Przeczytaj

Na początku przypomnijmy wiadomości dotyczące graniastosłupa prawidłowego czworokątnego.

graniastosłupa prawidłowego czworokątnego

Definicja: graniastosłupa prawidłowego czworokątnego

Graniastosłup prawidłowy czworokątny to taki graniastosłup prostygraniastosłup prostygraniastosłup prosty, który ma w podstawie czworokąt foremny, czyli kwadrat.

Dany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy długości $a$ i krawędzi bocznej długości $h$ .

RQ7RP9130t8tg

Na ilustracji przedstawiono graniastosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy długości a, krawędzi bocznej długości h, oraz przekątnej długości d. Dolną podstawę graniastosłupa oznaczono wielkimi literami alfabetu od A do D, oraz górną wielkimi literami od E do H. Zaznaczono przekątną HB graniastosłupa, oraz przekątną BD podstawy o długości a2.

Wtedy:

długość przekątnej podstawy $p = a \sqrt{2}$ ,

długość przekątnej graniastosłupa $d = \sqrt{2 a^{2} + h^{2}}$ ,

suma długości wszystkich krawędzi graniastosłupa $S = 8 a + 4 h$ .

kąta pomiędzy prostą a płaszczyzną

Definicja: kąta pomiędzy prostą a płaszczyzną

Jeżeli prosta jest równoległa do płaszczyzny, to przyjmujemy kąt pomiędzy nimi $0 °$ .
Jeżeli prosta jest prostopadła do płaszczyzny, to przyjmujemy kąt pomiędzy nimi $90 °$ .
W pozostałych przypadkach kąt pomiędzy prostą a płaszczyzną to kąt pomiędzy tą prostą a jej rzutem prostokątnymrzut prostokątnyrzutem prostokątnym na daną płaszczyznę. Tę sytuację obrazuje poniższy aplet.

RH0tEc3RH4XRZ

Chcąc wyznaczyć kąt pomiędzy prostą $m$ a płaszczyzną $π$ wyznaczamy rzut prostokątny prostej $m$ na płaszczyznę $π$ . Poniższe kroki możesz uzyskać nawigując strzałkami od kroku $1$ do $5$ .

Wyznaczamy punkt wspólny prostej i płaszczyzny (w aplecie punkt $A$ ).
Z dowolnego wybranego punktu na prostej $m$ (w aplecie punkt $B$ ) prowadzimy prostą $k$ prostopadłą do płaszczyzny $π$ .
Wyznaczamy punkt wspólny prostej $k$ i płaszczyzny $π$ - punkt $B^{'}$ .
Prowadzimy prostą przez punkty $A$ i $B^{'}$ , która leży na płaszczyźnie $π$ (w aplecie to prosta $m^{'}$ ). Jest ona rzutem prostokątnym prostej $m$ na płaszczyznę $π$ .
Kąt pomiędzy prostymi $m$ i $m^{'}$ jest kątem pomiędzy prostą $m$ a płaszczyzną $π$ .

Przyjrzyjmy się kątom pomiędzy prostymi zawierającymi niektóre odcinki w graniastosłupie prawidłowym czworokątnym, a płaszczyznami zawierającymi ściany tej bryły.

Kąt nachylenia przekątnej ściany bocznej do płaszczyzny podstawy

Rzutem prostokątnym przekątnej $B G$ ściany bocznej $B C G F$ graniastosłupa prawidłowego czworokątnego na płaszczyznę podstawy $A B C D$ jest krawędź $B C$ tej podstawy. Kąt nachylenia przekątnej ściany do płaszczyzny podstawy będzie zatem kątem pomiędzy przekątną ściany a krawędzią podstawy. Zauważmy, że w graniastosłupie prawidłowym czworokątnym wszystkie ściany są takimi samymi prostokątami, a więc kąt nachylenia przekątnej każdej ściany bocznej do płaszczyzny podstawy będzie taki sam.

