1. wyrażenia w nawiasach;

2. potęgowanie i pierwiastkowanie;

3. mnożenie i dzielenie;

4. dodawanie i odejmowanie.

• przemienność dodawania

  $A+B=B+A$

• przemienność mnożenia

  $A·B=B·A$

• łączność dodawania

  $\left(A+B\right)+C=A+\left(B+C\right)$

• łączność mnożenia

  $\left(A·B\right)·C=A·\left(B·C\right)$

• rozdzielność mnożenia względem dodawania

  $A·\left(B+C\right)=A·B+A·C$

• odejmowanie można zastąpić dodawaniem wyrażenia przeciwnego

  $A-B=A+\left(-B\right)$

• dzielenie można zastąpić mnożeniem przez odwrotność

  $A:B=A·\frac{1}{B}$

Obliczmy $\left(\frac{x}{3}-\frac{3}{x}\right)·\frac{18x}{x-3}$.

• Na początek wykonamy odejmowanie w nawiasie.

  $\left(\frac{x}{3}-\frac{3}{x}\right)·\frac{18x}{x-3}=$

  $=\left(\frac{x^2}{3x}-\frac{9}{3x}\right)·\frac{18x}{x-3}=$

  $=\frac{x^2-9}{3x}·\frac{18x}{x-3}=\left(i\right)$

• Mnożenie zaczniemy od zapisania różnicy kwadratów w postaci iloczynu i skracania.

• $\left(i\right)=\frac{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}{3x}·\frac{18x}{x-3}=$

  $=\frac{\left(x+3\right)\bcancel{\left(x-3\right)}}{\bcancel{3x}}·\frac{\bcancel{18x}6}{\bcancel{x-3}}=$

  $=6\left(x+3\right)$

• Określmy założenia, uwzglęniając wszystkie miejsca zerowe mianowników (przed skracaniem): $x\in \mathrm{ℝ}\setminus \left\{0;3\right\}$.

Obliczmy $\left(\frac{2x}{x-1}+1\right):\left(x+\frac{2x^3+2x^2}{x^2-1}\right)$.

• Na początek wykonajmy dodawania w nawiasach. Zauważmy, że ułamek w drugim nawiasie można skrócić.

• $\left(\frac{2x}{x-1}+1\right):\left(x+\frac{2x^3+2x^2}{x^2-1}\right)=$

  $=\left(\frac{2x}{x-1}+\frac{x-1}{x-1}\right):\left(x+\frac{2x^2\bcancel{\left(x+1\right)}}{\bcancel{\left(x+1\right)}\left(x-1\right)}\right)=$

  $=\frac{2x+x-1}{x-1}:\left(\frac{x^2-x}{x-1}+\frac{2x^2}{x-1}\right)=$

  $=\frac{3x-1}{x-1}:\frac{3x^2-x}{x-1}=\left(i\right)$

• Dzielenie możemy zastąpić mnożeniem przez odwrotność. Pamiętajmy o skracaniu tam, gdzie jest to możliwe.

• $\left(i\right)=\frac{3x-1}{x-1}·\frac{x-1}{x\left(3x-1\right)}=$

  $=\frac{\bcancel{3x-1}}{\bcancel{x-1}}·\frac{\bcancel{x-1}}{x\bcancel{\left(3x-1\right)}}=$

  $=\frac{1}{x}$

• Podajmy potrzebne założenia: $x\in \mathrm{ℝ}\setminus \left\{-1;0;\frac{1}{3};1\right\}$.

Obliczmy $\frac{1}{x+2}+\frac{1}{1+\frac{1}{x+1}}$.

• Jako pierwsze wykonamy działanie w mianowniku drugiego ułamka.

• $\frac{1}{x+2}+\frac{1}{1+\frac{1}{x+1}}=$

  $=\frac{1}{x+2}+\frac{1}{\frac{x+1}{x+1}+\frac{1}{x+1}}=$

  $=\frac{1}{x+2}+\frac{1}{\frac{x+2}{x+1}}=\left(i\right)$

• Potraktujmy główną kreskę ułamkową w drugim ułamku jako znak dzielenia i zapiszmy to dzielenie jako mnożenie przez odwrotność:

• $\left(i\right)=\frac{1}{x+2}+1:\frac{x+2}{x+1}=$

  $=\frac{1}{x+2}+1·\frac{x+1}{x+2}=$

  $=\frac{1}{x+2}+\frac{x+1}{x+2}=$

  $=\frac{x+2}{x+2}=$

  $=1$

• Określmy założenia: $x\in \mathrm{ℝ}\setminus \left\{-2;-1\right\}$.

