Przeczytaj

Rozważmy dwa okręgi: okrąg o środku w punkcie $O_{1} = (a_{1}, b_{1})$ i promieniu $r_{1}$ oraz okrąg o środku w punkcie $O_{2} = (a_{2}, b_{2})$ i promieniu długości $r_{2}$ . Okręgi te na płaszczyźnie mogą nie mieć punktów wspólnych – nazywamy je rozłącznymi.

Okręgi są rozłączne zewnętrznie wtedy i tylko wtedy, gdy odległość środków okręgów jest większa niż suma długości ich promieni:

RklrdmPDcvUG9

Na ilustracji przedstawiono dwa rozłączne zewnętrznie okręgi. Okrąg niebieski o środku w punkcie O1 i ramieniu r1, oraz mniejszy okrąg różowy o środku w punkcie O2 i ramieniu r2. Odcinkiem połączono środki obu okręgów.

|O_{1} O_{2}| > r_{1} + r_{2}

Okręgi są rozłączne wewnętrznie wtedy i tylko wtedy, gdy odległość środków okręgów jest mniejsza niż różnica długości ich promieni:

R3gK22mrgCxrV

Na ilustracji przedstawiono dwa okręgi jeden w drugim, które nie mają punktów wspólnych: niebieski okrąg o środku w punkcie O1 i promieniu r1. Wewnątrz okręgu niebieskiego, znajduje się niewielki różowy okrąg o środku w punkcie O2 oraz promieniu r2. Połączono środki obu okręgów.

0 \leq |O_{1} O_{2}| < |r_{1} - r_{2}|

Szczególnym przypadkiem okręgów rozłącznych o różnych promieniach są okręgi współśrodkowe:

R1TfNAlNhCEFm

Na ilustracji przedstawiono dwa okręgi o wspólnym środku, jeden większy, drugi mniejszy. Niebieski okrąg o środku w punkcie O1, oraz promieniu r1. Wewnątrz niebieskiego okręgu, znajduje się okrąg różowy o środku w punkcie O2 i promieniu r2. Okręgi są współśrodkowe, stąd O1=O2.

|O_{1} O_{2}| = 0

Przykład 1

Określimy wzajemne położenie okręgów: $o_{1} (O_{1}, r_{1})$ i $o_{2} (O_{2}, r_{2})$ , jeśli $|O_{1} O_{2}| = 1$ , $r_{1} = 3$ , $r_{2} = 5$ .

Rozwiązanie

Ponieważ $|r_{1} - r_{2}| = 2$ , więc

$|O_{1} O_{2}| = 1 < 2$ .

Okręgi są rozłączne wewnętrznieokręgi rozłączne wewnętrznierozłączne wewnętrznie.

Przykład 2

Określimy wzajemne położenie okręgów: $o_{1}$ : ${(x - 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 10$ i $o_{2}$ : ${(x - 7)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 2$ .

Rozwiązanie

Ponieważ $O_{1} = (2, - 1)$ i $r_{1} = \sqrt{10}$ oraz $O_{2} = (7, 3)$ i $r_{2} = \sqrt{2}$ , to

$|O_{1} O_{2}| = \sqrt{{(7 - 2)}^{2} + {(3 + 1)}^{2}} = \sqrt{25 + 16} = \sqrt{41} \approx 6, 4$

$r_{1} + r_{2} = \sqrt{10} + \sqrt{2} \approx 3, 16 + 1, 41 = 4, 57$ ;

Zatem:

$|O_{1} O_{2}| > r_{1} + r_{2}$

Dane okręgi są rozłączne zewnętrznieokręgi rozłączne zewnętrznierozłączne zewnętrznie.

Przykład 3

Niech $a > 0$ i $|O_{1} O_{2}| = 3$ . Ustalimy, dla jakiego $a$ okręgi $o_{1} (O_{1}, 2 a)$ i $o_{2} (O_{2}, a + 1)$ będą rozłączne.

Rozwiązanie

Zauważmy, że $r_{1} + r_{2} = 3 a + 1$ oraz $|r_{1} - r_{2}| = |a - 1|$ .

Aby okręgi były rozłączne zewnętrznie, musi zachodzić zależność:

$r_{1} + r_{2} < |O_{1} O_{2}|$ .

Zatem: $3 a + 1 < 3$ , stąd: $a \in (0, \frac{2}{3})$ .

Aby okręgi były rozłączne wewnętrznie, musi zachodzić zależność: $0 \leq |O_{1} O_{2}| < |r_{1} - r_{2}|$ .

Zatem: $|a - 1| > 3$ , stąd: $a \in (4, \infty)$ .

