Zapoznaj się z filmem, który pokazuje jak można wykorzystać permutacje do zliczania ilości liczb spełniających określone warunki.

Jeżeli wynik pewnego doświadczenia losowego zależy od kolejno podejmowanych $m$ decyzji, to liczba wszystkich różnych wyników tych decyzji jest równa

gdzie:
$w_k$, $\left(1\le k\le m\right)$ – liczba możliwości wyboru przy podejmowaniu decyzji $k$.

Obliczymy ile jest liczb pięciocyfrowych w których cyfry:

1. nie mogą się powtarzać,

2. mogą się powtarzać.

Rozwiązanie:

1. Liczbą pięciocyfrową można traktować jako pięciowyrazowy ciąg utworzony ze zbioru dziesięciu cyfr.
   Wszystkich takich liczb jest więc:
   $V_{10}^5=\frac{{\displaystyle 10!}}{{\displaystyle \left(10-5\right)!}}=\frac{{\displaystyle 10!}}{{\displaystyle 5!}}=10·9·8·7·6=30240$
   Wśród rozważanych ciągów są też takie, które mają na początku $0$.
   $V_9^4=\frac{{\displaystyle 9!}}{{\displaystyle \left(9-4\right)!}}=\frac{{\displaystyle 9!}}{{\displaystyle 5!}}=9·8·7·6=3024$
   Zatem wszystkich liczb czterocyfrowych o niepowtarzających się cyfrach jest
   $30240-3024=27216$.

   .

2. Chcąc utworzyć liczbę czterocyfrową, w której cyfry mogą się powtarzać, mamy $9$ sposobów wyboru cyfry jedności tysięcy (cyfrą jedności tysięcy nie może być zero). Na każdym z pozostałych miejsc może stać jedna z dziesięciu cyfr.
   Korzystamy z reguły mnożeniareguła mnożeniareguły mnożenia i wyznaczmy liczbę liczb:
   $9·10·10·10·10=90000$

Odpowiedź:
Liczb pięciocyfrowych o niepowtarzających się cyfrach jest $27216$, a o powtarzających się cyfrach jest $90000$.

W dwóch koszykach znajdują się karteczki, na których zapisane są cyfry.

W pierwszym koszyku są karteczki z cyframi $1$, $2$, $3$. W drugim koszyku są karteczki z cyframi: $4$, $5$, $6$, $7$, $8$.

Losujemy dwie karteczki z pierwszego koszyka i trzy z drugiego. Z wylosowanych cyfr układamy liczby pięciocyfrowe. Obliczymy, ile można utworzyć takich liczb.

Rozwiązanie:

Z pierwszego koszyka losujemy dwie cyfry spośród trzech (kolejność losowania nie ma znaczenia):

$\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)=3$

Z drugiego koszyka losujemy trzy cyfry spośród pięciu (kolejność losowania nie ma znaczenia):

$\left(\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right)=\frac{{\displaystyle 5!}}{{\displaystyle 2!·3!}}=10$

Mamy teraz pięć karteczek na których zapisane są różne cyfry.

Mamy

$5!=1·2·3·4·5=120$

możliwości utworzenia liczb pięciocyfrowych.

Korzystamy z reguły mnożeniareguła mnożeniareguły mnożenia i obliczamy ile jest wszystkich możliwości utworzenia liczb spełniających warunki zadania.

$3·10·120=3600$

Odpowiedź:

Można utworzyć $3600$ liczb spełniających warunki zadania.

Obliczymy, ile jest wszystkich liczb naturalnych dziewięciocyfrowych, w zapisie dziesiętnym których nie występuje zero, występują dokładnie trzy jedynki, dwie dwójki, a pozostałe cyfry nie mogą się powtarzać.

Rozwiązanie:

Najpierw wybieramy trzy miejsca spośród dziewięciu dla jedynek.

$\left(\begin{array}{c}9\\ 3\end{array}\right)=\frac{{\displaystyle 9!}}{{\displaystyle 6!·3!}}=\frac{{\displaystyle 7·8·9}}{{\displaystyle 6}}=84$

Dwie dwójki można ustawić na

$9-3=6$ miejscach.

$\left(\begin{array}{c}6\\ 2\end{array}\right)=\frac{{\displaystyle 6!}}{{\displaystyle 4!·2!}}=\frac{{\displaystyle 6·5}}{{\displaystyle 2}}=15$

Pozostały nam jeszcze

$9-3-2=4$ miejsca.

Na tych miejscach możemy rozmieścić pozostałych siedem cyfr ($3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$, $9$) na

$7·6·5·4=840$ sposobów.

Zatem wszystkich liczb jest więc

$84·15·840=1058400$.

Odpowiedź:

Jest $1058400$ liczb spełniających warunki zadania.

W ostatnim przykładzie pokażemy zastosowania wariacji z powtórzeniami do wyznaczania liczby liczb spełniających określone warunki.

jeżeli wynik pewnego doświadczenia losowego zależy od kolejno podejmowanych $m$ decyzji, to liczba wszystkich różnych wyników tych decyzji jest równa

gdzie:
$w_k$, $\left(1\le k\le m\right)$ – liczba możliwości wyboru przy podejmowaniu decyzji $k$