Obliczmy $\frac{x^3-9x+1}{x^2-9}-\left(x+2\right)·\left(\frac{x+3}{x^2-x-6}-\frac{x+4}{x^2-9}\right)$.

• $\frac{x^3-9x+1}{x^2-9}-\left(x+2\right)·\left(\frac{x+3}{x^2-x-6}-\frac{x+4}{x^2-9}\right)=\left(i\right)$

• Wykonajmy odejmowanie w ostatnim nawiasie.

  $\frac{x+3}{x^2-x-6}-\frac{x+4}{x^2-9}=$

  $=\frac{x+3}{\left(x-3\right)\left(x+2\right)}-\frac{x+4}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}=$

  $=\frac{{\left(x+3\right)}^2}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)\left(x+2\right)}-\frac{\left(x+4\right)\left(x+2\right)}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)\left(x+2\right)}=$

  $=\frac{x^2+6x+9}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)\left(x+2\right)}-\frac{x^2+6x+8}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)\left(x+2\right)}=$

  $=\frac{x^2+6x+9-x^2-6x-8}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)\left(x+2\right)}=$

  $=\frac{1}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)\left(x+2\right)}$

• Podstawmy uzyskany wynik.

• $\left(i\right)=\frac{x^3-9x+1}{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}-\left(x+2\right)·\frac{1}{\left(x+3\right)\left(x-3\right)\left(x+2\right)}=$

  $=\frac{x^3-9x+1}{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}-$$\bcancel{\left(x+2\right)}·\frac{1}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)\bcancel{\left(x+2\right)}}=$

  $=\frac{x^3-9x+1}{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}-\frac{1}{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}=$

  $=\frac{x^3-9x}{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}=$

  $=\frac{x\left(x+3\right)\left(x-3\right)}{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}=$

  $=\frac{x\bcancel{\left(x+3\right)}\bcancel{\left(x-3\right)}}{\bcancel{\left(x+3\right)}\bcancel{\left(x-3\right)}}=$

  $=x$

• Określmy założenia: $x\in \mathrm{ℝ}\setminus \left\{-3;-2;3\right\}$.

Obliczmy $7x+\left(\frac{x+7}{x-7}-x-7\right):\frac{x+7}{7x}$.

• Dzielenie możemy zastąpić mnożeniem przez odwrotność.

• $7x+\left(\frac{x+7}{x-7}-x-7\right):\frac{x+7}{7x}=$

  $=7x+\left(\frac{x+7}{x-7}-x-7\right)·\frac{7x}{x+7}=\left(i\right)$

• Wykonajmy obliczenia w nawiasie.

  $\frac{x+7}{x-7}-x-7=$

  $=\frac{x+7}{x-7}-\frac{x+7}{1}=$

  $=\frac{x+7}{x-7}-\frac{\left(x+7\right)\left(x-7\right)}{x-7}=$

  $=\frac{\left(x+7\right)\left(1-\left(x-7\right)\right)}{x-7}=$

  $=\frac{\left(x+7\right)\left(1-x+7\right)}{x-7}=$

  $=\frac{\left(x+7\right)\left(8-x\right)}{x-7}$

• Wykorzystajmy uzyskany wynik.

• $\left(i\right)=7x+\frac{\left(x+7\right)\left(8-x\right)}{x-7}·\frac{7x}{x+7}=$

  $=7x+\frac{\bcancel{\left(x+7\right)}\left(8-x\right)}{x-7}·\frac{7x}{\bcancel{x+7}}=\left(ii\right)$

• Możemy teraz wyłączyć $7x$ przed nawias i dokończyć obliczenia.

• $\left(ii\right)=7x\left(1+\frac{8-x}{x-7}\right)=$

  $=7x\left(\frac{x-7}{x-7}+\frac{8-x}{x-7}\right)=$

  $=7x\left(\frac{x-7+8-x}{x-7}\right)=$

  $=7x·\frac{1}{x-7}=$

  $=\frac{7x}{x-7}$

• Podajmy na koniec założenia: $x\in \mathrm{ℝ}\setminus \left\{-7;0;7\right\}$.