RO36c1JP2IrRo

W zależności od długości krawędzi podstawy $a$ oraz krawędzi bocznej $h$ tego graniastosłupa możemy zapisać następujące zależności trygonometryczne:

\sin α = \frac{h}{|B G|}

\cos α = \frac{a}{|B G|}

tg α = \frac{h}{a}

Przykład 1

Kąt nachylenia przekątnej ściany bocznej do płaszczyzny podstawy w graniastosłupie prawidłowym czworokątnym wynosi $60 °$ , a długość krawędzi bocznej jest równa $6$ . Obliczymy długość przekątnej podstawy tego graniastosłupa.

Rozwiązanie

Przez $a$ oznaczmy długość krawędzi podstawy graniastosłupa. Wtedy:

$tg 60^{\circ} = \frac{6}{a}$

$\sqrt{3} = \frac{6}{a}$

$a = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2 \sqrt{3}$

Długość przekątnej podstawy tego graniastosłupa jest równa $2 \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = 2 \sqrt{6}$ .

Kąt nachylenia przekątnej podstawy do płaszczyzny ściany bocznej

Rzutem prostokątnym przekątnej $B D$ podstawy $A B C D$ na płaszczyznę ściany bocznej $A D H E$ jest krawędź $A D$ tej podstawy. Kąt nachylenia przekątnej podstawy do płaszczyzny ściany bocznej będzie zatem kątem pomiędzy przekątną $B D$ podstawy a krawędzią $A D$ podstawy. W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym podstawą jest kwadrat, a więc jest to kąt $α = 45 °$ .

R1BzEiZYy2zbB

Kąt nachylenia przekątnej graniastosłupa do płaszczyzny podstawy

Rzutem prostokątnym przekątnej $C E$ graniastosłupa prawidłowego czworokątnego na płaszczyznę podstawy $A B C D$ jest przekątna $A C$ tej podstawy. Kąt nachylenia przekątnej graniastosłupa do płaszczyzy podstawy będzie zatem kątem pomiędzy przekątną graniastosłupa a przekątną podstawy.

RfBbnIvRWhdu0

W zależności od długości krawędzi podstawy $a$ , krawędzi bocznej $h$ oraz długości przekątnej graniastosłupa $d = \sqrt{2 a^{2} + h^{2}}$ możemy zapisać następujące zależności trygonometryczne:

\sin α = \frac{h}{d}

\cos α = \frac{a \sqrt{2}}{d}

tg α = \frac{h}{a \sqrt{2}}

Przykład 2

Suma długości wszystkich krawędzi w graniastosłupie prawidłowym czworokątnym jest równa $40$ , a tangens kąta nachylenia przekątnej graniastosłupa do płaszczyzny podstawy wynosi $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ . Wyznaczymy długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa.

Rozwiązanie

Przez $a$ oznaczmy długość krawędzi podstawy graniastosłupa, a przez $h$ długość krawędzi bocznej.

Wtedy z informacji sumie długości krawędzi otrzymujemy:

$8 a + 4 h = 40$

Jednocześnie z informacji o tangensie kąta nachylenia przekątnej graniastosłupa do płaszczyzny podstawy mamy:

$tg α = \frac{h}{a \sqrt{2}}$

$\frac{2 \sqrt{2}}{3} = \frac{h}{a \sqrt{2}}$

$h = \frac{4}{3} a$ .

Wstawiając tę zależność do wzoru na sumę długości krawędzi otrzymujemy:

$8 a + 4 \cdot \frac{4}{3} a = 40$

$\frac{40}{3} a = 40$

$a = 3$ .

Długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa wynosi $3$ .

Kąt nachylenia przekątnej graniastosłupa do płaszczyzny ściany bocznej

Rzutem prostokątnym przekątnej $C E$ graniastosłupa prawidłowego czworokątnego na płaszczyznę ściany $C G H D$ jest przekątna $C H$ tej ściany. Kąt nachylenia przekątnej graniastosłupa do płaszczyzny ściany będzie zatem kątem pomiędzy przekątną graniastosłupa a przekątną ściany.