Przykład 4

Dany jest okrąg $o_{1}$ o równaniu: $x^{2} + y^{2} - 6 x + 2 y - 6 = 0$ . Wyznaczymy wartości parametru $r_{2} > 0$ , dla których okrąg $o_{2}$ o równaniu: ${(x + 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = r_{2}^{2}$ jest rozłączny z okręgiem $o_{1}$ .

Rozwiązanie

Okrąg $o_{1}$ ma środek w punkcie $O_{1} = (3, - 1)$ i promień długości $r_{1} = 4$ .

Okrąg $o_{2}$ ma środek w punkcie $O_{2} = (- 2, 3)$ .

Zauważmy, że: $|O_{1} O_{2}| = \sqrt{{(- 2 - 3)}^{2} + {(3 - (- 1))}^{2}} = \sqrt{41}$ .

Aby okręgi były rozłączne zewnętrznie, musi zachodzić warunek: $r_{1} + r_{2} < |O_{1} O_{2}|$ .

Zatem: $4 + r_{2} < \sqrt{41}$ . Stąd: $r_{2} < \sqrt{41} - 4$ .

Aby okręgi były rozłączne wewnętrznie musi zachodzić warunek: $0 < |O_{1} O_{2}| < |r_{1} - r_{2}|$ .

Zatem: $|4 - r_{2}| > \sqrt{41}$ .

Stąd: $4 - r_{2} > \sqrt{41}$ lub $4 - r_{2} < - \sqrt{41}$ , co daje: $r_{2} < 4 - \sqrt{41}$ lub $r_{2} > 4 + \sqrt{41}$ .

Ponieważ $\sqrt{41} > 4$ , to ostatecznie: $r_{2} > 4 + \sqrt{41}$ .

Przykład 5

Dany jest okrąg $o_{1}$ o równaniu: $x^{2} + y^{2} + 6 x + 10 y - 30 = 0$ . Wyznaczymy wartości parametrów $r_{2} > 0$ i $r_{3} > 0$ , dla których okręgi $o_{1}$ i $o_{2} : {(x + 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = r_{2}^{2}$ oraz $o_{1}$ i $o_{3} : {(x - 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = r_{3}^{2}$ są rozłączne wewnętrznie a jednocześnie okręgi $o_{2}$ i $o_{3}$ są rozłączne zewnętrznie.

Rozwiązanie

Okrąg $o_{1}$ ma środek w punkcie $O_{1} = (- 3, - 5)$ i promień długości $r_{1} = \sqrt{{(- 3)}^{2} + {(- 5)}^{2} - (- 30)} = 8$ .

Okrąg $o_{2}$ ma środek w punkcie $O_{2} = (- 2, 2)$ zaś okrąg $o_{3}$ ma środek w punkcie $O_{3} = (1, - 1)$ .

Zauważmy, że punkty $O_{2}$ i $O_{3}$ leżą wewnątrz koła o równaniu $k_{1} : x^{2} + y^{2} + 6 x + 10 y - 30 \leq 0$ , bo $|O_{1} O_{2}| = \sqrt{{(- 2 - (- 3))}^{2} + {(2 - (- 5))}^{2}} = \sqrt{50} < 8$ i $|O_{1} O_{3}| = \sqrt{{(1 - (- 3))}^{2} + {(- 1 - (- 5))}^{2}} = \sqrt{32} < 8$ .

Ponieważ okręgi $o_{1}$ i $o_{2}$ są rozłączne wewnętrznie, to: $0 < |O_{1} O_{2}| < |r_{1} - r_{2}|$ . Zatem: $5 \sqrt{2} < |8 - r_{2}|$ .

Ponieważ okręgi $o_{1}$ i $o_{3}$ są rozłączne wewnętrznie, to: $0 < |O_{1} O_{3}| < |r_{1} - r_{3}|$ . Zatem: $4 \sqrt{2} < |8 - r_{3}|$ .

Ponieważ okręgi $o_{2}$ i $o_{3}$ są rozłączne zewnętrznie, to: $|O_{2} O_{3}| > r_{2} + r_{3}$ . Zatem: $\sqrt{{(1 - (- 2))}^{2} + {(- 1 - 2)}^{2}} > r_{2} + r_{3}$ .