Obliczmy $\left(\frac{x}{x+4}+\frac{4}{x-4}-\frac{8x}{x^2-16}\right)·\frac{x}{x+4}+\left(\frac{4}{x-4}+\frac{8x}{x^2-16}\right)·\frac{x-4}{x+4}$.

• $\left(\frac{x}{x+4}+\frac{4}{x-4}-\frac{8x}{x^2-16}\right)·\frac{x}{x+4}+\left(\frac{4}{x-4}+\frac{8x}{x^2-16}\right)·\frac{x-4}{x+4}=\left(i\right)$

• Obliczmy wyrażenie w pierwszym nawiasie:

  $\frac{x}{x+4}+\frac{4}{x-4}-\frac{8x}{x^2-16}=$

  $=\frac{x\left(x-4\right)}{\left(x+4\right)\left(x-4\right)}+\frac{4\left(x+4\right)}{\left(x+4\right)\left(x-4\right)}-\frac{8x}{\left(x+4\right)\left(x-4\right)}=$

  $=\frac{x^2-4x+4x+16-8x}{\left(x+4\right)\left(x-4\right)}=$

  $=\frac{x^2-8x+16}{\left(x+4\right)\left(x-4\right)}=$

  $=\frac{{\left(x-4\right)}^2}{\left(x+4\right)\left(x-4\right)}=$

  $=\frac{{\left(x-4\right)}^{\bcancel{2}}}{\left(x+4\right)\bcancel{\left(x-4\right)}}=$

  $=\frac{x-4}{x+4}$

• Obliczmy wyrażenie w drugim nawiasie.

  $\frac{4}{x-4}+\frac{8x}{x^2-16}=$

  $=\frac{4}{x-4}+\frac{8x}{\left(x+4\right)\left(x-4\right)}=$

  $=\frac{4\left(x+4\right)}{\left(x+4\right)\left(x-4\right)}+\frac{8x}{\left(x+4\right)\left(x-4\right)}=$

  $=\frac{4x+16}{\left(x+4\right)\left(x-4\right)}+\frac{8x}{\left(x+4\right)\left(x-4\right)}=$

  $=\frac{12x+16}{\left(x+4\right)\left(x-4\right)}=$

  $=\frac{4\left(3x+4\right)}{\left(x+4\right)\left(x-4\right)}$

• Podstawmy uzyskane wyniki.

• $\left(i\right)=\frac{x-4}{x+4}·\frac{x}{x+4}+\frac{4\left(3x+4\right)}{\left(x+4\right)\left(x-4\right)}·\frac{x-4}{x+4}=\left(ii\right)$

• Skorzystajmy teraz z prawa rozdzielności mnożenia względem dodawania wyłączając przed nawias wspólny czynnik $\frac{x-4}{x+4}$.

• $\left(ii\right)=\frac{x-4}{x+4}\left(\frac{x}{x+4}+\frac{4\left(3x+4\right)}{\left(x+4\right)\left(x-4\right)}\right)=\left(iii\right)$

• Wykonajmy dodawanie w nawiasie:

  $\frac{x}{x+4}+\frac{4\left(3x+4\right)}{\left(x+4\right)\left(x-4\right)}=$

  $=\frac{x\left(x-4\right)}{\left(x+4\right)\left(x-4\right)}+\frac{4\left(3x+4\right)}{\left(x+4\right)\left(x-4\right)}=$

  $=\frac{x^2-4x+12x+16}{\left(x+4\right)\left(x-4\right)}=$

  $=\frac{x^2+8x+16}{\left(x+4\right)\left(x-4\right)}=$

  $=\frac{{\left(x+4\right)}^2}{\left(x+4\right)\left(x-4\right)}=$

  $=\frac{\left(x+4\right)\bcancel{{}^2}}{\bcancel{\left(x+4\right)}\left(x-4\right)}=$

  $=\frac{x+4}{x-4}$

• Zakończmy obliczenia, wykorzystując otrzymany wynik.

• $\left(iii\right)=\frac{x-4}{x+4}·\frac{x+4}{x-4}=$

  $=\frac{\bcancel{x-4}}{\bcancel{x+4}}·\frac{\bcancel{x+4}}{\bcancel{x-4}}=$

  $=1$

• Określmy założenia uwzględniając wszystkie etapy obliczeń: $x\in \mathrm{ℝ}\setminus \left\{-4;4\right\}$.

zbiór liczb rzeczywistych, dla których wyrażenie algebraiczne ma sens liczbowy

wyrażenie, które można zapisać w postaci ilorazu wielomianów