Rozważmy zdanie: Rogów nie zgubiłeś, a czegoś nie zgubił, to posiadasz; zatem posiadasz rogi. Jego autorem był Eubulides z Miletu – filozof należący do szkoły megarejskiej, który żył w $\text{IV}$ wieku p.n.e.

Człowiek nie ma rogów, gdzie więc jest błąd w tym rozumowaniu?

Rozwiązanie

Zdanie jest implikacją, którą możemy prościej wyrazić w następujący sposób: Jeśli nie zgubiłeś rogów, to je posiadasz. Błąd tkwi w tym, że nie można zgubić tego, czego się nie ma. Zdanie o zgubieniu i posiadaniu byłoby prawdziwe, gdyby dotyczyło czegoś, co rzeczywiście mamy, np. kluczy w kieszeni: Nie zgubiłeś kluczy, więc musisz je mieć.

Rozważmy zdanie (również przypisywane Eubulidesowi): Pewien człowiek twierdzi: „ja teraz kłamię”. Co powiemy o prawdziwości tego zdania?

Rozwiązanie

Jeśli zadamy sobie pytanie, czy ten człowiek jest kłamcą czy też mówi prawdę, dojdziemy do sprzeczności. Jeśli kłamie, to stwierdzając „ja teraz kłamię” mówi prawdę, a więc nie jest kłamcą. Jeśli natomiast mówi prawdę, to znaczy, że kłamie, bo to oznacza wypowiadane przez niego zdanie.

Rozważmy jeden z paradoksówparadoksparadoksów Zenona z Elei, który żył w $\text{V}$ wieku p.n.e.: „Siew. Skoro przy zasiewaniu pojedynczego ziarna brak jest wrażeń słuchowych, to przy zasiewaniu większej ilości szum musi być złudzeniem” Czy to jest prawda?

Rozwiązanie

Z doświadczenia wiadomo, że nałożenie się na siebie wielu jednakowych bodźców daje inny efekt niż pojedynczy bodziec. Błędność „Siewu” polega na wyciąganiu wniosku ze zbyt niskiego poziomu szumu przy sianiu małej ilości ziarna.

Rozważmy twierdzenietwierdzenietwierdzenie: Jeśli $a^2$ jest liczbą wymierną, to a jest liczbą wymierną. Czy to twierdzenie jest prawdziwe – co nam podpowiada intuicja?

A teraz przeanalizujmy jego „dowód”:

Jeśli $a^2$ jest liczbą wymierną, to możemy zapisać: $a^2=\frac{m^2}{n^2}$, gdzie $m$ i $n$ to liczby naturalne. Stąd $a=\frac{m}{n}$, więc $a$ jest liczbą wymierną.

c.n.d.

Czy w tym „dowodziedowód twierdzeniadowodzie” jest błąd? Jeżeli tak, to gdzie?

Rozwiązanie

Twierdzenie jest fałszywe; można podać kontrprzykład: Niech $a=\sqrt{5}$, wówczas $a^2=5$ i jest liczbą wymierną, podczas gdy $a$ jest liczbą niewymierną.

Błąd w „dowodzie” tkwi w zapisie: $a^2=\frac{m^2}{n^2}$. Liczbę wymierną rzeczywiście zapisujemy w postaci ilorazu dwóch liczb całkowitych, przy czym mianownik nie może być zerem, ale liczby te nie muszą być kwadratami liczb całkowitych (w tym przykładzie rozważano liczby naturalne). Kiedy możemy popełnić taki błąd? Gdy nie znamy dobrze definicji liczby wymiernej.

W poniżej przytoczonym rozumowaniu „udowodniono”, że $1=2$. Jest to oczywista nieprawda, więc przeanalizujmy „dowód” i znajdźmy błąd.