R3nTDAcCTjPCv

W zależności od długości krawędzi podstawy $a$ , krawędzi bocznej $h$ oraz przekątnej graniastosłupa $d = \sqrt{2 a^{2} + h^{2}}$ możemy zapisać następujące zależności trygonometryczne:

\sin α = \frac{a}{d}

\cos α = \frac{|C H|}{d}

tg α = \frac{a}{|C H|}

gdzie z tw. Pitagorasatwierdzenie Pitagorasatw. Pitagorasa $|C H| = \sqrt{a^{2} + h^{2}}$ .

Przykład 3

Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest dwa razy dłuższa od krawędzi bocznej. Wyznaczymy sinus kąta nachylenia przekątnej tego graniastosłupa do płaszczyzny ściany bocznej.

Rozwiązanie

Oznaczając przez $a$ długość krawędzi podstawy graniastosłupa, $h$ długość krawędzi bocznej, a $d$ długość przekątnej graniastosłupa, mamy:

$\sin α = \frac{a}{d}$

$a = 2 h$ .

Wyznaczamy długość przekątnej graniastosłupa.

$d = \sqrt{2 a^{2} + h^{2}} = \sqrt{2 \cdot {(2 h)}^{2} + h^{2}} = \sqrt{9 h^{2}} = 3 h$

Odp. Jeżeli przez $α$ oznaczymy kąt nachylenia przekątnej graniastosłupa do płaszczyzny ściany bocznej, to $\sin α = \frac{a}{d} = \frac{2 h}{3 h} = \frac{2}{3}$ .

Inne przykłady kątów nachylenia prostych do ścian graniastosłupa prawidłowego czworokątnego

Proste w graniastosłupie mogą przechodzić przez inne punkty niż wierzchołki, na przykład przez środki krawędzi albo punkty przecięcia przekątnych ściany.

Kąt nachylenia prostej przechodzącej przez wierzchołek $B$ i środek krawędzi $H E$ do płaszczyzny podstawy

R1aYXG8tytCFg

Na ilustracji przedstawiono graniastosłup prawidłowy czworokątny o podstawie dolnej ABCD, oraz górnej EFGH. Odpowiednio nad wierzchołkiem A, znajduje się wierzchołek E, nad wierzchołkiem B wierzchołek F i tak dalej. Punkt I, znajduje się w połowie krawędzi EH i zrzutowano go prostopadle na krawędź AD dolnej podstawy i oznaczono I prim. Poprowadzono prostą przechodzącą przez punkt I oraz B. Zaznaczono kąt alfa między prostą a odcinkiem łączącym wierzchołek B z punktem I prim.

Kąt nachylenia prostej przechodzącej przez wierzchołek $C$ i punkt $K$ przecięcia przekątnych ściany $A D H E$ do płaszczyzny ściany $C G H D$ .

R1antKLhTc8Kx

Słownik

graniastosłup prosty

to graniastosłup, w którym wszystkie krawędzie boczne są prostopadłe do podstaw, a więc wszystkie ściany boczne są prostokątami

rzut prostokątny

to odwzorowanie przestrzeni na daną płaszczyznę, które każdemu punktowi przestrzeni przypisuje punkt na płaszczyźnie, przez który przechodzi prosta prostopadła do płaszczyzny i przechodząca przez dany punkt przestrzeni

twierdzenie Pitagorasa

jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej

Wprowadzenie

Prezentacja multimedialna

Kąt nachylenia przekątnej ściany bocznej do płaszczyzny podstawy

Kąt nachylenia przekątnej podstawy do płaszczyzny ściany bocznej

Kąt nachylenia przekątnej graniastosłupa do płaszczyzny podstawy

Kąt nachylenia przekątnej graniastosłupa do płaszczyzny ściany bocznej

Inne przykłady kątów nachylenia prostych do ścian graniastosłupa prawidłowego czworokątnego

Słownik