Rozwiązujemy zatem układ $3$ nierówności:

$\{\begin{cases} |8 - r_{2}| > 5 \sqrt{2} \\ |8 - r_{3}| > 4 \sqrt{2} \\ r_{2} + r_{3} < 3 \sqrt{2} \end{cases}$

Zauważmy, że jedyna możliwa sytuacja to taka, że okręgi $O_{2}$ i $O_{3}$ leżą wewnątrz okręgu $O_{1}$ . Zatem $r_{2} \in (0, 8)$ i $r_{3} \in (0, 8)$ , więc

$\{\begin{cases} r_{2} \in (0, 8 - 5 \sqrt{2}) \\ r_{3} \in (0, 8 - 4 \sqrt{2}) \\ r_{2} + r_{3} < 3 \sqrt{2} \end{cases}$

Zauważmy, że: $r_{2} + r_{3} < 8 - 5 \sqrt{2} + 8 - 4 \sqrt{2} = 16 - 9 \sqrt{2}$ .

$16 - 9 \sqrt{2} \approx 16 - 12, 73 = 3, 27$

$3 \sqrt{2} \approx 4, 24$

Zatem $r_{2} + r_{3} < 3 \sqrt{2}$ i ostatecznie dla $r_{2} \in (0, 8 - 5 \sqrt{2})$ i $r_{3} \in (0, 8 - 4 \sqrt{2})$ okręgi $o_{1}$ i $o_{2}$ oraz $o_{1}$ i $o_{3}$ są rozłączne wewnętrznie, a jednocześnie okręgi $o_{2}$ i $o_{3}$ są rozłączne zewnętrznie.

Niech $o$ będzie okręgiem o środku w punkcie $O$ i promieniu $r$ , zaś $P$ – dowolnym punktem.

Potęgą punktu $P$ względem okręgu $o$ nazywamy liczbę $p o t (P; o) = {|P O|}^{2} - r^{2}$ .

Potęga punktu, który leży na zewnątrz okręgu jest równa kwadratowi długości stycznej poprowadzonej z punktu $P$ do okręgu $o$ .

Zbiorem punktów, które mają równe potęgi względem danych dwóch okręgów $o_{1}$ i $o_{2}$ (o różnych środkach), jest prosta. Prostą tę nazywamy prostą (osią) potęgową okręgów $o_{1}$ i $o_{2}$ .

W poniższym aplecie przedstawiono oś potęgową dla okręgów przecinających się. Przechodzi ona zawsze przez punkty przecięcia tych okręgów.

RhJb9Hu0weSHS

Gdy okręgi są rozłączne, to prosta potęgowa tych okręgów jest prostą prostopadłą do prostej przechodzącej przez ich środki przechodzącą przez środek odcinka wspólnej stycznej tych okręgów łączącego jej punkty styczności z tymi okręgami. Nie ma ona punktów wspólnych z tymi okręgami.

Przykład 6

Niech $o_{1}$ będzie okręgiem o środku w punkcie $O_{1}$ i promieniu $r_{1}$ zaś okrąg $o_{2}$ – okręgiem o środku w punkcie $O_{2}$ i promieniu $r_{2}$ . Skonstruujemy prostą potęgową okręgów $o_{1}$ i $o_{2}$ , jeśli są one rozłączne zewnętrznie.

Rozwiązanie

Narysujemy okręgi $o_{1}$ i $o_{2}$ oraz prostą $O_{1} O_{2}$ .

Row7jb5ZlsqPI

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus jeden do jedenastu, oraz z pionową osią Y od minus jeden do dziewięciu. Na płaszczyźnie narysowano dwa okręgi. Okrąg O1, o środku w punkcie o współrzędnych 3;5 i promieniu równym trzy. Okrąg O2, o środku w punkcie o współrzędnych 9;7 i promieniu dwa. Środki obu okręgów znajdują się na prostej f.

Wykreślamy okrąg $o_{3}$ tak, by przecinał każdy z okręgów $o_{1}$ i $o_{2}$ odpowiednio w punktach: $A, B, C, D$ .

RCx4LrsihRfhW

Prosta $O_{1} O_{2}$ jest prostą potęgową okręgów $o_{1}$ i $o_{3}$ zaś prosta $C D$ – prostą potęgową okręgów $o_{2}$ i $o_{3}$ . Przecinają się one w punkcie $P$ , który jest środkiem potęgowymśrodek potęgowyśrodkiem potęgowym wszystkich trzech kół.

RnOibr7FAU9rA

Prowadzimy teraz prostą prostopadłą do prostej $O_{1} O_{2}$ i przechodzącą przez punkt $P$ .

RFHBDxflROWWO

Jest ona prostą potęgową okręgów $o_{1}$ i $o_{2}$ .

Słownik

okręgi rozłączne zewnętrznie

odległość środków okręgów jest większa niż suma długości ich promieni

okręgi rozłączne wewnętrznie

odległość środków okręgów jest mniejsza niż różnica długości ich promieni

środek potęgowy

punkt przecięcia linii potęgowych trzech okręgów, z których żadne dwa nie są współśrodkowe

Wprowadzenie

Test samosprawdzający

Słownik