„Dowód”

Weźmy dwie takie liczby $a$ i $b$, że $a=b$. Możemy wykonać kolejne przekształcenia równoważne:

$a^2=ab$

$a^2+a^2=a^2+ab$

$2a^2=a^2+ab$

$2a^2-2ab=a^2+ab-2ab$

$2a^2-2ab=a^2-ab$

$2\left(a^2-ab\right)=a^2-ab$

$2=1$.

c.n.d.

Gdzie został popełniony błąd?

Rozwiązanie

Równość $2\left(a^2-ab\right)=a^2-ab$ została obustronnie podzielona przez wyrażenie $a^2-ab$. Na początku założyliśmy, że $a=b$, więc $a^2-ab=0$. Nie wolno dzielić przez $0$. Kiedy możemy popełnić taki błąd? Gdy nie zwracamy uwagi na poczynione założenia i gdy podejmując dzielenie przez wyrażenie algebraiczne nie sprawdzamy, czy nie jest ono równe $0$.

W tym przykładzie będziemy wykonywać wyłącznie działania arytmetyczne. W poniżej przytoczonym rozumowaniu „udowodniono”, że $3+2=4$. Jest to oczywista nieprawda, więc przeanalizujmy „dowód” i znajdźmy błąd.

„Dowód”:

Zapiszmy równość prawdziwą: $-20=-20$ i dalej ją przekształcajmy:

$-20=-20$

$16-36=25-45$

$4^2-4·9 = 5^2-5·9$

$4^2-4·9+\frac{81}{4}=5^2-5·9+\frac{81}{4}$

$4^2-2·4·\frac{9}{2}+{\left(\frac{9}{2}\right)}^2=5^2-2·5·\frac{9}{2}+{\left(\frac{9}{2}\right)}^2$

${\left(4-\frac{9}{2}\right)}^2={\left(5-\frac{9}{2}\right)}^2$

$4-\frac{9}{2}=5-\frac{9}{2}$

$4=5$

$3+2=4$

c.n.d.

Gdzie został popełniony błąd?

Rozwiązanie

Błąd został popełniony przy obustronnym pierwiastkowaniu wyrażenia

${\left(4-\frac{9}{2}\right)}^2={\left(5-\frac{9}{2}\right)}^2$.

$4-\frac{9}{2}=-\frac{1}{2}$, zaś $5-\frac{9}{2}=\frac{1}{2}$, więc liczby te nie są równe. Tutaj uwaga o obliczaniu pierwiastków drugiego stopnia: pierwiastek (tzw. arytmetyczny) drugiego stopnia z liczby nieujemnej jest nieujemny, chociaż liczba podpierwiastkowa może być wynikiem podnoszenia do kwadratu liczby ujemnej. Istnieją natomiast dwa pierwiastki tzw. algebraiczne z liczby dodatniej $a$: są to liczby $\sqrt{a}$ i $\left(-\sqrt{a}\right)$ jako rozwiązanie równania $x^2=a$. Kiedy możemy popełnić taki błąd? Gdy nie pamiętamy, że jeżeli drugie potęgi danych liczb są równe, to liczby te nie muszą być równe, ale mogą być przeciwne.

zdanie oznajmujące złożone z dwóch zdań, przy czym jedno wynika z drugiego

wykazanie, że pewne zdanie jest prawdziwe; każdy krok dowodu musi jasno wynikać z poprzednich lub być przyjętym aksjomatem (faktem matematycznym, którego prawdziwość jest ogólnie znana, przyjmowana bez dowodu)

rozumowanie, w którym świadomie popełniono błąd logiczny, który nadaje temu rozumowaniu pozór poprawności

zbiór zdań, których uznanie wydaje się być dozwolone i prowadzi jednak, poprzez poprawne rozumowanie, do uzasadnienia równoważności jakiegoś zdania i jego negacji (czyli do sprzeczności)

rozumowanie pozornie poprawne, które prowadzi do wniosków jawnie niezgodnych z danymi potocznego doświadczenia i przekonaniami zdroworozsądkowymi