twierdzenia Pitagorasa obliczymy długość promienia kuli.
, stąd
, zatem
.
Zauważmy, że wystarczy teraz podstawić do wzoru na pole powierzchni kuli.
Otrzymujemy odpowiednio .
Walec wpisano w kulę o promieniu długości . Przekątna przekroju osiowego walca tworzy z płaszczyzną podstawy walca kąt o mierze . Wyznacz pole powierzchni całkowitej tego walca.
Rozwiązanie:
Wykreślamy rysunek obrazujący przekrój osiowy walca wpisanego w kulę.
Przyjmujemy oznaczenia, które pomogą nam w prowadzeniu toku rozumowania.
długość wysokości walca,
długość średnicy podstawy walca,
długość średnicy kuli,
miara kąta pomiędzy przekątną przekroju osiowego walca i płaszczyzną podstawy walca.
Pole powierzchni całkowitej walca wyznaczymy ze wzoru . Zauważmy, że długość wysokości walca i długość promienia podstawy walca możemy wyznaczyć z trójkąta prostokątnego , korzystając z odpowiednich definicji funkcji trygonometrycznych kąta . Odpowiednio otrzymujemy
, stąd i , stąd . Pole powierzchni całkowitej walca wynosi . Po uproszczeniu wzoru, otrzymujemy .
W kulę o promieniu długości wpisano walec. Oblicz objętość walca, wiedząc, że stosunek długości wysokości walca do długości średnicy walca wynosi .
Rozwiązanie
Rozwiązanie zadania zaczynamy od wykonania czytelnego rysunku i przyjęcia oznaczeń.
długość wysokości walca,
długość średnicy podstawy walca,
długość średnicy kuli.
Z warunków zadania wiemy, że , zatem . Wynika stąd, że przekrój osiowy walcaprzekrój osiowy walca jest kwadratem, zatem , stąd i . Objętość walca wyznaczymy ze wzoru , zatem .
Walec o polu powierzchni bocznej wpisano w kulę. Wysokość walca jest o dłuższa od średnicy podstawy walca. Oblicz pole powierzchni kuli.
Rozwiązanie:
Wykreślamy przekrój osiowy tych brył i przyjmujemy oznaczenia.
długość wysokości walca,
długość średnicy podstawy walca
długość średnicy kuli.
Z warunków zadania mamy i . Wynika stąd, że , zatem . Po uporządkowaniu otrzymujemy równanie stopnia drugiego z niewiadomą : .
Zakładając, że jest długością odcinka, otrzymujemy rozwiązanie .
Wynika, stąd, że .
Z trójkąta ABC i twierdzenia Pitagorasa mamy dalej , zatem .
Zauważmy, że możemy tę wielkość podstawić do wzoru opisującego pole powierzchni kuli, stąd .
Stosunek objętości kuli opisanej na walcu do objętości walca wynosi . Oblicz stosunek długości wysokości walca do długości promienia kuli.
Rozwiązanie
Wykreślamy rysunek i przyjmujemy oznaczenia.
długość wysokości walca,
długość średnicy podstawy walca,
długość średnicy kuli.
Z warunków zadania mamy , zatem . Wynika stąd zależność , zatem . Dalej zauważmy, że z trójkąta i twierdzenia Pitagorasa otrzymamy zależność . Wyznaczmy z tej zależności . Otrzymujemy odpowiednio . Podstawmy tę wielkości do równania .
Otrzymamy , stąd . Mamy wyznaczyć stosunek długości wysokości walca do długości promienia kuli , zatem podzielmy otrzymane równanie obustronnie przez . Otrzymujemy równanie stopnia trzeciego o niewiadomej : .
Po uproszczeniu otrzymamy równanie .
Zauważmy, że jednym z pierwiastków tego równania jest , zatem po rozłożeniu na czynniki otrzymamy , stąd lub lub .
Ostatecznie zatem otrzymujemy lub .
Słownik
przekrój walca płaszczyzną zawierającą oś obrotu walca. Przekrój osiowy walca jest prostokątem
przekrój kuli płaszczyzną zawierającą oś obrotu kuli. Przekrój osiowy kuli jest kołem
zbiór wszystkich punktów przestrzeni oddalonych o ustaloną odległość od wybranego punktu przestrzeni